סדרה 2 — בינוני · משוואת המעגל · כיתה י״א

עשר שאלות בינוניות שמערבבות את כל הפרק: משוואה כללית, ישר ומעגל, אורך מיתר, משיק, מעגל המשיק לציר, מרכז על ציר, זווית היקפית ושטח. כל שאלה דורשת שניים או שלושה צעדים.

כתבו לפני הכול את המרכז והרדיוס. כמעט כל סעיף משתמש בהם: הצבה, מרחק מהמרכז, או שיפוע של רדיוס.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל $x^2+y^2-10x+8y+16=0$ .

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M($ 5 $,$ -4 $)$ , $R=$ 5

הפתרון:

(x-5)^2-25+(y+4)^2-16+16=0

השלמה לריבוע

(x-5)^2+(y+4)^2=25

מעבירים אגף

המרכז הוא חצי מהמקדם, בסימן הפוך: $-10 \to 5$ , $8 \to -4$ . והמעגל משיק לציר ה- $y$ , כי $|a|=5=R$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את נקודות החיתוך של הישר $y=2x-7$ עם המעגל $x^2+y^2-2x-24=0$ ( $x_A>x_B$ ).

$A($ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 5 $,$ 3 $)$ , $B($ 1 $,$ -5 $)$

הפתרון:

(x-1)^2+y^2=25

השלמה לריבוע

\begin{aligned}(x-1)^2+(2x-7)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ 5x^2-30x+25 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את הישר

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= 1\end{aligned}

מחלקים ב- $5$

A(5,\,3) ,\quad B(1,\,-5)

מציבים בישר

בדיקה: $(5-1)^2+3^2=25$ ✓ ו- $0+25=25$ ✓. מותר להציב גם במשוואה הכללית, אבל בצורה הקנונית החשבון קצר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הישר $x=-1$ חותך את המעגל $(x-4)^2+(y-2)^2=169$ . מהו אורך המיתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}d &= |-1-4| \\ &= 5\end{aligned}

מרחק המרכז $(4,2)$ מהישר האנכי

\sqrt{13^2-5^2}=12

האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו; משפט פיתגורס

2 \cdot 12=24

המיתר כולו

בדיקה: $25+(y-2)^2=169$ נותן $y=14$ ו- $y=-10$ , והמרחק ביניהם $24$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודה $A(3,\,-1)$ נמצאת על המעגל $(x+1)^2+(y-1)^2=20$ . מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

$y=$ ____ $x+$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=$ 2 $x+$ -7

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{-1-1}{3+1} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז $(-1,1)$

m=2

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y+1 &= 2(x-3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x-7\end{aligned}

דרך $A$

בדיקה: $A$ על המשיק, $2 \cdot 3-7=-1$ ✓. מי שקיבל $y=2x+3$ העביר את הישר דרך המרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $(-3,\,0)$ ועובר דרך $(1,\,2)$ . מהי משוואתו?

$(x+3)^2+(y-2)^2=4$
$(x+3)^2+(y-5)^2=25$
$(x-3)^2+(y-5)^2=25$
$(x+3)^2+(y-4)^2=16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(x+3)^2+(y-5)^2=25$

הפתרון:

\begin{aligned}M(-3,\,b) \\ \quad R &= |b|\end{aligned}

המרכז ישירות מעל נקודת ההשקה, והרדיוס הוא הגובה

(1+3)^2+(2-b)^2=b^2

הנקודה $(1,2)$ על המעגל

\begin{aligned}16+4-4b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= 5\end{aligned}

ה- $b^2$ מצטמצם

הנכונה: $(x+3)^2+(y-5)^2=25$ . בדיקה: $16+9=25$ ✓. $(x+3)^2+(y-4)^2=16$ משיק לציר, אבל לא עובר דרך $(1,2)$ : $16+4=20 \neq 16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מעגל עובר דרך $A(1,\,4)$ ו- $B(5,\,0)$ , ומרכזו על ציר ה- $x$ . מצאו את המרכז ואת הרדיוס.

$M($ ____ $,\,0)$ , $R=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M($ 1 $,\,0)$ , $R=$ 4

הפתרון:

(a-1)^2+16=(a-5)^2

$MA^2=MB^2$ עם $M(a,0)$

\begin{aligned}-2a+17 &= -10a+25 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

ה- $a^2$ מצטמצם

\begin{aligned}R &= MB \\ &= |5-1| \\ &= 4\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $A$ : $(1-1)^2+4^2=16$ ✓. הזווית $AMB$ ישרה: $MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודות $A(-2,\,0)$ , $B(6,\,6)$ ו- $C(5,\,-1)$ נמצאות על המעגל $(x-2)^2+(y-3)^2=25$ . הזווית $ACB$ ישרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{A+B}{2} &= (2,\,3) \\ &= M\end{aligned}

אמצע $AB$ הוא המרכז, ולכן $AB$ קוטר

\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}m_{AC} \cdot m_{BC} &= -\frac{1}{7} \cdot 7 \\ &= -1\end{aligned}

בדיקה בשיפועים

הטענה נכונה. המפתח הוא לבדוק אם $AB$ עובר דרך המרכז: אז אין צורך לחשב אף שיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו שטח המשולש $ABC$ מהשאלה הקודמת: $A(-2,\,0)$ , $B(6,\,6)$ , $C(5,\,-1)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{7^2+1^2} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{1^2+7^2} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{50}{2} \\ &= 25\end{aligned}

הזווית ב- $C$ ישרה, ולכן $AC$ ו- $BC$ ניצבים

מי שחישב $\frac{AB \cdot BC}{2}$ לקח את היתר כגובה. במשולש ישר זווית, הבסיס והגובה הם שני הניצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה נקודות משותפות יש לישר $y=-3x+11$ ולמעגל $(x-1)^2+(y+2)^2=10$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $1$

הפתרון:

(x-1)^2+(-3x+13)^2=10

מציבים $y+2=-3x+13$

\begin{aligned}10x^2-80x+170 &= 10 \ \Rightarrow \ x^2-8x+16 \\ &= 0\end{aligned}

מסדרים ומחלקים ב- $10$

\begin{aligned}(x-4)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

פתרון יחיד: הישר משיק

הנכונה: $1$ . נקודת ההשקה $(4,\,-1)$ . ובדיקה בשיפועים: $m_{MT}=\frac{-1+2}{4-1}=\frac{1}{3}$ , ו- $\frac{1}{3} \cdot (-3)=-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מעגל משיק לשני הצירים, מרכזו ברביע הראשון, והמרכז נמצא על הישר $y=-2x+9$ . השלימו את משוואתו.

$(x-$ ____ $)^2+(y-$ ____ $)^2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x-$ 3 $)^2+(y-$ 3 $)^2=$ 9

הפתרון:

\begin{aligned}M(r,\,r) \\ \quad R &= r\end{aligned}

משיק לשני הצירים ברביע הראשון

\begin{aligned}r &= -2r+9 \ \Rightarrow \ r \\ &= 3\end{aligned}

המרכז על הישר

(x-3)^2+(y-3)^2=9

מציבים

התנאי «ברביע הראשון» חשוב: ברביע הרביעי המרכז הוא $(r,-r)$ , ואז $-r=-2r+9$ נותן מעגל אחר, $(x-9)^2+(y+9)^2=81$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev