סדרה 2 — בינוני · מצולעים במערכת צירים · כיתה י״א

עשר שאלות בינוניות: כל אחת משלבת שניים או שלושה כלים. קודקוד כנקודת חיתוך, גובה ועקבו, סוג המרובע עם כל הבדיקות, נקודה לפי שטח, זווית ושטח של מרובע.

לפני שמחשבים שטח, חפשו צלע או אלכסון מקבילים לציר. ובכל «איזה מרובע», עלו בסולם עד הסוף: מקבילית, ואז מלבן, מעוין, ריבוע.

תרגילים

תרגיל 1

$ABCD$ מלבן. $A(-3,\,2)$ , $B(1,\,4)$ , והקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . מצאו את $C$ ואת $D$ .

$C($ ____ $,0)$ , $D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 3 $,0)$ , $D($ -1 $,$ -2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{BC} \\ &= -2\end{aligned}

$BC \perp AB$

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 6\end{aligned}

הישר $BC$

y = 0 \ \Rightarrow \ C(3,\,0)

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}D &= A + C - B \\ &= (-1,\,-2)\end{aligned}

מלבן הוא מקבילית

$C(3,\,0)$ ו- $D(-1,\,-2)$ . בדיקה: $m_{AD} = \frac{-2-2}{-1+3} = -2$ , ולכן גם $AD \perp AB$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(0,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . מצאו את $H$ .

$H($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $H($ 2 $,$ 2 $)$

הפתרון:

AB: \ y = \frac{1}{2}x + 1

שיפוע $\frac{1}{2}$ דרך $A$

CH: \ y = -2x + 6

מאונך, דרך $C$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + 1 &= -2x + 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך

$H(2,\,2)$ . כאן עקב הגובה יצא גם אמצע $AB$ , כי המשולש שווה שוקיים: $CA = 5$ ו- $CB = \sqrt{16 + 9} = 5$ . במשולש כללי העקב אינו האמצע, ולכן מוצאים אותו כחיתוך של שני ישרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(0,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . $H(2,\,2)$ . חשבו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{16 + 4} \\ &= 2\sqrt{5} \\ \quad CH &= \sqrt{4 + 16} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

בסיס וגובה

\begin{aligned}S &= \frac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}AC &= 5 \\ \ h_B &= 4 \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{5 \cdot 4}{2} \\ &= 10\end{aligned}

בדיקה עם הבסיס האנכי $AC$ ✓

השטח $10$ . הצלע $AC$ על ציר ה- $y$ , ולכן הדרך השנייה קצרה בהרבה. כדאי לחפש אותה לפני שמתחילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ , עם $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(4,\,3)$ , $D(1,\,3)$ , הוא טרפז שווה שוקיים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= 0\end{aligned}

טרפז: בסיסים אופקיים

\begin{aligned}AD &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

שוק אחת

\begin{aligned}BC &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

שוק שנייה

הטענה שגויה. זה טרפז, אבל השוקיים שונות. בשרטוט ההבדל כמעט לא נראה, ולכן מחשבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$A(2,\,4)$ , $B(2,\,-2)$ . הנקודה $K$ על ציר ה- $x$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא $15$ . ל- $K$ שתי אפשרויות. מצאו את שיעור ה- $x$ השלילי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

AB = 6

$AB$ אנכית: הבסיס

\begin{aligned}K(t,\,0) \\ \quad h &= |t - 2|\end{aligned}

הגובה אופקי: מרחק מהישר $x = 2$

\begin{aligned}\frac{6 \cdot |t - 2|}{2} &= 15 \ \Rightarrow \ |t - 2| \\ &= 5\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 7 \ \text{או} \ t \\ &= -3\end{aligned}

שני צדדים

$K(-3,\,0)$ , והאפשרות השנייה $K(7,\,0)$ . כאן הבסיס הוא $AB$ האנכית, ו- $K$ קובע את הגובה, לא את הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון המרובע $ABCD$ : $A(1,\,0)$ , $B(5,\,2)$ , $C(3,\,6)$ , $D(-1,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

מעוין שאינו ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
ריבוע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ריבוע

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= (2,\,3) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= -1\end{aligned}

מלבן

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

מעוין

הנכונה: ריבוע, כי הוא גם מלבן וגם מעוין. מי שעצר אחרי בדיקה אחת ענה «מלבן» או «מעוין». צריך את שתיהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה $P$ נמצאת על הישר $y = x + 1$ , במרחקים שווים מ- $A(1,\,4)$ ומ- $B(7,\,2)$ . מצאו את $P$ .

$P($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P($ 5 $,$ 6 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AB} &= (4,\,3) \\ \quad m_{AB} &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

אמצע ושיפוע

\begin{aligned}y - 3 &= 3(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 9\end{aligned}

האנך האמצעי של $AB$

\begin{aligned}3x - 9 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ y &= 6\end{aligned}

חיתוך עם הישר הנתון

\begin{aligned}PA^2 &= 16 + 4 \\ &= 20 \\ &= 4 + 16 \\ &= PB^2\end{aligned}

בדיקה ✓

$P(5,\,6)$ . כל הנקודות במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ נמצאות על האנך האמצעי. מתוכן, רק אחת נמצאת גם על הישר הנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(2,\,3)$ . חשבו את הזווית $\angle CAB$ , במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56.31

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{3}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

שיפוע $AC$

\tan\alpha = 1.5 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 56.31^\circ

$AB$ על הכיוון החיובי של ציר ה- $x$

$\angle CAB \approx 56.31^\circ$ . מי שקיבל $33.69^\circ$ חישב $\tan\alpha = \frac{2}{3}$ : הפך מונה ומכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-2,\,2)$ , $B(1,\,6)$ , $C(6,\,2)$ , $D(3,\,-3)$ . חשבו את שטח המרובע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 6 - (-2) \\ &= 8\end{aligned}

האלכסון $AC$ אופקי

\begin{aligned}h_B &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \quad h_D &= 2 - (-3) \\ &= 5\end{aligned}

גבהים ל- $AC$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 4}{2} + \frac{8 \cdot 5}{2} \\ &= 16 + 20 \\ &= 36\end{aligned}

שני משולשים

השטח $36$ . $h_D = 5$ ולא $3$ : מודדים מהישר $y = 2$ של האלכסון, לא מציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$ABCD$ טרפז שבו $AB \parallel DC$ . $A(0,\,0)$ , $B(6,\,3)$ , $D(0,\,5)$ , והקודקוד $C$ נמצא על הישר $x = 4$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של $C$ .

$C(4,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C(4,$ 7 $)$

הפתרון:

m_{AB} = \frac{1}{2}

שיפוע הבסיס

DC: \ y = \frac{1}{2}x + 5

מקביל ל- $AB$ , דרך $D$

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 7\end{aligned}

$C(4,\,7)$

$C(4,\,7)$ . ועוד פרט: $m_{BC} = \frac{7-3}{4-6} = -2$ , ו- $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ . הטרפז ישר זווית ב- $B$ וב- $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev