גובה, שטח ונקודה לפי שטח · מצולעים במערכת צירים · כיתה י״א

בשאלה על מצולע במערכת צירים יש כמעט תמיד סעיף של שטח. הבחירה של הבסיס קובעת כמה עבודה תהיה. הסתכלו על המשולש שבשרטוט: הצלע $AB$ אופקית, ולכן הגובה אליה אנכי, ואורכו נקרא בלי שום נוסחה.

A(-2,\,1)

B(6,\,1)

C(3,\,6)

AB = 6 - (-2) = 8

, והגובה

CH = 6 - 1 = 5

. לכן

S = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20

ומה היה השטח אילו $C$ היה $(10,\,6)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

עדיין $20$ . הגובה ל- $AB$ הוא ההפרש בשיעורי ה- $y$ , $6 - 1 = 5$ , גם כשהעקב נופל מחוץ לקטע $AB$ . בסיס שווה וגובה שווה נותנים שטח שווה.

צלע משופעת: הגובה בשלושה צעדים

m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}}

1. שיפוע הגובה: הופכי ונגדי לשיפוע הבסיס

H = AB \cap CH

2. עקב הגובה: נקודת החיתוך של שני הישרים

h = CH

3. אורך הגובה: נוסחת המרחק

גובה לצלע משופעת, ושטח

נתון המשולש $ABC$ : $A(1,\,1)$ , $B(7,\,4)$ , $C(1,\,6)$ . מצאו את עקב הגובה $H$ מ- $C$ לצלע $AB$ , ואת שטח המשולש.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-1}{7-1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ AB: \ y \\ &= \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\end{aligned}

הישר של הבסיס

\begin{aligned}m_{CH} &= -2 \ \Rightarrow \ y - 6 \\ &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

הגובה מאונך ל- $AB$ ועובר דרך $C$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} &= -2x + 8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ y &= 2\end{aligned}

$H(3,\,2)$

\begin{aligned}CH &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= 2\sqrt{5} \\ \quad AB &= \sqrt{6^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{5}\end{aligned}

אורכי הגובה והבסיס

\begin{aligned}S &= \frac{3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{30}{2} \\ &= 15\end{aligned}

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

הגובה

CH

יורד מ-

C

אל הצלע המשופעת

AB

בזווית ישרה, ופוגש אותה ב-

H(3,\,2)

יש דרך קצרה יותר לבדוק את השטח $15$ . איזו צלע של המשולש נוחה יותר כבסיס?

להציג את התשובה והפתרון

הצלע $AC$ : ל- $A$ ול- $C$ אותו שיעור $x = 1$ , ולכן היא אנכית ואורכה $5$ . הגובה אליה אופקי: $7 - 1 = 6$ . $S = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$ ✓. לפני שבוחרים בסיס, מחפשים צלע מקבילה לציר.

נקודה לפי שטח: בדרך כלל שתי תשובות

«מצאו נקודה $K$ על ציר ה- $x$ כך ששטח המשולש $ABK$ יהיה $18$ ». מסמנים $K(t,\,0)$ , מבטאים את השטח באמצעות $t$ ומשווים. כשהבסיס $AK$ על ציר ה- $x$ , אורכו $|t - x_A|$ : ערך מוחלט, ולכן יש שני פתרונות, אחד מכל צד של $A$ .

נקודה על ציר ה-x לפי שטח

$A(2,\,0)$ , $B(5,\,6)$ . מצאו את הנקודות $K$ על ציר ה- $x$ שעבורן שטח המשולש $ABK$ הוא $18$ .

\begin{aligned}K(t,\,0) \\ \quad AK &= |t - 2|\end{aligned}

הבסיס על ציר ה- $x$

\begin{aligned}h &= y_B \\ &= 6\end{aligned}

הגובה מ- $B$ לציר ה- $x$

\begin{aligned}\frac{|t - 2| \cdot 6}{2} &= 18 \ \Rightarrow \ |t - 2| \\ &= 6\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 8 \ \text{או} \ t \\ &= -4\end{aligned}

$K(8,\,0)$ או $K(-4,\,0)$

קטע אמצעים ושטחים

D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

$D$ ו- $E$ הם אמצעי הצלעות $AB$ ו- $AC$ , ו- $BC = 12$ ס״מ. לפי משפט קטע האמצעים, $DE \parallel BC$ ו- $DE = 6$ ס״מ. המשולש $ADE$ דומה למשולש $ABC$ ביחס $1:2$ , ולכן יחס השטחים הוא $1:4$ . שטח $ADE$ הוא רבע משטח $ABC$ , והטרפז $DBCE$ הוא שלושה רבעים. במערכת צירים זה חוסך חישוב: מוצאים את שטח $ABC$ ומחלקים.

מה היחס בין שטח המשולש $ADE$ לשטח הטרפז $DBCE$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$1:3$ . המשולש הוא רבע, הטרפז שלושה רבעים. מי שעונה $1:4$ השווה את המשולש הקטן לכל המשולש, ולא לטרפז.

מרובע: חותכים למשולשים

את שטח המרובע $ABCD$ מחשבים כסכום של שני משולשים, לאורך אלכסון. כשאלכסון $AC$ מקביל לציר, הגבהים מ- $B$ ומ- $D$ נקראים ישירות: $S = \frac{AC \cdot (h_B + h_D)}{2}$ . ובמעוין ובדלתון, שבהם האלכסונים מאונכים: $S = \frac{AC \cdot BD}{2}$ .

שלוש הטעויות של שטח במערכת צירים.

S = \frac{AB \cdot AC}{2}

S = \frac{AB \cdot h}{2}

צלע שנייה אינה גובה, אלא אם הזווית בין שתי הצלעות ישרה. הגובה מאונך לבסיס.

\begin{aligned}|t - 2| &= 6 \ \Rightarrow \ t \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}t &= 8 \ \text{או} \ t \\ &= -4\end{aligned}

הנקודה יכולה להיות משני צדי $A$ . מי ששוכח את הפתרון השני מאבד את חצי הסעיף.

h = y_C

h = |y_C - y_A|

הגובה לצלע אופקית הוא הפרש שיעורי ה- $y$ . הוא שווה ל- $y_C$ רק כשהבסיס על ציר ה- $x$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(-3,\,2)$ , $B(5,\,2)$ , $C(1,\,8)$ . חשבו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

צלע אופקית

\begin{aligned}h &= 8 - 2 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה אנכי: הפרש שיעורי ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 6}{2} \\ &= 24\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $24$ . מי שלקח $h = 8$ שכח שהבסיס בגובה $y = 2$ , ולא על ציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(2,\,-1)$ , $B(2,\,5)$ , $C(7,\,3)$ . חשבו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 5 - (-1) \\ &= 6\end{aligned}

$AB$ אנכית: ל- $A$ ול- $B$ אותו $x$

\begin{aligned}h &= 7 - 2 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה אליה אופקי

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 5}{2} \\ &= 15\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $15$ . צלע אנכית נוחה בדיוק כמו צלע אופקית: הגובה אליה הוא הפרש שיעורי ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,4)$ , $C(2,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . מצאו את עקב הגובה $H$ .

$H($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $H($ 4 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ AB: \ y \\ &= \frac{1}{2}x\end{aligned}

הישר של הבסיס

\begin{aligned}y - 6 &= -2(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 10\end{aligned}

הגובה: הופכי ונגדי, דרך $C$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x &= -2x + 10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך

$H(4,\,2)$ . הוא במקרה גם אמצע $AB$ : המשולש שווה שוקיים, $CA = CB$ . מי שהתחיל מהאמצע בלי לבדוק, קיבל את התשובה במזל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,4)$ , $C(2,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . עקב הגובה הוא $H(4,\,2)$ . מהו אורך הגובה $CH$ ?

$4$
$2\sqrt{5}$
$2\sqrt{10}$
$6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $2\sqrt{5}$

הפתרון:

\begin{aligned}CH &= \sqrt{(4-2)^2 + (2-6)^2} \\ &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}\sqrt{20} &= \sqrt{4 \cdot 5} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

מוציאים גורם מהשורש

הנכונה: $2\sqrt{5}$ . $2\sqrt{10}$ הוא $CA$ , צלע ולא גובה. $6$ הוא $y_C$ : הגובה אנכי רק כשהבסיס אופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,4)$ , $C(2,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . $H(4,\,2)$ ו- $CH = 2\sqrt{5}$ . חשבו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

אורך הבסיס

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 5}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

השטח $20$ . מי שקיבל $\sqrt{5}$ בתשובה שכח ש- $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ . שטח של משולש עם קודקודים שלמים הוא תמיד שלם או חצי שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$A(1,\,0)$ , $B(3,\,4)$ . הנקודה $K$ על ציר ה- $x$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא $12$ . מצאו את שני הערכים האפשריים של שיעור ה- $x$ של $K$ .

הגדול: ____ , הקטן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגדול: 7 , הקטן: -5

הפתרון:

\begin{aligned}K(t,\,0) \\ \quad AK &= |t - 1| \\ \quad h &= 4\end{aligned}

בסיס על ציר ה- $x$ , גובה $y_B$

\begin{aligned}\frac{|t-1| \cdot 4}{2} &= 12 \ \Rightarrow \ |t - 1| \\ &= 6\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 7 \ \text{או} \ t \\ &= -5\end{aligned}

שני הצדדים של $A$

$K(7,\,0)$ או $K(-5,\,0)$ . ערך מוחלט נותן שני פתרונות, וכאן שניהם מתאימים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,3)$ , $B(4,\,7)$ , $C(8,\,3)$ , $D(3,\,0)$ . חשבו את שטח המרובע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 8 - 0 \\ &= 8\end{aligned}

האלכסון $AC$ אופקי

\begin{aligned}h_B &= 7 - 3 \\ &= 4 \\ \quad h_D &= 3 - 0 \\ &= 3\end{aligned}

הגבהים של שני המשולשים ל- $AC$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 4}{2} + \frac{8 \cdot 3}{2} \\ &= 16 + 12 \\ &= 28\end{aligned}

$S_{ABC} + S_{ACD}$

השטח $28$ . חותכים לאורך האלכסון האופקי, ולא לאורך $BD$ , שהוא משופע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$ABCD$ מעוין: $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $C(6,\,6)$ , $D(2,\,4)$ . חשבו את שטח המעוין.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{36 + 36} \\ &= 6\sqrt{2} \\ \quad BD &= \sqrt{4 + 4} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

אורכי האלכסונים

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{24}{2} \\ &= 12\end{aligned}

במעוין האלכסונים מאונכים

השטח $12$ . הנוסחה $\frac{AC \cdot BD}{2}$ נכונה כי האלכסונים מאונכים. במקבילית רגילה היא לא נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,6)$ , $B(-4,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . $D$ ו- $E$ הם אמצעי הצלעות $AB$ ו- $AC$ . מהו שטח המרובע $DBCE$ ?

$18$
$27$
$24$
$9$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $27$

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{12 \cdot 6}{2} \\ &= 36\end{aligned}

$BC$ על ציר ה- $x$

\begin{aligned}S_{ADE} &= \frac{1}{4} \cdot 36 \\ &= 9\end{aligned}

קטע אמצעים: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ביחס $1:2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}

המשולש הגדול פחות הקטן

הנכונה: $27$ . $18$ מניח שקטע האמצעים חוצה את השטח. אבל יחס הדמיון $1:2$ נותן יחס שטחים $1:4$ . $9$ הוא שטח המשולש $ADE$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ . הנקודה $K$ על ציר ה- $y$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא $10$ . ל- $K$ שתי אפשרויות. מצאו את שיעור ה- $y$ החיובי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}K(0,\,t) \\ \quad AK &= |t - 1|\end{aligned}

הבסיס על ציר ה- $y$

\begin{aligned}h &= x_B \\ &= 4\end{aligned}

הגובה אופקי: המרחק של $B$ מציר ה- $y$

\begin{aligned}\frac{|t - 1| \cdot 4}{2} &= 10 \ \Rightarrow \ |t - 1| \\ &= 5\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 6 \ \text{או} \ t \\ &= -4\end{aligned}

שני הפתרונות

$K(0,\,6)$ , והפתרון השני $K(0,\,-4)$ . כשהבסיס על ציר ה- $y$ , הגובה הוא שיעור ה- $x$ של הקודקוד השלישי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

צלע משופעת: הגובה בשלושה צעדים

נקודה לפי שטח: בדרך כלל שתי תשובות

קטע אמצעים ושטחים

מרובע: חותכים למשולשים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev