סדרה 1 — קל · משוואת המעגל · כיתה י״א

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: קריאת מרכז ורדיוס, השלמה לריבוע, נקודה ומעגל, מעגל המשיק לציר ושיפוע משיק. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה: המשוואה קנונית או כללית? אם היא כללית, משלימים לריבוע לפני כל דבר אחר. ובמרחקים, זכרו ש- $R^2$ ו- $R$ הם שני מספרים שונים.

תרגילים

תרגיל 1

מהם המרכז והרדיוס של המעגל $(x+2)^2+(y-6)^2=81$ ?

$M(2,\,-6)$ , $R=9$
$M(6,\,-2)$ , $R=9$
$M(-2,\,6)$ , $R=9$
$M(-2,\,6)$ , $R=81$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $M(-2,\,6)$ , $R=9$

הפתרון:

\begin{aligned}x+2 &= x-(-2) \\ \quad y-6\end{aligned}

$a=-2$ , $b=6$

\begin{aligned}R &= \sqrt{81} \\ &= 9\end{aligned}

באגף ימין ריבוע הרדיוס

הנכונה: $M(-2,6)$ , $R=9$ . הסימן של המרכז הפוך לסימן בסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הרדיוס של המעגל $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(x+1)^2-1+(y-2)^2-4-4=0

השלמה לריבוע

\begin{aligned}(x+1)^2+(y-2)^2 &= 9 \ \Rightarrow \ R \\ &= 3\end{aligned}

מעבירים אגף

ה- $4$ שבמשוואה אינו $R^2$ . רק אחרי ההשלמה לריבוע אגף ימין הוא $R^2=9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מרכז המעגל $M(4,\,-1)$ , והמעגל עובר דרך $P(7,\,3)$ . השלימו את משוואתו.

$(x-$ ____ $)^2+(y+$ ____ $)^2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x-$ 4 $)^2+(y+$ 1 $)^2=$ 25

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= (7-4)^2+(3+1)^2 \\ &= 9+16 \\ &= 25\end{aligned}

נוסחת המרחק: הרדיוס הוא $MP$

(x-4)^2+(y+1)^2=25

מציבים

באגף ימין $R^2=25$ . בסוגריים של $y$ מופיע פלוס, כי $b=-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודה $(5,\,-3)$ נמצאת על המעגל $(x-1)^2+y^2=25$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}(5-1)^2+(-3)^2 &= 16+9 \\ &= 25\end{aligned}

מציבים את הנקודה

הטענה נכונה: התקבל בדיוק $R^2$ . שימו לב ש- $y^2$ כאן הוא $(y-0)^2$ , כי $b=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

היכן נמצאת הנקודה $(2,\,2)$ ביחס למעגל $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ ?

על המעגל
מחוץ למעגל
בתוך המעגל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מחוץ למעגל

הפתרון:

(x-3)^2+(y+2)^2=16

השלמה לריבוע: $3+9+4=16$

\begin{aligned}(2-3)^2+(2+2)^2 &= 1+16 \\ &= 17>16\end{aligned}

מציבים

הנכונה: מחוץ למעגל, אבל רק בקצת: $17$ לעומת $16$ . בשאלות כאלה ההצבה מכריעה, לא ההערכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המעגל $(x-6)^2+(y+4)^2=R^2$ משיק לציר ה- $y$ . מהו $R$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

R=|a|

מעגל משיק לציר ה- $y$ : הרדיוס שווה למרחק המרכז מציר ה- $y$

\begin{aligned}R &= |6| \\ &= 6\end{aligned}

המרכז $(6,-4)$

מי שענה $4$ השתמש במרחק מציר ה- $x$ . מרחק מציר ה- $y$ נמדד אופקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה $A(-3,\,4)$ נמצאת על המעגל $x^2+y^2=25$ . מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה $A$ ?

$-\frac{4}{3}$
$-\frac{3}{4}$
$\frac{4}{3}$
$\frac{3}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{3}{4}$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{OA} &= \frac{4}{-3} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהראשית

m=\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

הנכונה: $\frac{3}{4}$ . $-\frac{4}{3}$ הוא שיפוע הרדיוס. $-\frac{3}{4}$ הפך את השבר אבל לא החליף סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מצאו את נקודות החיתוך של המעגל $(x-1)^2+(y-4)^2=25$ עם ציר ה- $x$ .

$x_1=$ ____ (הגדול) , $x_2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1=$ 4 (הגדול) , $x_2=$ -2

הפתרון:

(x-1)^2+16=25

על ציר ה- $x$ מציבים $y=0$

\begin{aligned}(x-1)^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

שורש של $9$ נותן שני ערכים, $\pm 3$ . מי ששכח את המינוס מצא רק נקודה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל, כאשר $A(-3,\,4)$ ו- $B(3,\,-4)$ . מהו הרדיוס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

M=(0,\,0)

נוסחת האמצע

\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}R &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

חצי קוטר

המעגל הוא $x^2+y^2=25$ . מי שענה $10$ לקח את הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון המעגל $(x-2)^2+(y-3)^2=4$ . מיינו את הישרים: משיקים למעגל או לא?

משיק
לא משיק

$x=0$
$x=4$
$x=5$
$y=0$
$y=3$
$y=5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=5$ — משיק · $x=0$ — משיק · $x=4$ — משיק · $y=3$ — לא משיק · $x=5$ — לא משיק · $y=0$ — לא משיק

הפתרון:

\begin{aligned}M(2,\,3) \\ \quad R &= 2\end{aligned}

קוראים

\begin{aligned}y &= 5: \ |5-3| \\ &= 2 \\ &= R\end{aligned}

משיק

\begin{aligned}y &= 3: \ d \\ &= 0\end{aligned}

עובר דרך המרכז: חותך

\begin{aligned}x &= 5: \ |5-2| \\ &= 3>2\end{aligned}

אינו פוגש

לישר אופקי או אנכי, המרחק מהמרכז הוא הפרש שיעור אחד. $y=0$ הוא ציר ה- $x$ , והמרחק אליו הוא $3$ : הוא אינו פוגש את המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev