תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: משוואת המעגל, נקודה ומעגל, ישר ומעגל, משיק, מעגל המשיק לצירים, ומעגל עם משולש ומרובע. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהו הרדיוס של המעגל (x−7)2+(y+1)2=64(x-7)^2+(y+1)^2=64?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

R2=64 ⇒ R=8\begin{aligned}R^2 &= 64 \ \Rightarrow \ R \\ &= 8\end{aligned}

באגף ימין ריבוע הרדיוס

מי שענה 6464 שכח את השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי משוואת המעגל שמרכזו (0, −3)(0,\,-3) ורדיוסו 44?

  1. (x−3)2+y2=16(x-3)^2+y^2=16
  2. x2+(y+3)2=4x^2+(y+3)^2=4
  3. x2+(y+3)2=16x^2+(y+3)^2=16
  4. x2+(y−3)2=16x^2+(y-3)^2=16
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x2+(y+3)2=16x^2+(y+3)^2=16

הפתרון:

(x−0)2+(y−(−3))2=42(x-0)^2+(y-(-3))^2=4^2

מציבים a=0a=0, b=−3b=-3, R=4R=4

הנכונה: x2+(y+3)2=16x^2+(y+3)^2=16. b=−3b=-3 נותן y+3y+3 בסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הנקודה (4, 4)(4,\,4) נמצאת בתוך המעגל x2+y2=36x^2+y^2=36.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

42+42=32<364^2+4^2=32<36

מציבים ומשווים ל-R2R^2

הטענה נכונה. המרחק מהמרכז הוא 32≈5.66\sqrt{32}\approx 5.66, קטן מהרדיוס 66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל x2+y2+6x−2y−15=0x^2+y^2+6x-2y-15=0.

M(M( ____ ,, ____ )) , R=R= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: M(M( -3 ,, 1 )) , R=R= 5

הפתרון:

(x+3)2−9+(y−1)2−1=15(x+3)^2-9+(y-1)^2-1=15

השלמה לריבוע

(x+3)2+(y−1)2=25(x+3)^2+(y-1)^2=25

15+9+1=2515+9+1=25

המרכז: חצי מהמקדם בסימן הפוך, 6→−36 \to -3 ו-−2→1-2 \to 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הנקודה A(4, −3)A(4,\,-3) נמצאת על המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25. המשיק למעגל בנקודה AA חותך את ציר ה-xx. מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.25

הפתרון:

mOA=−34 ⇒ m=43\begin{aligned}m_{OA} &= -\frac{3}{4} \ \Rightarrow \ m \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y+3=43(x−4)y+3=\frac{4}{3}(x-4)

דרך AA

3=43(x−4) ⇒ x=4+94=6.25\begin{aligned}3 &= \frac{4}{3}(x-4) \ \Rightarrow \ x \\ &= 4+\frac{9}{4} \\ &= 6.25\end{aligned}

מציבים y=0y=0

בדיקה בפיתגורס: OA2+AB2=25+(2.252+32)=25+14.0625=39.0625=6.252OA^2+AB^2=25+\left(2.25^2+3^2\right)=25+14.0625=39.0625=6.25^2 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המעגל (x−3)2+(y−2)2=13(x-3)^2+(y-2)^2=13 עובר דרך ראשית הצירים. מצאו את נקודת החיתוך הנוספת שלו עם כל אחד מהצירים.

על ציר ה-xx: x=x= ____ , על ציר ה-yy: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: על ציר ה-xx: x=x= 6 , על ציר ה-yy: y=y= 4

הפתרון:

y=0: (x−3)2=9 ⇒ x=0 x=6\begin{aligned}y &= 0: \ (x-3)^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

ציר ה-xx

x=0: (y−2)2=4 ⇒ y=0 y=4\begin{aligned}x &= 0: \ (y-2)^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0 \\ \ y &= 4\end{aligned}

ציר ה-yy

בכל ציר אחד הפתרונות הוא 00: זו הראשית. ואם הזווית בראשית ישרה, הקטע בין (6,0)(6,0) ל-(0,4)(0,4) הוא קוטר, ואמצעו (3,2)(3,2) הוא אכן המרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מרכז המעגל הוא (−2, −5)(-2,\,-5), והמעגל משיק לציר ה-yy. מהי משוואתו?

  1. (x+2)2+(y+5)2=4(x+2)^2+(y+5)^2=4
  2. (x+2)2+(y+5)2=2(x+2)^2+(y+5)^2=2
  3. (x+2)2+(y+5)2=25(x+2)^2+(y+5)^2=25
  4. (x−2)2+(y−5)2=4(x-2)^2+(y-5)^2=4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (x+2)2+(y+5)2=4(x+2)^2+(y+5)^2=4

הפתרון:

R=∣a∣=2\begin{aligned}R &= |a| \\ &= 2\end{aligned}

משיק לציר ה-yy

(x+2)2+(y+5)2=4(x+2)^2+(y+5)^2=4

מציבים

הנכונה: (x+2)2+(y+5)2=4(x+2)^2+(y+5)^2=4. R2=25R^2=25 שייך למעגל המשיק לציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מעגל עובר דרך O(0, 0)O(0,\,0), A(6, 0)A(6,\,0) ו-B(0, −8)B(0,\,-8). MM מרכז המעגל. מהו שטח המשולש MOAMOA?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

∠AOB=90∘ ⇒ AB קוטר\angle AOB=90^\circ \ \Rightarrow \ AB \ \text{קוטר}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

M=(3, −4)M=(3,\,-4)

אמצע ABAB

S=OA⋅∣yM∣2=6⋅42=12\begin{aligned}S &= \frac{OA \cdot |y_M|}{2} \\ &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

בסיס OAOA על ציר ה-xx, והגובה הוא המרחק של MM מהציר

המרכז אינו «באמצע המשולש». הוא באמצע היתר ABAB, ולכן MO=MA=MB=5MO=MA=MB=5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מעגל עובר דרך O(0, 0)O(0,\,0) ודרך B(4, 0)B(4,\,0), ומרכזו על הישר y=x+2y=x+2. מצאו את המרכז ואת R2R^2.

M(M( ____ ,, ____ )) , R2=R^2= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: M(M( 2 ,, 4 )) , R2=R^2= 20

הפתרון:

x=2x=2

האנך האמצעי של OBOB: כל נקודה עליו במרחקים שווים מ-OO ומ-BB

y=2+2=4\begin{aligned}y &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

המרכז על הישר y=x+2y=x+2

R2=22+42=20\begin{aligned}R^2 &= 2^2+4^2 \\ &= 20\end{aligned}

נוסחת המרחק

האנך האמצעי של קטע אופקי הוא ישר אנכי דרך האמצע. מי שחיפש שיפוע «הופכי ונגדי» ל-00 נתקע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

A(3, 4)A(3,\,4), B(−3, 4)B(-3,\,4) ו-C(0, 5)C(0,\,5) נמצאות על המעגל x2+y2=25x^2+y^2=25, שמרכזו OO. המרובע OACBOACB הוא דלתון. מהו שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

OA=OB=5CA=CB=10\begin{aligned}OA &= OB \\ &= 5 \\ \quad CA &= CB \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

רדיוסים, ונוסחת המרחק

AB=6OC=5\begin{aligned}AB &= 6 \\ \quad OC &= 5\end{aligned}

האלכסונים: ABAB אופקי, OCOC על ציר ה-yy

S=6⋅52=15\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 5}{2} \\ &= 15\end{aligned}

שטח דלתון: חצי מכפלת האלכסונים המאונכים

האלכסון OCOC הוא רדיוס, 55, ולא 44: הוא מגיע עד CC שעל המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת