מציאת קודקוד חסר · מצולעים במערכת צירים · כיתה י״א

בשאלת המצולע בבגרות חוזר אותו מהלך: נותנים חלק מהקודקודים ותכונה של הצורה, ומבקשים את הקודקוד החסר. הסתכלו על המקבילית שבשרטוט. שלושה קודקודים ידועים, והרביעי נקבע לגמרי על ידי תכונה אחת: האלכסונים חוצים זה את זה.

A(-2,\,1)

B(4,\,-1)

C(6,\,5)

. הנקודה

M(2,\,3)

היא אמצע האלכסון

AC

. במקבילית היא גם אמצע

BD

, ולכן

D

הוא הקצה השני של הקטע שמתחיל ב-

B

ועובר דרך

M

D = 2M - B = (0,\,7)

ודאו ש- $ABCD$ שמצאנו היא באמת מקבילית: חשבו את $m_{AB}$ ואת $m_{DC}$ .

להציג את התשובה והפתרון

$m_{AB} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = -\frac{1}{3}$ ו- $m_{DC} = \frac{5-7}{6-0} = -\frac{1}{3}$ . שווים, ולכן $AB \parallel DC$ . גם $m_{AD} = m_{BC} = 3$ . שני זוגות מקבילים: מקבילית.

מתרגמים תכונה לכלי

לפני כל חישוב שואלים: מה התכונה אומרת? כל תכונה של מרובע מפעילה אחד משלושה כלים: אמצע, שיפוע או מרחק.

M_{AC} = M_{BD}

מקבילית: האלכסונים חוצים זה את זה. כלי: אמצע. $D = A + C - B$ , בכל שיעור בנפרד

m_{AB} \cdot m_{BC} = -1

מלבן, או טרפז ישר זווית: זווית ישרה. כלי: שיפוע הופכי ונגדי, ואז ישר דרך הקודקוד

m_{AB} = m_{DC}

טרפז עם הבסיסים $AB$ ו- $DC$ . כלי: שיפוע שווה, ישר מקביל דרך הקודקוד

AC \perp BD

מעוין ודלתון: האלכסונים מאונכים. אלכסון אחד הוא האנך האמצעי של האלכסון השני

PA = PB

נקודה במרחקים שווים משני קודקודים: היא על האנך האמצעי של $AB$ . כלי: מרחק, או אמצע ושיפוע

כשהקודקוד הוא נקודת חיתוך

לפעמים התכונה לבדה לא מספיקה, והשאלה מוסיפה נתון: «הקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ », או «על הישר $y = x + 1$ ». אז הקודקוד נמצא על שני ישרים: אחד שבונים מהתכונה (מאונך או מקביל), ואחד שנתון. הקודקוד הוא נקודת החיתוך שלהם.

מלבן שקודקוד שלו על ציר ה-x

$ABCD$ מלבן. $A(-1,\,2)$ , $B(3,\,4)$ , והקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . מצאו את $C$ ואת $D$ .

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{3-(-1)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הצלע הנתונה

m_{BC} = -2

במלבן $BC \perp AB$ : הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 10\end{aligned}

הישר $BC$ : שיפוע ונקודה

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \ \Rightarrow \ C(5,\,0)\end{aligned}

$C$ על ציר ה- $x$ : חיתוך עם $y = 0$

\begin{aligned}D &= A + C - B \\ &= (-1 + 5 - 3,\ 2 + 0 - 4) \\ &= (1,\,-2)\end{aligned}

מלבן הוא מקבילית, ולכן האלכסונים חוצים זה את זה

הישר

BC

y = -2x + 10

, בכתום. הוא חותך את ציר ה-

x

בדיוק בקודקוד

C(5,\,0)

איך תוודאו ש- $ABCD$ שמצאתם הוא מלבן, ולא רק מקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

בודקים שהאלכסונים שווים: $AC = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40}$ ו- $BD = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40}$ . מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן. דרך אחרת: $m_{AD} = \frac{-2-2}{1-(-1)} = -2$ , ולכן גם $AD \perp AB$ .

מעוין ודלתון: האנך האמצעי

במעוין ובדלתון אלכסון אחד הוא האנך האמצעי של האלכסון השני. במעוין $ABCD$ שבו ידועים $A$ ו- $C$ , הקודקודים $B$ ו- $D$ נמצאים על האנך האמצעי של $AC$ . בדלתון שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ , הקודקוד $D$ הוא השיקוף של $B$ ביחס לישר $AC$ : מעבירים מ- $B$ אנך ל- $AC$ , מוצאים את נקודת החיתוך $E$ , ואז $D = 2E - B$ .

נקודה $P$ על ישר נתון, במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ : יש שתי דרכים. א. חותכים את האנך האמצעי של $AB$ עם הישר. ב. מציבים $P(x,\,y)$ מהישר ופותרים $PA^2 = PB^2$ . הריבועים $x^2$ ו- $y^2$ מצטמצמים, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה.

שלוש הטעויות של הקודקוד החסר.

D = A + B - C

D = A + C - B

ב- $ABCD$ הקודקוד $D$ מול $B$ . הסכום $A + B - C$ נותן מקבילית אחרת, שבה הקודקוד החדש מול $C$ .

m_{BC} = m_{AB}

m_{BC} = -\frac{1}{m_{AB}}

במלבן צלעות סמוכות מאונכות. שיפוע שווה שייך לצלעות נגדיות.

D = M_{AC}

D = 2M_{AC} - B

אמצע האלכסון הוא נקודת המפגש של האלכסונים, לא קודקוד.

תרגילים

תרגיל 1

$ABCD$ מקבילית. $A(1,\,2)$ , $B(5,\,1)$ , $C(7,\,5)$ . מצאו את הקודקוד $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 3 $,$ 6 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{1+7}{2},\ \frac{2+5}{2}\right) \\ &= (4,\,3.5)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

\begin{aligned}x_D &= 2 \cdot 4 - 5 \\ &= 3 \\ \quad y_D &= 2 \cdot 3.5 - 1 \\ &= 6\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: $D = 2M - B$

\begin{aligned}m_{AB} &= -\frac{1}{4} \\ &= m_{DC}\end{aligned}

בדיקה: צלעות נגדיות מקבילות ✓

$D(3,\,6)$ . מי שקיבל $(11,\,4)$ חישב $B + C - A$ : זו מקבילית $ABDC$ , שבה הקודקוד החדש מול $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$ABCD$ מקבילית. $A(-3,\,0)$ , $B(1,\,-2)$ , $D(-1,\,4)$ . מהו הקודקוד $C$ ?

$C(-1,\,-6)$
$C(-5,\,6)$
$C(0,\,1)$
$C(3,\,2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $C(3,\,2)$

הפתרון:

\begin{aligned}M_{BD} &= \left(\frac{1+(-1)}{2},\ \frac{-2+4}{2}\right) \\ &= (0,\,1)\end{aligned}

אמצע האלכסון $BD$

\begin{aligned}C &= 2M - A \\ &= (0 + 3,\ 2 - 0) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

$C$ מול $A$ : הקצה השני של $AC$

הנכונה: $C(3,\,2)$ . $(0,\,1)$ הוא אמצע האלכסונים, לא קודקוד. $(-5,\,6)$ מתקבל מ- $A + D - B$ , כלומר כשמחליפים את $C$ ב- $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$ABCD$ מלבן. $A(2,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , והקודקוד $C$ נמצא על הישר $y = x$ . מצאו את $C$ ואת $D$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$ , $D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 5 $,$ 5 $)$ , $D($ 1 $,$ 3 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3-1}{6-2} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{BC} \\ &= -2\end{aligned}

במלבן $BC \perp AB$

\begin{aligned}y - 3 &= -2(x - 6) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 15\end{aligned}

הישר $BC$

\begin{aligned}-2x + 15 &= x \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \ \Rightarrow \ C(5,\,5)\end{aligned}

חיתוך עם $y = x$

\begin{aligned}D &= A + C - B \\ &= (1,\,3)\end{aligned}

מלבן הוא מקבילית

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{3-1}{1-2} \\ &= -2\end{aligned}

בדיקה: $AD \perp AB$ ✓

$C(5,\,5)$ ו- $D(1,\,3)$ . הקודקוד $C$ הוא חיתוך של שני ישרים: $BC$ , שבונים מהזווית הישרה, והישר הנתון $y = x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$ABCD$ טרפז שבו $AB \parallel DC$ . $A(0,\,0)$ , $B(6,\,2)$ , $D(1,\,4)$ , והקודקוד $C$ נמצא על הישר $y = 5$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של $C$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הבסיס

y - 4 = \frac{1}{3}(x - 1)

הבסיס $DC$ מקביל ל- $AB$ ועובר דרך $D$

\begin{aligned}5 - 4 &= \frac{1}{3}(x - 1) \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מציבים $y = 5$

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{5-2}{4-6} \\ &= -\frac{3}{2} \neq m_{AD} \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה: השוקיים אינן מקבילות, זה אכן טרפז

$C(4,\,5)$ . בטרפז משתמשים בשיפוע השווה של הבסיסים. הבדיקה האחרונה חשובה: אילו גם $BC \parallel AD$ , הצורה הייתה מקבילית ולא טרפז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונים הקודקודים $A(0,\,4)$ ו- $B(6,\,2)$ של משולש $ABP$ . הקודקוד $P$ נמצא על ציר ה- $x$ , ו- $PA = PB$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של $P$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

P(x,\,0)

נקודה כללית על ציר ה- $x$

\begin{aligned}PA^2 &= x^2 + 16 \\ \quad PB^2 &= (x-6)^2 + 4\end{aligned}

נוסחת המרחק, בריבוע

\begin{aligned}x^2 + 16 &= x^2 - 12x + 40 \ \Rightarrow \ 12x \\ &= 24 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

$x^2$ מצטמצם

\begin{aligned}PA^2 &= 4 + 16 \\ &= 20 \\ &= 16 + 4 \\ &= PB^2\end{aligned}

בדיקה ✓

$P(2,\,0)$ . משווים את הריבועים של המרחקים, וכך נחסכים השורשים. מי שכתב $(x-6)^2 = x^2 - 36$ שכח את האיבר האמצעי $-12x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$ABCD$ מעוין. הקודקודים הנגדיים הם $A(1,\,1)$ ו- $C(7,\,5)$ . על איזה ישר נמצאים הקודקודים $B$ ו- $D$ ?

$y = -\frac{3}{2}x + 9$
$y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$
$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$
$y = \frac{3}{2}x - 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y = -\frac{3}{2}x + 9$

הפתרון:

M_{AC} = (4,\,3)

אמצע האלכסון

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{5-1}{7-1} \\ &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ m_{BD} \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

במעוין האלכסונים מאונכים

\begin{aligned}y - 3 &= -\frac{3}{2}(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{3}{2}x + 9\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: הישר עובר דרך $M$

הנכונה: $y = -\frac{3}{2}x + 9$ , האנך האמצעי של $AC$ . $y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$ הוא הישר $AC$ עצמו. $y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$ מאונך, אבל עובר דרך $A$ ולא דרך האמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$ABCD$ מעוין. $A(1,\,1)$ , $C(7,\,5)$ , והאלכסון $BD$ נמצא על הישר $y = -\frac{3}{2}x + 9$ . הקודקוד $B$ נמצא על ציר ה- $y$ . מצאו את $B$ ואת $D$ .

$B(0,$ ____ $)$ , $D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B(0,$ 9 $)$ , $D($ 8 $,$ -3 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 9 \ \Rightarrow \ B(0,\,9)\end{aligned}

$B$ על ציר ה- $y$

\begin{aligned}M &= (4,\,3) \ \Rightarrow \ D \\ &= 2M - B \\ &= (8,\,-3)\end{aligned}

$M$ אמצע $AC$ , והוא גם אמצע $BD$

\begin{aligned}AB^2 &= 1 + 64 \\ &= 65 \\ \quad AD^2 &= 49 + 16 \\ &= 65\end{aligned}

בדיקה: צלעות סמוכות שוות ✓

$B(0,\,9)$ ו- $D(8,\,-3)$ . במעוין לא מספיק שהקודקודים על האנך האמצעי: $D$ נקבע ממרחק שווה מ- $M$ , כמו $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$ABCD$ מקבילית. $A(0,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(5,\,3)$ . תלמיד חישב $D = B + C - A = (9,\,3)$ . הוכיחו או הפריכו: הקודקוד $D$ של המקבילית הוא $(9,\,3)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

M_{AC} = (2.5,\,1.5)

אמצע $AC$

\begin{aligned}M_{BD} &= \left(\frac{4+9}{2},\ \frac{0+3}{2}\right) \\ &= (6.5,\,1.5) \neq M_{AC}\end{aligned}

עם $(9,\,3)$ האלכסונים לא חוצים זה את זה

\begin{aligned}D &= A + C - B \\ &= (1,\,3)\end{aligned}

הקודקוד הנכון

הטענה שגויה. $(9,\,3)$ הוא קודקוד של המקבילית $ABDC$ , שבה $BC$ הוא אלכסון. ב- $ABCD$ האלכסונים הם $AC$ ו- $BD$ , ולכן $D = (1,\,3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$ABCD$ דלתון שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . $A(0,\,0)$ , $C(6,\,6)$ , $B(4,\,1)$ . מצאו את הקודקוד $D$ .

$D($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 1 $,$ 4 $)$

הפתרון:

AC: \ y = x

האלכסון הראשי

\begin{aligned}y - 1 &= -1 \cdot (x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x + 5\end{aligned}

האנך מ- $B$ ל- $AC$ : בדלתון $BD \perp AC$

x = -x + 5 \ \Rightarrow \ E(2.5,\,2.5)

$E$ , נקודת המפגש של האלכסונים

\begin{aligned}D &= 2E - B \\ &= (5 - 4,\ 5 - 1) \\ &= (1,\,4)\end{aligned}

$AC$ חוצה את $BD$

\begin{aligned}AD^2 &= 1 + 16 \\ &= 17 \\ &= AB^2\end{aligned}

בדיקה ✓

$D(1,\,4)$ , השיקוף של $B$ ביחס לישר $y = x$ . בדלתון רק האלכסון הראשי $AC$ חוצה את השני. אין להניח ש- $E$ הוא גם אמצע $AC$ : אמצע $AC$ הוא $(3,\,3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל נתון בשאלה את הכלי שמתרגם אותו למשוואה.

$ABCD$ מקבילית
$ABCD$ מלבן
$ABCD$ טרפז, $AB \parallel DC$
$P$ במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$

$m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$
$m_{AB} = m_{DC}$
$M_{AC} = M_{BD}$
$PA^2 = PB^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $ABCD$ מקבילית — $M_{AC} = M_{BD}$ · $ABCD$ מלבן — $m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$ · $ABCD$ טרפז, $AB \parallel DC$ — $m_{AB} = m_{DC}$ · $P$ במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ — $PA^2 = PB^2$

הפתרון:

M_{AC} = M_{BD}

אמצע

m_1 \cdot m_2 = -1

שיפוע: מאונכות

m_1 = m_2

שיפוע: מקבילות

PA^2 = PB^2

מרחק

ארבעה נתונים, שלושה כלים. במלבן אפשר גם $M_{AC} = M_{BD}$ , אבל זה מוכיח רק מקבילית: את הזווית הישרה נותן השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מתרגמים תכונה לכלי

כשהקודקוד הוא נקודת חיתוך

מעוין ודלתון: האנך האמצעי

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev