פותרים יחד · מצולעים במערכת צירים · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון שאלת המצולע בבגרות. כל אחת בנויה כמו בבחינה: כמה סעיפים, וכל סעיף נשען על הקודם. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ושאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל סעיף שאלו: איזו תכונה מסתתרת בנתון, ואיזה כלי מתרגם אותה, אמצע, שיפוע או מרחק? ובכל שורה כתבו את הנימוק, לא רק את החישוב.

1 — תיכון, מקבילית ושטח

הנתונים:

A(4,\,6)

B(-2,\,2)

, והצלע

AC

על הישר האנכי

x = 4

פעילות אינטראקטיבית

במשולש $ABC$ נתון: $A(4,\,6)$ , $B(-2,\,2)$ . הצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ , והאמצע $M$ של $AC$ נמצא על ציר ה- $x$ . א. מצאו את $M$ ואת $C$ . ב. הנקודה $D$ נמצאת על המשך התיכון $BM$ , כך ש- $BM = MD$ . מצאו את $D$ והוכיחו ש- $ABCD$ מקבילית. ג. חשבו את שטח המקבילית $ABCD$ . ד. האם $ABCD$ מעוין? נמקו.

A(4,\,6),\quad B(-2,\,2),\quad AC \parallel y,\quad M \in x

לחצו «להתחיל». «מקבילה לציר ה- $y$ » פירושו: לכל הנקודות על $AC$ אותו שיעור $x$ .

א. M

\begin{aligned}x_M &= 4 \\ \ y_M &= 0 \ \Rightarrow \ M(4,\,0)\end{aligned}

$M$ על $AC$ ( $x = 4$ ) ועל ציר ה- $x$ ( $y = 0$ ).

א. C

\begin{aligned}C &= 2M - A \\ &= (8 - 4,\ 0 - 6) \\ &= (4,\,-6)\end{aligned}

$M$ אמצע $AC$ .

ב. D

\begin{aligned}D &= 2M - B \\ &= (8 + 2,\ 0 - 2) \\ &= (10,\,-2)\end{aligned}

$BM = MD$ , כלומר $M$ אמצע $BD$ .

ב. הוכחה

\begin{aligned}M_{AC} &= M_{BD} \\ &= (4,\,0)\end{aligned}

האלכסונים $AC$ ו- $BD$ חוצים זה את זה, ולכן $ABCD$ מקבילית.

ג. שטח

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{AC \cdot h}{2} \\ &= \frac{12 \cdot 6}{2} \\ &= 36 \ \Rightarrow \ S_{ABCD} \\ &= 72\end{aligned}

$AC$ אנכית באורך $12$ , והגובה אליה $4 - (-2) = 6$ . האלכסון חוצה את המקבילית לשני משולשים חופפים.

ד. מעוין?

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 16} \\ &= \sqrt{52} \\ \quad BC &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

צלעות סמוכות שונות: לא מעוין.

סעיף ב הוא הלב של השאלה: « $BM = MD$ » הוא בדיוק התכונה «האלכסונים חוצים זה את זה», כתובה במילים אחרות.

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ג: למה בחרנו את $AC$ כבסיס, ולא את $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $AC$ אנכית: אורכה $6 - (-6) = 12$ , והגובה אליה אופקי, $6$ . בסיס משופע כמו $AB$ היה דורש ישר מאונך, נקודת חיתוך ונוסחת מרחק.

השאלות התאומות: שאלות 1 ו-2 ברשימה למטה.

2 — מעוין: הקודקודים על האנך האמצעי

הנתונים:

A(0,\,2)

ו-

C(4,\,10)

, שני קודקודים נגדיים של המעוין.

פעילות אינטראקטיבית

מעוין שקודקוד שלו על ציר ה- $y$

$ABCD$ מעוין. $A(0,\,2)$ , $C(4,\,10)$ , והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ . א. מצאו את משוואת האלכסון $BD$ . ב. מצאו את $B$ ואת $D$ . ג. חשבו את שטח המעוין.

$B(0,\,7)$ , $D(4,\,5)$ , $S = 20$

$B(0,\,7)$ , $D(4,\,5)$ , $S = 40$

$B(0,\,6)$ , $D(4,\,6)$ , $S = 16$

$B(0,\,2)$ , $D(4,\,10)$ , $S = 20$

איזו תכונה של המעוין מובילה אל $B$ ?

האלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים: $BD$ הוא האנך האמצעי של $AC$

להציג את התשובה והפתרון

שתי תכונות האלכסונים יחד נותנות ישר אחד.

$AB \parallel DC$

להציג את התשובה והפתרון

נכון, אבל $D$ ו- $C$ לא ידועים יחד, ולכן אין כאן ישר.

\begin{aligned}M_{AC} &= (2,\,6) \\ \quad m_{AC} &= \frac{10-2}{4-0} \\ &= 2\end{aligned}

אמצע ושיפוע של האלכסון הידוע

מה משוואת $BD$ ?

$y = -\frac{1}{2}x + 7$

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע $-\frac{1}{2}$ דרך $(2,\,6)$ .

$y = 2x + 2$

להציג את התשובה והפתרון

זה הישר $AC$ עצמו.

\begin{aligned}y - 6 &= -\frac{1}{2}(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 7\end{aligned}

הופכי ונגדי, דרך האמצע

איך מוצאים את $B$ ואת $D$ ?

$B$ : מציבים $x = 0$ . $D$ : $D = 2M - B$

להציג את התשובה והפתרון

$B$ על ציר ה- $y$ , ו- $M$ אמצע $BD$ .

$B$ : מציבים $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

$y = 0$ הוא ציר ה- $x$ .

\begin{aligned}B(0,\,7) \\ \quad D &= (4 - 0,\ 12 - 7) \\ &= (4,\,5)\end{aligned}

בדיקה: $AB = 5$ ו- $AD = \sqrt{16 + 9} = 5$ ✓

איך מחשבים את השטח?

$\frac{AC \cdot BD}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

במעוין האלכסונים מאונכים.

$AC \cdot BD$

להציג את התשובה והפתרון

זה שטח המלבן שהמעוין חסום בו. המעוין הוא חצי ממנו.

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{1600}}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$AC = \sqrt{16 + 64}$ , $BD = \sqrt{16 + 4}$

להציג את התשובה והפתרון

$B(0,\,7)$ , $D(4,\,5)$ , $S = 20$ . בדיקה בדרך אחרת: $AB$ על ציר ה- $y$ באורכה $5$ , והגובה אליה $x_D = 4$ . מעוין הוא מקבילית, ולכן $S = 5 \cdot 4 = 20$ ✓.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $ABCD$ ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

לא. בריבוע האלכסונים שווים, וכאן $AC = \sqrt{80}$ ו- $BD = \sqrt{20}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

3 — דלתון עם זווית ישרה

הנתונים:

A(0,\,0)

B(6,\,2)

, והאלכסון

AC

על הישר

y = x

פעילות אינטראקטיבית

$ABCD$ דלתון שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . $A(0,\,0)$ , $B(6,\,2)$ . האלכסון $AC$ נמצא על הישר $y = x$ , ו- $\angle ABC = 90^\circ$ . א. מצאו את $C$ . ב. מצאו את $D$ . ג. הוכיחו ש- $ABCD$ אינו מעוין. ד. חשבו את שטח הדלתון.

\begin{aligned}A(0,\,0) \\ \quad B(6,\,2) \\ \quad AC: \ y &= x \\ \quad \angle ABC &= 90^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הזווית הישרה נותנת ישר, $BC \perp AB$ , והקודקוד $C$ הוא חיתוך שלו עם $y = x$ .

א. BC

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ y - 2 \\ &= -3(x - 6) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 20\end{aligned}

$BC \perp AB$ .

א. C

\begin{aligned}x &= -3x + 20 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \ \Rightarrow \ C(5,\,5)\end{aligned}

חיתוך עם $y = x$ .

ב. אנך

\begin{aligned}y - 2 &= -1 \cdot (x - 6) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 8\end{aligned}

בדלתון $BD \perp AC$ , ו- $m_{AC} = 1$ .

ב. D

\begin{aligned}E &= (4,\,4) \ \Rightarrow \ D \\ &= 2E - B \\ &= (2,\,6)\end{aligned}

$E$ חיתוך האנך עם $AC$ . האלכסון הראשי חוצה את $BD$ .

ג.

\begin{aligned}AB &= \sqrt{40} \\ \quad BC &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

צלעות סמוכות שונות: לא מעוין.

ד. שטח

\begin{aligned}S &= 2 \cdot \frac{\sqrt{40} \cdot \sqrt{10}}{2} \\ &= \sqrt{400} \\ &= 20\end{aligned}

האלכסון $AC$ חוצה את הדלתון לשני משולשים חופפים, ישרי זווית ב- $B$ וב- $D$ .

בדיקה בנוסחת האלכסונים: $AC = \sqrt{50}$ , $BD = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$ , ו- $\frac{\sqrt{50 \cdot 32}}{2} = \frac{40}{2} = 20$ ✓.

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ב, האם $E(4,\,4)$ הוא גם אמצע $AC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. אמצע $AC$ הוא $(2.5,\,2.5)$ . בדלתון רק האלכסון הראשי $AC$ חוצה את $BD$ . אילו גם $BD$ היה חוצה את $AC$ , הדלתון היה מעוין.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

4 — טרפז, זווית ונקודה לפי שטח

הנתונים:

A(0,\,0)

B(8,\,0)

D(0,\,4)

, והישר

y = \frac{1}{2}x + 3

בירוק.

פעילות אינטראקטיבית

טרפז ישר זווית ונקודה על הבסיס

$ABCD$ טרפז שבו $AB \parallel DC$ . $A(0,\,0)$ , $B(8,\,0)$ , $D(0,\,4)$ . השוק $BC$ מאונכת לישר $y = \frac{1}{2}x + 3$ . א. מצאו את $C$ . ב. חשבו את הזווית $\angle ABC$ . ג. הנקודה $K$ על הצלע $AB$ , ושטח המשולש $KBC$ הוא חצי משטח הטרפז. מצאו את $K$ .

$C(6,\,4)$ , $\angle ABC \approx 63.43^\circ$ , $K(1,\,0)$

$C(6,\,4)$ , $\angle ABC \approx 26.57^\circ$ , $K(1,\,0)$

$C(16,\,4)$ , $\angle ABC \approx 63.43^\circ$ , $K(4,\,0)$

$C(6,\,4)$ , $\angle ABC \approx 63.43^\circ$ , $K(4,\,0)$

מה משוואת $BC$ ?

$y = -2x + 16$

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע הופכי ונגדי ל- $\frac{1}{2}$ , דרך $B(8,\,0)$ .

$y = \frac{1}{2}x - 4$

להציג את התשובה והפתרון

זה ישר מקביל לנתון, לא מאונך.

\begin{aligned}y - 0 &= -2(x - 8) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 16\end{aligned}

השוק $BC$

איפה נמצא $C$ ?

על הישר $y = 4$ : $DC \parallel AB$ ועובר דרך $D$

להציג את התשובה והפתרון

$AB$ על ציר ה- $x$ , ולכן $DC$ אופקי.

על ציר ה- $y$

להציג את התשובה והפתרון

על ציר ה- $y$ נמצא $D$ , לא $C$ .

\begin{aligned}-2x + 16 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6 \ \Rightarrow \ C(6,\,4)\end{aligned}

חיתוך השוק עם הבסיס העליון

איך מוצאים את $\angle ABC$ ?

$\tan\alpha = |m_{BC}| = 2$ , כי $BA$ על ציר ה- $x$

להציג את התשובה והפתרון

הזווית בין השוק לבסיס האופקי.

$\tan\alpha = \frac{1}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{1}{2}$ הוא השיפוע של הישר הנתון, לא של $BC$ .

\tan\angle ABC = 2 \ \Rightarrow \ \angle ABC \approx 63.43^\circ

$m_{BC} = -2$ : הישר יורד, והזווית עם ציר ה- $x$ החיובי היא $116.57^\circ$ . הזווית בתוך הטרפז היא המשלימה ל- $180^\circ$

איך מוצאים את $K$ ?

$K(t,\,0)$ , $S_{KBC} = \frac{(8 - t) \cdot 4}{2}$ , ומשווים ל- $14$

להציג את התשובה והפתרון

שטח הטרפז $\frac{(8 + 6) \cdot 4}{2} = 28$ , וחציו $14$ .

$K$ הוא אמצע $AB$

להציג את התשובה והפתרון

אמצע $AB$ נותן $S_{KBC} = 8$ , לא $14$ .

\begin{aligned}2(8 - t) &= 14 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \ \Rightarrow \ K(1,\,0)\end{aligned}

הגובה של $KBC$ הוא $y_C = 4$

להציג את התשובה והפתרון

$C(6,\,4)$ , $\angle ABC \approx 63.43^\circ$ , $K(1,\,0)$ . כאן יש פתרון אחד: $K$ על הצלע $AB$ , ולכן $0 \leq t \leq 8$ . הפתרון $t = 15$ של $|8 - t| = 7$ נפסל, כי הוא מחוץ לצלע.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה הזווית $\angle BCD$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$180^\circ - 63.43^\circ = 116.57^\circ$ . בטרפז, זוויות שליד אותה שוק משלימות זו את זו ל- $180^\circ$ , כי הבסיסים מקבילים.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ נתון: $A(2,\,5)$ , $B(-3,\,1)$ . הצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ , והאמצע $M$ של $AC$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך התיכון $BM$ , כך ש- $BM = MD$ . מצאו את $C$ ואת $D$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$ , $D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 2 $,$ -5 $)$ , $D($ 7 $,$ -1 $)$

הפתרון:

M(2,\,0)

$x = 2$ כמו $A$ , ו- $y = 0$ על ציר ה- $x$

\begin{aligned}C &= 2M - A \\ &= (2,\,-5)\end{aligned}

$M$ אמצע $AC$

\begin{aligned}D &= 2M - B \\ &= (4 + 3,\ 0 - 1) \\ &= (7,\,-1)\end{aligned}

$M$ אמצע $BD$

$C(2,\,-5)$ ו- $D(7,\,-1)$ . מי שכתב $C(-5,\,2)$ החליף בין השיעורים. $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ , ולכן $x_C = x_A = 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ נתון: $A(2,\,5)$ , $B(-3,\,1)$ . הצלע $AC$ מקבילה לציר ה- $y$ , והאמצע $M$ של $AC$ נמצא על ציר ה- $x$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך התיכון $BM$ , כך ש- $BM = MD$ . $C(2,\,-5)$ , $D(7,\,-1)$ , ו- $ABCD$ מקבילית. חשבו את שטח המקבילית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 5 - (-5) \\ &= 10\end{aligned}

$AC$ אנכית

\begin{aligned}h &= 2 - (-3) \\ &= 5\end{aligned}

הגובה מ- $B$ ל- $AC$ אופקי

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 5}{2} \\ &= 25 \ \Rightarrow \ S_{ABCD} \\ &= 50\end{aligned}

האלכסון חוצה את המקבילית לשני משולשים חופפים

השטח $50$ . מי שעצר ב- $25$ חישב רק את המשולש $ABC$ , חצי מהמקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$ABCD$ מעוין. $A(2,\,0)$ , $C(6,\,8)$ , והקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ . מצאו את $B$ ואת $D$ .

$B(0,$ ____ $)$ , $D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B(0,$ 6 $)$ , $D($ 8 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= (4,\,4) \\ \quad m_{AC} &= 2\end{aligned}

אמצע ושיפוע

\begin{aligned}BD: \ y - 4 &= -\frac{1}{2}(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{1}{2}x + 6\end{aligned}

האנך האמצעי של $AC$

\begin{aligned}B(0,\,6) \\ \quad D &= 2M - B \\ &= (8,\,2)\end{aligned}

$x = 0$ , ואז שיקוף דרך $M$

\begin{aligned}AB^2 &= 4 + 36 \\ &= 40 \\ &= 36 + 4 \\ &= AD^2\end{aligned}

בדיקה ✓

$B(0,\,6)$ ו- $D(8,\,2)$ . $B$ ו- $D$ נמצאים שניהם על האנך האמצעי של $AC$ , במרחקים שווים מ- $M$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$ABCD$ דלתון שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ . האלכסון $AC$ נמצא על ציר ה- $x$ , ו- $\angle ABC = 90^\circ$ . מצאו את $C$ , את $D$ ואת שטח הדלתון.

$C($ ____ $,0)$ , $D(4,$ ____ $)$ , $S =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 5 $,0)$ , $D(4,$ -2 $)$ , $S =$ 10

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ BC: \ y - 2 \\ &= -2(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 10\end{aligned}

$BC \perp AB$

y = 0 \ \Rightarrow \ C(5,\,0)

חיתוך עם ציר ה- $x$

D(4,\,-2)

שיקוף של $B$ ביחס לציר ה- $x$ : $BD \perp AC$ ו- $AC$ חוצה את $BD$

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 4}{2} \\ &= 10\end{aligned}

בדלתון האלכסונים מאונכים

$C(5,\,0)$ , $D(4,\,-2)$ ו- $S = 10$ . כשהאלכסון הראשי על ציר, השיקוף פשוט: רק הסימן של $y$ מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$ABCD$ טרפז שבו $AB \parallel DC$ . $A(0,\,0)$ , $B(10,\,0)$ , $D(0,\,6)$ , והשוק $BC$ מאונכת לישר $y = \frac{1}{2}x$ . הנקודה $K$ על הצלע $AB$ , ושטח המשולש $KBC$ הוא חצי משטח הטרפז. מצאו את שיעור ה- $x$ של $K$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

\begin{aligned}BC: \ y &= -2(x - 10) \\ &= -2x + 20\end{aligned}

שיפוע $-2$ דרך $B$

-2x + 20 = 6 \ \Rightarrow \ C(7,\,6)

$DC$ על הישר $y = 6$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= \frac{(10 + 7) \cdot 6}{2} \\ &= 51\end{aligned}

שטח טרפז

\begin{aligned}\frac{(10 - t) \cdot 6}{2} &= 25.5 \ \Rightarrow \ 10 - t \\ &= 8.5 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1.5\end{aligned}

$K(t,\,0)$ , והגובה $6$

$K(1.5,\,0)$ . הבסיס של $KBC$ הוא $KB = 10 - t$ , לא $t$ : מי שכתב $3t = 25.5$ מדד מ- $A$ במקום מ- $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — תיכון, מקבילית ושטח

2 — מעוין: הקודקודים על האנך האמצעי

3 — דלתון עם זווית ישרה

4 — טרפז, זווית ונקודה לפי שטח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev