להוכיח את סוג המרובע · מצולעים במערכת צירים · כיתה י״א

«הוכיחו כי $ABCD$ מקבילית». «האם המרובע הוא מעוין? נמקו». בשאלות כאלה החישוב קצר, והשאלה האמיתית היא מה לחשב. הסתכלו על האלכסונים: הם מזהים את המרובע כמעט לבדם.

באיזה מרובע האלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה, אבל אינם מאונכים?

להציג את התשובה והפתרון

במלבן שאינו ריבוע. חוצים זה את זה: מקבילית. שווים: מלבן. אילו היו גם מאונכים, זה היה ריבוע.

הסולם: קודם מקבילית, ואחר כך מה שמעליה

M_{AC} = M_{BD}

מקבילית. הדרך הקצרה: שני אמצעים. דרך אחרת: שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות, כלומר ארבעה שיפועים

\text{מקבילית} + m_{AB} \cdot m_{BC} = -1

מלבן: זווית ישרה אחת מספיקה. או: אלכסונים שווים, $AC = BD$

\text{מקבילית} + AB = BC

מעוין: שתי צלעות סמוכות שוות. או: אלכסונים מאונכים

\text{מלבן} + \text{מעוין}

ריבוע

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} \neq m_{BC}\end{aligned}

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות. חובה לבדוק גם את הזוג השני, ולהראות שהוא לא מקביל

\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\end{aligned}

דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. או: $AC$ הוא האנך האמצעי של $BD$

הוכחה שמרובע הוא מעוין

נתון המרובע $ABCD$ : $A(1,\,2)$ , $B(4,\,6)$ , $C(9,\,6)$ , $D(6,\,2)$ . הוכיחו ש- $ABCD$ מעוין.

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{1+9}{2},\ \frac{2+6}{2}\right) \\ &= (5,\,4) \\ \quad M_{BD} &= \left(\frac{4+6}{2},\ \frac{6+2}{2}\right) \\ &= (5,\,4)\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $ABCD$ מקבילית

\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 5 \\ \quad BC &= 9 - 4 \\ &= 5\end{aligned}

$BC$ אופקית. שתי צלעות סמוכות שוות

\text{מקבילית} + AB = BC \ \Rightarrow \ \text{מעוין}

מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BD} &= \frac{2-6}{6-4} \\ &= -2 \\ \quad \frac{1}{2} \cdot (-2) &= -1\end{aligned}

בדיקה: האלכסונים מאונכים, כמו בכל מעוין

המעוין

ABCD

ואלכסוניו.

BC

ו-

AD

אופקיות, ולכן אורכן נקרא ישירות:

5

האם $ABCD$ ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $m_{AB} = \frac{4}{3}$ ו- $m_{BC} = 0$ , והמכפלה $0 \neq -1$ : אין זווית ישרה. ואפשר גם כך: $AC = \sqrt{80}$ ו- $BD = \sqrt{20}$ , האלכסונים אינם שווים.

כתבו בכל שורה נימוק, כמו בהוכחה בגאומטריה: «האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן מקבילית». החישוב לבדו אינו הוכחה, כי הבודק צריך לראות איזו תכונה הוא מוכיח.

טרפז: להוכיח גם מה לא מקביל

טרפז ישר זווית

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,2)$ , $B(4,\,4)$ , $C(7,\,3)$ , $D(1,\,0)$ . הוכיחו ש- $ABCD$ טרפז ישר זווית.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{4-0} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{DC} &= \frac{3-0}{7-1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{0-2}{1-0} \\ &= -2 \\ \quad m_{BC} &= \frac{3-4}{7-4} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

$AD$ ו- $BC$ אינן מקבילות: טרפז, ולא מקבילית

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{AD} &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= -1\end{aligned}

$AD \perp AB$ : זווית ישרה ב- $A$ , ולכן גם ב- $D$

הבסיסים

AB

ו-

DC

מקבילים, והשוק

AD

מאונכת לשניהם. השוק

BC

משופעת.

זווית מתוך השיפוע

\tan\alpha = m

$\alpha$ היא הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . זווית של מצולע מקבלים מהזוויות של הצלעות: אם צלע אחת אופקית, הזווית היא $\alpha$ של הצלע השנייה (או $180^\circ - \alpha$ ). בטרפז שלמעלה $m_{AD} = -2$ , ולכן $\tan\alpha = -2$ ו- $\alpha \approx 116.57^\circ$ : הישר $AD$ יורד. הזווית החדה בינו לבין ציר ה- $x$ היא $180^\circ - 116.57^\circ = 63.43^\circ$ .

במשולש $ABC$ הצלע $AB$ על ציר ה- $x$ , $A(0,\,0)$ , ו- $C(3,\,3)$ . מהי הזווית $\angle CAB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$m_{AC} = \frac{3}{3} = 1$ , ולכן $\tan\alpha = 1$ ו- $\alpha = 45^\circ$ . הצלע $AB$ על הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ , ולכן $\angle CAB = 45^\circ$ .

שלוש מסקנות שנראות נכונות, ואינן.

AC \perp BD \ \Rightarrow \ \text{מעוין}

M_{AC} = M_{BD} \ \text{וגם} \ AC \perp BD

גם בדלתון האלכסונים מאונכים. אלכסונים מאונכים הופכים מקבילית למעוין, לא כל מרובע.

m_{AB} = m_{DC} \ \Rightarrow \ \text{טרפז}

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} \neq m_{BC}\end{aligned}

בטרפז יש זוג מקביל אחד בלבד. בלי בדיקת הזוג השני, ייתכן שזו מקבילית.

AC = BD \ \Rightarrow \ \text{מלבן}

\begin{aligned}M_{AC} &= M_{BD} \ \text{וגם} \ AC \\ &= BD\end{aligned}

גם בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. אלכסונים שווים הופכים מקבילית למלבן.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $C(6,\,6)$ , $D(2,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

מעוין שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מעוין
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מעוין שאינו ריבוע

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= (3,\,3) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}AB &= \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20} \\ \quad BC &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

צלעות סמוכות שוות: מעוין

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{2} \cdot 2 \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

אין זווית ישרה: לא ריבוע

הנכונה: מעוין שאינו ריבוע. השיפועים $\frac{1}{2}$ ו- $2$ נראים «הופכיים», אבל למאונכות צריך גם סימן הפוך: $-\frac{1}{2}$ ו- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ , עם $A(1,\,1)$ , $B(7,\,3)$ , $C(6,\,6)$ , $D(0,\,4)$ , הוא מלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= (3.5,\,3.5) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: מקבילית

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{BC} &= \frac{6-3}{6-7} \\ &= -3\end{aligned}

שיפועי שתי צלעות סמוכות

\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1

$AB \perp BC$ : מקבילית עם זווית ישרה

הטענה נכונה. מקבילית עם זווית ישרה אחת היא מלבן. אין צורך לבדוק את ארבע הזוויות: במקבילית, זווית ישרה אחת גוררת את כולן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מיינו: אילו נתונים על מרובע $ABCD$ מספיקים כדי להוכיח שהוא מעוין?

מספיק
לא מספיק

ארבע הצלעות שוות
האלכסונים מאונכים
מקבילית שאלכסוניה מאונכים
מקבילית שאלכסוניה שווים
מקבילית, ושתי צלעות סמוכות שוות
שתי צלעות נגדיות שוות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקבילית, ושתי צלעות סמוכות שוות — מספיק · מקבילית שאלכסוניה מאונכים — מספיק · ארבע הצלעות שוות — מספיק · האלכסונים מאונכים — לא מספיק · שתי צלעות נגדיות שוות — לא מספיק · מקבילית שאלכסוניה שווים — לא מספיק

הפתרון:

AC \perp BD

נכון גם בדלתון

AB = CD

נכון בכל מקבילית

AC = BD

במקבילית: מלבן

מאונכות האלכסונים מספיקה רק כשכבר ידוע שזו מקבילית. אלכסונים שווים במקבילית נותנים מלבן, לא מעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,0)$ , $C(6,\,3)$ , $D(2,\,3)$ . איזה מרובע הוא?

מקבילית
טרפז ישר זווית
טרפז שווה שוקיים
מלבן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג טרפז שווה שוקיים

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= 0\end{aligned}

שני הבסיסים אופקיים

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{3}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3}{6-8} \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

השוקיים אינן מקבילות: טרפז

\begin{aligned}AD &= \sqrt{4+9} \\ &= \sqrt{13} \\ \quad BC &= \sqrt{4+9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

שוקיים שוות

הנכונה: טרפז שווה שוקיים. לא ישר זווית: אף שוק אינה אנכית. השיפועים $\frac{3}{2}$ ו- $-\frac{3}{2}$ שונים, ולכן זו אינה מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-2,\,-1)$ , $B(3,\,0)$ , $C(5,\,4)$ , $D(0,\,3)$ . חשבו את אמצעי האלכסונים, והסיקו שהמרובע מקבילית.

$M_{AC}($ ____ $,$ ____ $)$ , $M_{BD}($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M_{AC}($ 1.5 $,$ 1.5 $)$ , $M_{BD}($ 1.5 $,$ 1.5 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{-2+5}{2},\ \frac{-1+4}{2}\right) \\ &= (1.5,\,1.5)\end{aligned}

אמצע $AC$

\begin{aligned}M_{BD} &= \left(\frac{3+0}{2},\ \frac{0+3}{2}\right) \\ &= (1.5,\,1.5)\end{aligned}

אמצע $BD$

M_{AC} = M_{BD}

האלכסונים חוצים זה את זה: מקבילית

שני חישובי אמצע מחליפים ארבעה חישובי שיפוע. הנימוק במשפט: «מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$ABCD$ מקבילית. $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $D(2,\,4)$ . חשבו את הזווית $\angle DAB$ , במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63.43

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{4-0}{2-0} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע הצלע $AD$

\tan\alpha = 2 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 63.43^\circ

הזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$

\angle DAB = \alpha \approx 63.43^\circ

$AB$ על הכיוון החיובי של ציר ה- $x$

$\angle DAB \approx 63.43^\circ$ . מי שחישב $\tan\alpha = \frac{2}{4}$ הפך את היחס: השיפוע הוא הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(4,\,1)$ , $C(6,\,6)$ , $D(1,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

מקבילית
טרפז
מעוין
דלתון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד דלתון

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= AD \\ &= \sqrt{17}\end{aligned}

זוג צלעות סמוכות שוות

\begin{aligned}CB &= CD \\ &= \sqrt{4 + 25} \\ &= \sqrt{29}\end{aligned}

זוג שני של צלעות סמוכות שוות

\begin{aligned}M_{AC} &= (3,\,3) \neq M_{BD} \\ &= (2.5,\,2.5)\end{aligned}

האלכסונים לא חוצים זה את זה: לא מקבילית

הנכונה: דלתון. האלכסונים מאונכים ( $m_{AC} = 1$ , $m_{BD} = -1$ ), ולכן מי שבדק רק אותם עלול לענות «מעוין». מעוין הוא קודם כול מקבילית, וכאן האמצעים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ , עם $A(0,\,0)$ , $B(4,\,1)$ , $C(5,\,5)$ , $D(1,\,4)$ , הוא ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= (2.5,\,2.5) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}AB &= \sqrt{17} \\ &= BC\end{aligned}

צלעות סמוכות שוות: מעוין

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{4} \cdot 4 \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

אין זווית ישרה

הטענה שגויה. זה מעוין שאינו ריבוע. בשרטוט הוא נראה כמעט ריבוע, ולכן מחשבים ולא מסתכלים. לריבוע צריך גם זווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון הטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ): $A(0,\,0)$ , $B(6,\,3)$ , $C(5,\,5)$ , $D(1,\,3)$ . באילו קודקודים הזווית ישרה?

ב- $A$ וב- $D$
ב- $B$ וב- $C$
אין זווית ישרה
ב- $A$ וב- $B$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ב- $B$ וב- $C$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הבסיסים

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{5-3}{5-6} \\ &= -2 \\ \quad \frac{1}{2} \cdot (-2) &= -1\end{aligned}

$BC \perp AB$ וגם $BC \perp DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= 3 \\ \quad \frac{1}{2} \cdot 3 \neq -1\end{aligned}

$AD$ אינה מאונכת

הנכונה: ב- $B$ וב- $C$ . שוק שמאונכת לבסיס אחד מאונכת גם לשני, כי הבסיסים מקבילים. לכן הזוויות הישרות באות בזוגות, בשני קצות אותה שוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את שלבי ההוכחה ש- $ABCD$ מלבן.

$m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$ , ולכן $\angle B = 90^\circ$
$M_{AC} = M_{BD}$ , ולכן $ABCD$ מקבילית
מחשבים את $m_{AB}$ ואת $m_{BC}$
מחשבים את $M_{AC}$ ואת $M_{BD}$
מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מחשבים את $M_{AC}$ ואת $M_{BD}$ · $M_{AC} = M_{BD}$ , ולכן $ABCD$ מקבילית · מחשבים את $m_{AB}$ ואת $m_{BC}$ · $m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$ , ולכן $\angle B = 90^\circ$ · מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

הפתרון:

M_{AC} = M_{BD}

שלב ראשון: מקבילית

m_{AB} \cdot m_{BC} = -1

שלב שני: זווית ישרה

הסולם עולה שלב אחרי שלב: קודם מקבילית, ורק אחר כך התכונה הנוספת. זווית ישרה במרובע כלשהו אינה עושה אותו מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הסולם: קודם מקבילית, ואחר כך מה שמעליה

טרפז: להוכיח גם מה לא מקביל

זווית מתוך השיפוע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev