סדרה 3 — לקראת הבגרות · מצולעים במערכת צירים · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלת המצולע בבגרות, מפורקות לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה, וכל סעיף נותן לכם את התוצאות של הסעיפים שלפניו. כך אפשר להמשיך גם אחרי טעות.

כתבו כמו בבחינה: בכל שורה נימוק («במלבן $AD \perp AB$ », « $M$ אמצע $BD$ »), ובסוף כל סעיף בדיקה קצרה עם נקודה או שיפוע.

תרגילים

שאלה 1 — מלבן שקודקוד שלו על ציר

תרגיל 1

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,-1)$ , $B(7,\,1)$ , והקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $y$ . א. מצאו את משוואת הישר $AD$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -3 $x +$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1-(-1)}{7-1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הצלע הנתונה

m_{AD} = -3

במלבן $AD \perp AB$

\begin{aligned}y + 1 &= -3(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 2\end{aligned}

דרך $A$

$y = -3x + 2$ . הנתון «מלבן» הוא שנותן את הזווית הישרה ב- $A$ , ומכאן השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,-1)$ , $B(7,\,1)$ , והקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $y$ . משוואת $AD$ היא $y = -3x + 2$ . ב. מצאו את $D$ .

$D(0,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D(0,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2\end{aligned}

$D$ על ציר ה- $y$

$D(0,\,2)$ : נקודת החיתוך של $AD$ עם ציר ה- $y$ היא בדיוק המספר החופשי במשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,-1)$ , $B(7,\,1)$ , והקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $y$ . $D(0,\,2)$ . ג. מצאו את $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 6 $,$ 4 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}C &= B + D - A \\ &= (7 + 0 - 1,\ 1 + 2 + 1)\end{aligned}

מלבן הוא מקבילית, ו- $C$ מול $A$

C = (6,\,4)

התוצאה

\begin{aligned}m_{DC} &= \frac{4-2}{6-0} \\ &= \frac{1}{3} \\ &= m_{AB}\end{aligned}

בדיקה ✓

$C(6,\,4)$ . הסימן של $-A$ חשוב: $1 - (-1) + 2 = 4$ . מי שקיבל $2$ לא הפך את הסימן של $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,-1)$ , $B(7,\,1)$ , והקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $y$ . $D(0,\,2)$ , $C(6,\,4)$ . ד. חשבו את שטח המלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 4} \\ &= \sqrt{40}\end{aligned}

אורך

\begin{aligned}AD &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

רוחב

\begin{aligned}S &= \sqrt{40} \cdot \sqrt{10} \\ &= \sqrt{400} \\ &= 20\end{aligned}

אורך כפול רוחב

השטח $20$ . במלבן אין צורך בגובה נפרד: הצלע הסמוכה היא הגובה, כי הזווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — משולש שווה שוקיים

תרגיל 5

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) נתון: $B(0,\,0)$ , $C(6,\,2)$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ . א. $AM$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . מצאו את משוואת $AM$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -3 $x +$ 10

הפתרון:

M_{BC} = (3,\,1)

בשווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ m_{AM} \\ &= -3\end{aligned}

מאונך לבסיס

\begin{aligned}y - 1 &= -3(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 10\end{aligned}

דרך $M$

$y = -3x + 10$ , ולכן $A(0,\,10)$ . הגובה עובר דרך האמצע של $BC$ , כי $AB = AC$ : הוא האנך האמצעי של הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) נתון: $B(0,\,0)$ , $C(6,\,2)$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ . $A(0,\,10)$ . ב. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

AB = 10

$AB$ על ציר ה- $y$

\begin{aligned}h_C &= x_C \\ &= 6\end{aligned}

הגובה מ- $C$ לציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 6}{2} \\ &= 30\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $30$ . בדיקה בדרך הארוכה: $BC = \sqrt{40}$ , $AM = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$ , ו- $\frac{\sqrt{3600}}{2} = 30$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) נתון: $B(0,\,0)$ , $C(6,\,2)$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ . $A(0,\,10)$ . ג. חשבו את הזווית $\angle ABC$ , במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 71.57

הפתרון:

\begin{aligned}\tan\beta &= m_{BC} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ \beta \approx 18.43^\circ\end{aligned}

הזווית של $BC$ עם ציר ה- $x$

\angle(BA,\ x) = 90^\circ

$BA$ על ציר ה- $y$ , ולכן מאונכת לציר ה- $x$

\begin{aligned}\angle ABC &= 90^\circ - 18.43^\circ \\ &= 71.57^\circ\end{aligned}

ההפרש בין שתי הזוויות

$\angle ABC \approx 71.57^\circ$ . מי שענה $18.43^\circ$ מצא את הזווית בין $BC$ לציר ה- $x$ , אבל $BA$ היא ציר ה- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — טרפז ישר זווית

תרגיל 8

$ABCD$ טרפז ישר זווית שבו $AB \parallel DC$ ו- $\angle A = 90^\circ$ . $A(0,\,2)$ , $B(8,\,6)$ . הקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $C$ על הישר $x = 7$ . א. מצאו את $D$ .

$D($ ____ $,0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 1 $,0)$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{AD} \\ &= -2\end{aligned}

$\angle A = 90^\circ$

AD: \ y = -2x + 2

דרך $A$

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

$D(1,\,0)$

$D(1,\,0)$ . הזווית הישרה ב- $A$ נותנת את הכיוון של $AD$ , וציר ה- $x$ עוצר אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$ABCD$ טרפז ישר זווית שבו $AB \parallel DC$ ו- $\angle A = 90^\circ$ . $A(0,\,2)$ , $B(8,\,6)$ . הקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $C$ על הישר $x = 7$ . $D(1,\,0)$ . ב. מצאו את $C$ .

$C(7,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C(7,$ 3 $)$

הפתרון:

DC: \ y = \frac{1}{2}(x - 1)

$DC \parallel AB$ , דרך $D$

\begin{aligned}x &= 7 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3\end{aligned}

$C(7,\,3)$

$C(7,\,3)$ . בטרפז הבסיס השני מקביל לראשון. מי שהעביר את $DC$ בשיפוע $-2$ בנה עוד שוק, ולא בסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$ABCD$ טרפז ישר זווית שבו $AB \parallel DC$ ו- $\angle A = 90^\circ$ . $A(0,\,2)$ , $B(8,\,6)$ . הקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $C$ על הישר $x = 7$ . $D(1,\,0)$ , $C(7,\,3)$ . ג. חשבו את שטח הטרפז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.5

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{64 + 16} \\ &= 4\sqrt{5} \\ \quad DC &= \sqrt{36 + 9} \\ &= 3\sqrt{5}\end{aligned}

שני הבסיסים

\begin{aligned}h &= AD \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5}\end{aligned}

$AD \perp AB$ : השוק היא הגובה

\begin{aligned}S &= \frac{(4\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{7 \cdot 5}{2} \\ &= 17.5\end{aligned}

שטח טרפז

השטח $17.5$ . בטרפז ישר זווית השוק המאונכת היא הגובה. אין צורך לחפש אנך נוסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

שאלה 1 — מלבן שקודקוד שלו על ציר

שאלה 2 — משולש שווה שוקיים

שאלה 3 — טרפז ישר זווית

השיעור הבא מחכה ב-elev