תרגול · מצולעים במערכת צירים · כיתה י״א

עשרה תרגילים על כל הפרק: קודקוד חסר, סוג המרובע, גובה ושטח, נקודה במרחקים שווים, נקודה לפי שטח וזווית. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

$ABCD$ מקבילית. $A(2,\,1)$ , $B(6,\,2)$ , $C(5,\,5)$ . מצאו את $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 1 $,$ 4 $)$

הפתרון:

M_{AC} = (3.5,\,3)

אמצע $AC$

\begin{aligned}D &= 2M - B \\ &= (1,\,4)\end{aligned}

$M$ גם אמצע $BD$

$D(1,\,4)$ . בדיקה: $m_{AB} = \frac{1}{4}$ ו- $m_{DC} = \frac{5-4}{5-1} = \frac{1}{4}$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1,\,-2)$ , $B(5,\,-2)$ , $C(2,\,3)$ . חשבו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 5 - (-1) \\ &= 6\end{aligned}

צלע אופקית

\begin{aligned}h &= 3 - (-2) \\ &= 5\end{aligned}

הפרש שיעורי ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 5}{2} \\ &= 15\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $15$ . מי שלקח $h = 3$ שכח שהבסיס מתחת לציר ה- $x$ , בגובה $y = -2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,2)$ , $B(4,\,8)$ . מהו השיפוע של הצלע $BC$ ?

$-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$-2$
$2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-\frac{1}{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{8-2}{4-1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע $AB$

m_{BC} = -\frac{1}{2}

$BC \perp AB$ : הופכי ונגדי

הנכונה: $-\frac{1}{2}$ . $2$ הוא שיפוע הצלע הנגדית $DC$ . $\frac{1}{2}$ הפך בלי לשנות סימן, ו- $-2$ שינה סימן בלי להפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

הנקודה $P$ נמצאת על ציר ה- $x$ , במרחקים שווים מ- $A(1,\,3)$ ומ- $B(5,\,1)$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של $P$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

(x - 1)^2 + 9 = (x - 5)^2 + 1

$P(x,\,0)$ ו- $PA^2 = PB^2$

\begin{aligned}-2x + 10 &= -10x + 26 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

$x^2$ מצטמצם

\begin{aligned}PA^2 &= 1 + 9 \\ &= 10 \\ &= 9 + 1 \\ &= PB^2\end{aligned}

בדיקה ✓

$P(2,\,0)$ . משווים ריבועים של מרחקים, ולא את המרחקים עצמם: כך אין שורשים במשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$ABCD$ מעוין. $A(1,\,1)$ , $C(5,\,5)$ , והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $x$ . מצאו את $B$ ואת $D$ .

$B($ ____ $,0)$ , $D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B($ 6 $,0)$ , $D($ 0 $,$ 6 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M &= (3,\,3) \\ \quad m_{AC} &= 1\end{aligned}

אמצע ושיפוע

BD: \ y = -x + 6

האנך האמצעי של $AC$

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ B(6,\,0) \\ \quad D &= 2M - B \\ &= (0,\,6)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ , ושיקוף דרך $M$

$B(6,\,0)$ ו- $D(0,\,6)$ . $D$ נפל על ציר ה- $y$ , וזה לא מקרה: המעוין סימטרי ביחס לישר $y = x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ , עם $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $C(3,\,4)$ , $D(-1,\,2)$ , הוא מלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= (1.5,\,2) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= -1\end{aligned}

זווית ישרה ב- $B$

הטענה נכונה. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן. הוא אינו ריבוע: $AB = \sqrt{20}$ ו- $BC = \sqrt{5}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$A(0,\,1)$ , $B(4,\,5)$ . הנקודה $K$ על ציר ה- $y$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא $14$ . מצאו את שיעור ה- $y$ החיובי של $K$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}K(0,\,t) \\ \quad AK &= |t - 1|\end{aligned}

בסיס על ציר ה- $y$

\begin{aligned}h &= x_B \\ &= 4\end{aligned}

גובה אופקי

\begin{aligned}2|t - 1| &= 14 \ \Rightarrow \ t \\ &= 8 \ \text{או} \ t \\ &= -6\end{aligned}

שני פתרונות

$K(0,\,8)$ , והשני $K(0,\,-6)$ . הגובה הוא $4$ ולא $5$ : המרחק מציר ה- $y$ הוא שיעור ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

$ABCD$ דלתון שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . $A(0,\,0)$ , $B(7,\,1)$ , והאלכסון $AC$ נמצא על הישר $y = x$ . מצאו את $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 1 $,$ 7 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}y - 1 &= -(x - 7) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 8\end{aligned}

$BD \perp AC$

x = -x + 8 \ \Rightarrow \ E(4,\,4)

מפגש האלכסונים

\begin{aligned}D &= 2E - B \\ &= (1,\,7)\end{aligned}

$AC$ חוצה את $BD$

$D(1,\,7)$ : השיקוף של $B$ ביחס ל- $y = x$ מחליף בין השיעורים. בדיקה: $AD^2 = 1 + 49 = 50 = AB^2$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$ABCD$ טרפז שבו $AB \parallel DC$ ו- $AD \perp AB$ . $A(0,\,0)$ , $B(8,\,4)$ . הקודקוד $D$ נמצא על הישר $y = 2$ , והקודקוד $C$ על הישר $x = 3$ . חשבו את שטח הטרפז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

AD: \ y = -2x \ \Rightarrow \ D(-1,\,2)

מאונך ל- $AB$ , ו- $y = 2$

DC: \ y - 2 = \frac{1}{2}(x + 1) \ \Rightarrow \ C(3,\,4)

מקביל ל- $AB$ , ו- $x = 3$

\begin{aligned}AB &= 4\sqrt{5} \\ \quad DC &= 2\sqrt{5} \\ \quad AD &= \sqrt{5}\end{aligned}

בסיסים וגובה

\begin{aligned}S &= \frac{(4\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{30}{2} \\ &= 15\end{aligned}

שטח טרפז

השטח $15$ . שלושה צעדים לפני הנוסחה: שני קודקודים, כל אחד כחיתוך של שני ישרים, ואז שלושה אורכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $C(1,\,3)$ . חשבו את הזווית $\angle BAC$ , במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\begin{aligned}\tan\alpha_1 &= m_{AC} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ \alpha_1 \approx 71.57^\circ\end{aligned}

הזווית של $AC$ עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}\tan\alpha_2 &= m_{AB} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \alpha_2 \approx 26.57^\circ\end{aligned}

הזווית של $AB$

\begin{aligned}\angle BAC &= \alpha_1 - \alpha_2 \\ &= 45^\circ\end{aligned}

ההפרש בין שתי הזוויות

$\angle BAC = 45^\circ$ בדיוק. כששתי הצלעות משופעות, הזווית ביניהן היא הפרש הזוויות שלהן עם ציר ה- $x$ . אין להציב את הפרש השיפועים בטנגנס: $\tan^{-1}(3 - \frac{1}{2})$ אינו $45^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev