פותרים יחד · משוואת המעגל · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת המעגל בבגרות: מעגל המשיק לציר עם משיק ושטח, מרכז על ציר וזווית היקפית, ישר שחותך מעגל, ודלתון שנבנה על מיתר. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומתחתיה מחכה שאלה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל סעיף שאלו: צריך מרכז ורדיוס, הצבה או שיפוע? כמעט כל סעיף בשאלת מעגל הוא אחד משלושת הכלים האלה.

1 — מעגל המשיק לציר ה- $x$ , משיק ושטח

המשיק בנקודה

A

חותך את ציר ה-

x

בנקודה

C

פעילות אינטראקטיבית

מרכז המעגל הוא $M(3,\,5)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ . א. מצאו את משוואת המעגל. ב. המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). מצאו אותן. ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ . ד. המשיק חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . מצאו את שטח המשולש $ABC$ .

\begin{aligned}M(3,\,5) \\ \quad R &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המילה «משיק לציר ה- $x$ » היא נתון: היא נותנת את הרדיוס.

א. רדיוס

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $x$ : הרדיוס שווה לגובה המרכז.

א.

(x-3)^2+(y-5)^2=25

המשוואה הקנונית.

ב.

\begin{aligned}9+(y-5)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ y \\ &= 9 \\ \ y &= 1\end{aligned}

על ציר ה- $y$ מציבים $x=0$ . לכן $A(0,\,9)$ ו- $B(0,\,1)$ .

ג. רדיוס

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{9-5}{0-3} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס אל נקודת ההשקה.

ג.

\begin{aligned}m &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{4}x+9\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, והוא עובר דרך $A(0,9)$ .

ד. הנקודה

0=\frac{3}{4}x+9 \ \Rightarrow \ C(-12,\,0)

על ציר ה- $x$ מציבים $y=0$ .

ד. שטח

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot |x_C|}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 12}{2} \\ &= 48\end{aligned}

הבסיס $AB$ על ציר ה- $y$ , והגובה הוא המרחק של $C$ מציר ה- $y$ .

הסעיף הראשון נפתר בלי אף חישוב: «משיק לציר» הוא הנתון שנותן את $R$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

היכן המעגל נוגע בציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

בנקודה $(3,\,0)$ , ישירות מתחת למרכז. הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך לציר, ולכן הוא אנכי.

השאלות התאומות: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — מרכז על ציר, קוטר וזווית היקפית

BD

קוטר, ו-

A

נמצאת על המעגל.

פעילות אינטראקטיבית

מרכז על ציר ה- $x$

מעגל עובר דרך $A(-1,\,4)$ ו- $B(5,\,2)$ , ומרכזו $M$ על ציר ה- $x$ . א. מצאו את $M$ ואת $R^2$ . ב. $BD$ קוטר במעגל. מצאו את $D$ . ג. הראו שהזווית $BAD$ ישרה, ומצאו את שטח המשולש $ABD$ .

$M(1,\,0)$ , $D(-3,\,-2)$ , $S=20$

$M(2,\,3)$ , $D(-1,\,4)$ , $S=20$

$M(1,\,0)$ , $D(-5,\,-2)$ , $S=40$

$M(1,\,0)$ , $D(-3,\,-2)$ , $S=40$

מה כותבים על המרכז?

$M(a,\,0)$ ו- $MA^2=MB^2$

להציג את התשובה והפתרון

המרכז על ציר ה- $x$ , והוא במרחקים שווים משתי נקודות על המעגל.

$M$ הוא אמצע $AB$

להציג את התשובה והפתרון

זה נכון רק אם $AB$ קוטר, וזה לא נתון. האמצע $(2,3)$ אפילו אינו על ציר ה- $x$ .

(a+1)^2+16=(a-5)^2+4

נוסחת המרחק

מה נותנת המשוואה?

$a=1$ , ו- $R^2=20$

להציג את התשובה והפתרון

$2a+17=-10a+29$ , ולכן $12a=12$ .

$a=1$ , ו- $R^2=16$

להציג את התשובה והפתרון

$R^2=MA^2=(-1-1)^2+4^2=4+16=20$ .

\begin{aligned}M(1,\,0) \\ \quad R^2 &= 20\end{aligned}

בדיקה עם $B$ : $16+4=20$ ✓

$BD$ קוטר. איך מוצאים את $D$ ?

$M$ הוא אמצע $BD$

להציג את התשובה והפתרון

מרכז המעגל הוא אמצע כל קוטר.

$D$ היא הנקודה הנגדית ל- $B$ ביחס לראשית

להציג את התשובה והפתרון

השיקוף הוא ביחס למרכז $M(1,0)$ , לא ביחס לראשית.

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 1-5,\ 2 \cdot 0-2) \\ &= (-3,\,-2)\end{aligned}

נוסחת האמצע בכיוון ההפוך

איך מראים שהזווית $BAD$ ישרה?

היא זווית היקפית שנשענת על הקוטר $BD$

להציג את התשובה והפתרון

זה המשפט. בדיקה בשיפועים: $m_{AB} \cdot m_{AD}=-\frac{1}{3} \cdot 3=-1$ .

צריך למדוד בשרטוט

להציג את התשובה והפתרון

שרטוט אינו הוכחה. משפט או שיפועים.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2-4}{5+1} \\ &= -\frac{1}{3} \\ \quad m_{AD} &= \frac{-2-4}{-3+1} \\ &= 3\end{aligned}

מכפלת השיפועים $-1$

מהו השטח?

$\frac{AB \cdot AD}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

הזווית ב- $A$ ישרה, ולכן $AB$ ו- $AD$ הם בסיס וגובה.

$\frac{BD \cdot AB}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$BD$ אינו מאונך ל- $AB$ .

\begin{aligned}AB &= AD \\ &= \sqrt{40} \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

המשולש ישר זווית ושווה שוקיים

להציג את התשובה והפתרון

$M(1,0)$ , $D(-3,-2)$ , $S=20$ . מי שקיבל $S=40$ שכח לחלק ב- $2$ . $40$ הוא השטח של המלבן שכל ארבעת קודקודיו על המעגל.

לעשות את הפעילות ב-elev

איזו נקודה $C$ על המעגל משלימה את $ABD$ למלבן $ABCD$ , ומה שטח המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

$AC$ צריך להיות קוטר, ולכן $C=2M-A=(3,\,-4)$ . בדיקה: $4+16=20$ ✓. שטח המלבן הוא פעמיים שטח המשולש: $40$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — ישר חותך מעגל: נקודות, זווית מרכזית ושטח

פעילות אינטראקטיבית

נתון המעגל $x^2+y^2-4x-2y-20=0$ , שמרכזו $M$ . הישר $y=x+4$ חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $x_A>x_B$ ). א. מצאו את המרכז ואת הרדיוס. ב. מצאו את $A$ ואת $B$ . ג. הראו שהזווית $AMB$ ישרה. ד. מצאו את שטח המשולש $AMB$ . ה. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

\begin{aligned}x^2+y^2-4x-2y-20 &= 0 \\ \quad y &= x+4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משוואה כללית: קודם השלמה לריבוע.

א.

(x-2)^2+(y-1)^2=25

השלמה לריבוע: $20+4+1=25$ . $M(2,1)$ , $R=5$ .

ב. הצבה

\begin{aligned}(x-2)^2+(x+3)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2+x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y=x+4$ , ולכן $y-1=x+3$ .

ב.

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= -3 \ \Rightarrow \ A(2,\,6) \\ \ B(-3,\,1)\end{aligned}

מציבים במשוואת הישר.

ג.

\begin{aligned}MA: \ x &= 2 \qquad MB: \ y \\ &= 1\end{aligned}

$MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי, ולכן הם מאונכים.

ד.

\begin{aligned}S &= \frac{MA \cdot MB}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

שני הניצבים הם רדיוסים.

ה.

y=6

הרדיוס $MA$ אנכי, והמשיק מאונך לו בנקודת ההשקה, ולכן אופקי.

בסעיפים ג ו-ה אין חישוב שיפוע: כשרדיוס אנכי או אופקי, רואים את הניצבות ישר מהשיעורים.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה אורך המיתר $AB$ , ולמה אפשר לחשב אותו בלי נוסחת המרחק?

להציג את התשובה והפתרון

המשולש $AMB$ ישר זווית ושווה שוקיים, עם ניצבים באורך $5$ . לפי משפט פיתגורס, $AB=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מיתר, נקודה על האנך האמצעי, ואיזה מרובע

פעילות אינטראקטיבית

מרובע על מיתר

הישר $y=-1$ חותך את המעגל $(x+1)^2+(y-2)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $C$ ( $x_A<x_C$ ). $M$ מרכז המעגל, ו- $B(-1,\,-7)$ . א. מצאו את $A$ ואת $C$ . ב. קבעו את סוג המרובע $MABC$ . ג. מצאו את שטחו.

דלתון, $S=36$

מעוין, $S=36$

דלתון, $S=72$

מקבילית, $S=36$

איך מוצאים את $A$ ואת $C$ ?

מציבים $y=-1$ במשוואת המעגל

להציג את התשובה והפתרון

הנקודות על הישר ועל המעגל.

מציבים $x=-1$ במשוואת המעגל

להציג את התשובה והפתרון

הישר הוא $y=-1$ : הערך הקבוע הוא של $y$ .

\begin{aligned}(x+1)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ A(-5,\,-1) \\ \ C(3,\,-1)\end{aligned}

$(x+1)^2=16$

מה אפשר לומר על $MA$ ועל $MC$ ?

$MA=MC=5$

להציג את התשובה והפתרון

שניהם רדיוסים.

$MA=MC=8$

להציג את התשובה והפתרון

$8$ הוא אורך המיתר $AC$ , לא הרדיוס.

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= R \\ &= 5\end{aligned}

רדיוסים באותו מעגל

ומה עם $BA$ ו- $BC$ ?

$BA=BC=\sqrt{52}$

להציג את התשובה והפתרון

$B$ על האנך האמצעי $x=-1$ של $AC$ .

$BA=BC=5$

להציג את התשובה והפתרון

$BA^2=4^2+6^2=52$ , לא $25$ .

\begin{aligned}BA^2 &= 4^2+6^2 \\ &= 52 \\ &= BC^2\end{aligned}

נוסחת המרחק

איזה מרובע זה?

דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

להציג את התשובה והפתרון

$MA=MC$ ו- $BA=BC$ , אבל $5 \neq \sqrt{52}$ , ולכן לא מעוין.

מעוין

להציג את התשובה והפתרון

במעוין כל ארבע הצלעות שוות.

\begin{aligned}MA &= MC \neq BA \\ &= BC\end{aligned}

הגדרת הדלתון

איך מחשבים את השטח?

חצי מכפלת האלכסונים $AC$ ו- $MB$

להציג את התשובה והפתרון

בדלתון האלכסונים מאונכים. כאן $AC$ אופקי ו- $MB$ אנכי.

מכפלת האלכסונים

להציג את התשובה והפתרון

שוכח את החצי.

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot MB}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 9}{2} \\ &= 36\end{aligned}

$AC=8$ , $MB=2-(-7)=9$

להציג את התשובה והפתרון

דלתון, $S=36$ . מי שענה $72$ שכח לחלק ב- $2$ , ומי שענה «מעוין» לא בדק שהרדיוס שונה מ- $BA$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $B$ נמצאת על המעגל?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $MB=9>5=R$ , ולכן $B$ מחוץ למעגל. הזווית $MAB$ אינה ישרה, ולכן $BA$ אינו משיק: $m_{MA} \cdot m_{BA}=\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \neq -1$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

מרכז המעגל הוא $M(4,\,5)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . השלימו.

$A(0,$ ____ $)$ , $B(0,$ ____ $)$ , $x_C=$ ____ , $S_{ABC}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A(0,$ 8 $)$ , $B(0,$ 2 $)$ , $x_C=$ -6 , $S_{ABC}=$ 18

הפתרון:

\begin{aligned}R &= 5 \\ \quad 16+(y-5)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ y \\ &= 8 \\ \ y &= 2\end{aligned}

משיק לציר ה- $x$ : $R=|b|$ . ואז מציבים $x=0$

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{8-5}{0-4} \\ &= -\frac{3}{4} \ \Rightarrow \ m \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y &= \frac{4}{3}x+8 \ \Rightarrow \ x_C \\ &= -6\end{aligned}

מציבים $y=0$

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 6}{2} \\ &= 18\end{aligned}

בסיס $AB=6$ על ציר ה- $y$ , גובה $|x_C|=6$

בסעיף השטח, הגובה הוא $|x_C|=6$ ולא $-6$ : אורך אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מעגל עובר דרך $A(-2,\,1)$ ו- $B(4,\,-1)$ , ומרכזו $M$ על ציר ה- $y$ . $BD$ קוטר במעגל. השלימו.

$M(0,$ ____ $)$ , $R^2=$ ____ , $D($ ____ $,$ ____ $)$ , $S_{ABD}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M(0,$ -3 $)$ , $R^2=$ 20 , $D($ -4 $,$ -5 $)$ , $S_{ABD}=$ 20

הפתרון:

\begin{aligned}4+(b-1)^2 &= 16+(b+1)^2 \ \Rightarrow \ -2b+5 \\ &= 2b+17 \ \Rightarrow \ b \\ &= -3\end{aligned}

$MA^2=MB^2$ עם $M(0,b)$

\begin{aligned}R^2 &= 4+16 \\ &= 20\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}D &= (0-4,\ -6+1) \\ &= (-4,\,-5)\end{aligned}

$M$ אמצע הקוטר $BD$

\begin{aligned}\angle BAD &= 90^\circ \\ \quad AB &= AD \\ &= \sqrt{40} \ \Rightarrow \ S \\ &= 20\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

בדיקת הזווית בשיפועים: $m_{AB}=-\frac{1}{3}$ ו- $m_{AD}=3$ . מי שחישב את $D$ כ- $(-4,1)$ שיקף את $B$ ביחס לראשית ולא ביחס למרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המעגל $x^2+y^2+2x-6y-15=0$ , שמרכזו $M$ . הישר $y=x+9$ חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $x_A>x_B$ ). השלימו.

$A($ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $)$ , $S_{AMB}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ -1 $,$ 8 $)$ , $B($ -6 $,$ 3 $)$ , $S_{AMB}=$ 12.5

הפתרון:

(x+1)^2+(y-3)^2=25

השלמה לריבוע: $15+1+9=25$

\begin{aligned}(x+1)^2+(x+6)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2+7x+6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y-3=x+6$

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= -6 \ \Rightarrow \ A(-1,\,8) \\ \ B(-6,\,3)\end{aligned}

מציבים בישר

\begin{aligned}MA \perp MB \ \Rightarrow \ S &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

$MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי: הניצבים הם רדיוסים

המשיק בנקודה $A$ הוא $y=8$ , כי הרדיוס $MA$ אנכי. אם יצא לכם $S=25$ , שכחתם לחלק ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הישר $y=2$ חותך את המעגל $(x-3)^2+(y+1)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $C$ ( $x_A<x_C$ ). $M$ מרכז המעגל, ו- $B(3,\,6)$ . המרובע $MABC$ הוא דלתון. השלימו.

$A($ ____ $,\,2)$ , $C($ ____ $,\,2)$ , $S_{MABC}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ -1 $,\,2)$ , $C($ 7 $,\,2)$ , $S_{MABC}=$ 28

הפתרון:

\begin{aligned}(x-3)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 7\end{aligned}

מציבים $y=2$

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= 5 \\ \quad BA^2 &= BC^2 \\ &= 16+16 \\ &= 32\end{aligned}

רדיוסים, ונוסחת המרחק

\begin{aligned}AC &= 8 \\ \quad MB &= 6-(-1) \\ &= 7\end{aligned}

האלכסונים: $AC$ אופקי, $MB$ אנכי

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 7}{2} \\ &= 28\end{aligned}

שטח דלתון: חצי מכפלת האלכסונים המאונכים

האלכסון $MB$ עובר מהמרכז ועד $B$ , ולכן אורכו $7$ . הרדיוס $5$ אינו האלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מרכז המעגל הוא $(-5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $y$ . השלימו את הרדיוס ואת אורך המיתר שהמעגל חותך על ציר ה- $x$ .

$R=$ ____ , אורך המיתר: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $R=$ 5 , אורך המיתר: 6

הפתרון:

\begin{aligned}R &= |a| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $y$

\begin{aligned}(x+5)^2+16 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= -8\end{aligned}

על ציר ה- $x$ מציבים $y=0$

-2-(-8)=6

הפרש השיעורים

הרדיוס נקבע לפי המרחק מהציר המשיק, ציר ה- $y$ : $|a|=5$ . מי שלקח $R=4$ השתמש בציר הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — מעגל המשיק לציר ה-xxx, משיק ושטח

2 — מרכז על ציר, קוטר וזווית היקפית

3 — ישר חותך מעגל: נקודות, זווית מרכזית ושטח

4 — מיתר, נקודה על האנך האמצעי, ואיזה מרובע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

1 — מעגל המשיק לציר ה- $x$ , משיק ושטח