סדרה 1 — קל · מצולעים במערכת צירים · כיתה י״א

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: קודקוד חסר, סוג של מרובע, זווית ישרה, שטח, נקודה במרחקים שווים וקטע אמצעים. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: אמצע, שיפוע או מרחק? הכלי הנכון הופך את השאלה לחישוב של שורה אחת.

תרגילים

תרגיל 1

$ABCD$ מקבילית. $A(0,\,0)$ , $B(5,\,1)$ , $C(7,\,4)$ . מצאו את $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 2 $,$ 3 $)$

הפתרון:

M_{AC} = (3.5,\,2)

אמצע $AC$

\begin{aligned}D &= 2M - B \\ &= (7 - 5,\ 4 - 1) \\ &= (2,\,3)\end{aligned}

$M$ גם אמצע $BD$

$D(2,\,3)$ , כלומר $D = A + C - B$ . $B$ ו- $D$ נגדיים, ולכן $B$ הוא זה שמחסרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המרובע $ABCD$ : $A(1,\,1)$ , $B(5,\,2)$ , $C(6,\,5)$ , $D(2,\,4)$ . מהו אמצע האלכסון $BD$ , והאם הוא שווה לאמצע $AC$ ?

$(3.5,\,3)$ , שווה לאמצע $AC$
$(3.5,\,3)$ , שונה מאמצע $AC$
$(3,\,3.5)$ , שווה לאמצע $AC$
$(7,\,6)$ , שונה מאמצע $AC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $(3.5,\,3)$ , שווה לאמצע $AC$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{BD} &= \left(\frac{5+2}{2},\ \frac{2+4}{2}\right) \\ &= (3.5,\,3)\end{aligned}

ממוצע בכל שיעור

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{1+6}{2},\ \frac{1+5}{2}\right) \\ &= (3.5,\,3)\end{aligned}

אותו אמצע

הנכונה: $(3.5,\,3)$ , שווה לאמצע $AC$ . לכן $ABCD$ מקבילית. $(7,\,6)$ הוא סכום בלי חלוקה ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הוכיחו או הפריכו: המשולש $ABC$ , עם $A(0,\,0)$ , $B(2,\,4)$ , $C(6,\,2)$ , ישר זווית ב- $B$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע $AB$

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{2-4}{6-2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע $BC$

2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

$AB \perp BC$

הטענה נכונה. לבדיקת זווית ישרה בקודקוד $B$ לוקחים את שתי הצלעות שיוצאות מ- $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המשולש $ABC$ : $A(1,\,1)$ , $B(9,\,1)$ , $C(4,\,7)$ . חשבו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 9 - 1 \\ &= 8\end{aligned}

צלע אופקית

\begin{aligned}h &= 7 - 1 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה אנכי

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 6}{2} \\ &= 24\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $24$ . הגובה הוא $7 - 1$ , ולא $7$ : הבסיס בגובה $y = 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הנקודה $P$ נמצאת על ציר ה- $y$ , במרחקים שווים מ- $A(2,\,0)$ ומ- $B(6,\,4)$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של $P$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

P(0,\,y)

על ציר ה- $y$

4 + y^2 = 36 + (y - 4)^2

$PA^2 = PB^2$

\begin{aligned}4 + y^2 &= y^2 - 8y + 52 \ \Rightarrow \ 8y \\ &= 48 \ \Rightarrow \ y \\ &= 6\end{aligned}

$y^2$ מצטמצם

$P(0,\,6)$ . בדיקה: $PA^2 = 4 + 36 = 40$ ו- $PB^2 = 36 + 4 = 40$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$ABCD$ טרפז שבו $AB \parallel DC$ . $A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $D(1,\,5)$ . על איזה ישר נמצא הבסיס $DC$ ?

$y = 2x + 3$
$y = \frac{1}{2}x + 1$
$y = \frac{1}{2}x + 4.5$
$y = -2x + 7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y = \frac{1}{2}x + 4.5$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3-1}{4-0} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הבסיס הנתון

\begin{aligned}y - 5 &= \frac{1}{2}(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{1}{2}x + 4.5\end{aligned}

מקביל, דרך $D$

הנכונה: $y = \frac{1}{2}x + 4.5$ . $y = -2x + 7$ מאונך ל- $AB$ . $y = \frac{1}{2}x + 1$ הוא הישר $AB$ עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$A(1,\,1)$ , $B(4,\,4)$ . מהי הזווית, במעלות, שהישר $AB$ יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-1}{4-1} \\ &= 1\end{aligned}

שיפוע

\begin{aligned}\tan\alpha &= 1 \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

$\tan\alpha = m$

$45^\circ$ . שיפוע $1$ פירושו: צעד ימינה, צעד למעלה. שני הניצבים שווים, ולכן הזווית $45^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,8)$ , $B(-4,\,0)$ , $C(6,\,0)$ . $D$ ו- $E$ הם אמצעי $AB$ ו- $AC$ . מצאו את אורך $DE$ ואת שטח המשולש $ADE$ .

$DE =$ ____ , $S_{ADE} =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $DE =$ 5 , $S_{ADE} =$ 10

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 6 - (-4) \\ &= 10 \ \Rightarrow \ DE \\ &= 5\end{aligned}

קטע אמצעים: חצי מהצלע השלישית

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 8}{2} \\ &= 40\end{aligned}

$BC$ על ציר ה- $x$

\begin{aligned}S_{ADE} &= \frac{40}{4} \\ &= 10\end{aligned}

יחס דמיון $1:2$ , יחס שטחים $1:4$

$DE = 5$ ו- $S_{ADE} = 10$ . בדיקה: $D(-2,\,4)$ , $E(3,\,4)$ , $DE = 3 - (-2) = 5$ ✓. מי שענה $20$ חילק את השטח ב- $2$ במקום ב- $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ידוע ש- $ABCD$ מקבילית. איזה זוג קטעים מספיק להשוות כדי להוכיח שהיא מעוין?

$AC$ ו- $BD$
$AD$ ו- $BC$
$AB$ ו- $CD$
$AB$ ו- $BC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $AB$ ו- $BC$

הפתרון:

AB = BC

צלעות סמוכות

\begin{aligned}AB &= CD \\ \ AD &= BC\end{aligned}

נכון בכל מקבילית

AC = BD

במקבילית: מלבן

הנכונה: $AB$ ו- $BC$ , שתי צלעות סמוכות. $AB$ ו- $CD$ וגם $AD$ ו- $BC$ הן צלעות נגדיות, שוות בכל מקבילית. אלכסונים שווים מוכיחים מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$ABCD$ מלבן. $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $D(-1,\,2)$ . מצאו את $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 3 $,$ 4 $)$

הפתרון:

M_{BD} = (1.5,\,2)

אמצע $BD$

\begin{aligned}C &= 2M - A \\ &= (3,\,4)\end{aligned}

$C$ מול $A$

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{AD} &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= -1\end{aligned}

בדיקה: $\angle A = 90^\circ$ ✓

$C(3,\,4)$ , כלומר $C = B + D - A$ . במלבן, כמו בכל מקבילית, הקודקוד הרביעי בא מהאלכסונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev