סדרה 3 — לקראת הבגרות · משוואת המעגל · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלת המעגל בבגרות, וכל אחת מחולקת לסעיפים. בכל סעיף חוזר אותו נתון, כמו בבחינה: מה שמצאתם בסעיף א משמש בסעיף ב.

כתבו כמו בבחינה: משפט לכל צעד. «המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה», «זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה», «מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר». בודק הבחינה מחפש את המשפט, לא רק את המספר.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . א. מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל.

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M($ 6 $,$ -2 $)$ , $R=$ 10

הפתרון:

(x-6)^2-36+(y+2)^2-4=60

השלמה לריבוע

(x-6)^2+(y+2)^2=100

$60+36+4=100$

המרכז הוא חצי המקדם בסימן הפוך. $R=10$ , לא $100$ ולא $60$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ב. מצאו את $A$ ואת $B$ .

$A(0,$ ____ $)$ , $B(0,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A(0,$ 6 $)$ , $B(0,$ -10 $)$

הפתרון:

36+(y+2)^2=100

על ציר ה- $y$ מציבים $x=0$

\begin{aligned}(y+2)^2 &= 64 \ \Rightarrow \ y \\ &= 6 \\ \ y &= -10\end{aligned}

$y+2=\pm 8$

בדיקה: אמצע $AB$ הוא $(0,-2)$ , בגובה של המרכז. האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ג. מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ ?

$y=-\frac{4}{3}x+6$
$y=\frac{3}{4}x-2$
$y=\frac{3}{4}x+6$
$y=\frac{4}{3}x+6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y=\frac{3}{4}x+6$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{6-(-2)}{0-6} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m=\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y-6 &= \frac{3}{4}(x-0) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{4}x+6\end{aligned}

דרך $A(0,6)$

הנכונה: $y=\frac{3}{4}x+6$ . $-\frac{4}{3}$ הוא הישר $MA$ עצמו. ו- $y=\frac{3}{4}x-2$ עובר בגובה של המרכז, לא דרך $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ד. מצאו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

0=\frac{3}{4}x+6 \ \Rightarrow \ C(-8,\,0)

חיתוך המשיק עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}AB &= 6-(-10) \\ &= 16\end{aligned}

הבסיס על ציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{16 \cdot 8}{2} \\ &= 64\end{aligned}

הגובה הוא המרחק של $C$ מציר ה- $y$ : $8$

הגובה לבסיס שעל ציר ה- $y$ הוא $|x_C|$ . מי שלקח $AC$ כגובה שכח שהגובה חייב להיות מאונך לבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. א. מצאו את $M$ ואת הרדיוס.

$M($ ____ $,\,0)$ , $R=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M($ 1 $,\,0)$ , $R=$ 10

הפתרון:

(a+5)^2+64=(a-9)^2+36

$MA^2=MB^2$ עם $M(a,0)$

\begin{aligned}10a+89 &= -18a+117 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

ה- $a^2$ מצטמצם

\begin{aligned}R &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $B$ : $8^2+6^2=100$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. ב. מצאו את $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 7 $,$ -8 $)$

הפתרון:

\frac{A+C}{2}=M

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר

\begin{aligned}C &= (2 \cdot 1+5,\ 2 \cdot 0-8) \\ &= (7,\,-8)\end{aligned}

נוסחת האמצע בכיוון ההפוך

בדיקה: $(7-1)^2+(-8)^2=100$ ✓. שיקוף של $A$ ביחס לראשית, $(5,-8)$ , אינו על המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. ג. הראו שהזווית $ABC$ ישרה, ומצאו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

\angle ABC=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AC$

\begin{aligned}m_{AB} &= -\frac{1}{7} \\ \quad m_{BC} &= 7\end{aligned}

בדיקה בשיפועים: מכפלה $-1$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{196+4} \\ &= \sqrt{200} \\ \quad BC &= \sqrt{4+196} \\ &= \sqrt{200}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{200} \cdot \sqrt{200}}{2} \\ &= 100\end{aligned}

הניצבים הם בסיס וגובה

המשולש ישר זווית ושווה שוקיים. מי שכתב $\frac{AC \cdot AB}{2}$ השתמש ביתר כגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. א. מצאו את משוואת המעגל ואת $T$ .

$(x-5)^2+(y-4)^2=$ ____ , $T($ ____ $,\,0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x-5)^2+(y-4)^2=$ 16 , $T($ 5 $,\,0)$

הפתרון:

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 4\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $x$

T=(5,\,0)

נקודת ההשקה ישירות מתחת למרכז

באגף ימין $R^2=16$ . הרדיוס $MT$ מאונך לציר ה- $x$ , המשיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. ב. מצאו את $P$ ואת $Q$ .

$P($ ____ $,\,4)$ , $Q($ ____ $,\,4)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P($ 1 $,\,4)$ , $Q($ 9 $,\,4)$

הפתרון:

(x-5)^2+0=16

מציבים $y=4$

\begin{aligned}x-5 &= \pm 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 9\end{aligned}

שני פתרונות

הישר $y=4$ עובר דרך המרכז, ולכן $PQ$ קוטר שאורכו $2R=8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. ג. קבעו את סוג המרובע $PTQK$ ומצאו את שטחו.

ריבוע, $S=64$
מלבן שאינו ריבוע, $S=32$
ריבוע, $S=32$
מעוין שאינו ריבוע, $S=16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ריבוע, $S=32$

הפתרון:

\begin{aligned}K(5,\,8) \\ \quad TK: \ x &= 5\end{aligned}

$K$ ישירות מעל המרכז, ולכן $TK$ קוטר אנכי

\begin{aligned}PQ &= TK \\ &= 8 \\ \quad PQ \perp TK\end{aligned}

שני קטרים: האלכסונים שווים, חוצים זה את זה ומאונכים

PTQK \ \text{ריבוע}

מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 8}{2} \\ &= 32\end{aligned}

שטח לפי האלכסונים המאונכים

הנכונה: ריבוע, $S=32$ . מי שענה $64$ חישב $8 \cdot 8$ כאילו $8$ היא הצלע, אבל $8$ הוא אורך האלכסון. הצלע היא $4\sqrt{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev