מעגל, משולש ומרובע

שלושה יישובים נמצאים בנקודות $A(1,\,1)$ , $B(7,\,1)$ ו- $C(7,\,9)$ . המועצה רוצה להציב מגדל מים במרחק שווה משלושתם. המגדל צריך להיות במרכז של מעגל שעובר דרך שלוש הנקודות. הסתכלו על השרטוט: איפה המרכז?

הזווית

B

ישרה, והמרכז

M(4,\,5)

נמצא בדיוק באמצע היתר

AC

למה מרכז המעגל נמצא דווקא באמצע $AC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לפי המשפט: זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר. הזווית $B$ ישרה, ולכן $AC$ קוטר, והמרכז הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{1+7}{2},\,\frac{1+9}{2}\right)=(4,\,5)$ . הרדיוס הוא $\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5$ .

מרכז על ישר נתון

כשהמשולש אינו ישר זווית, משתמשים במשפט אחר: כל נקודה על האנך האמצעי של $AB$ נמצאת במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ . לכן מרכז של מעגל שעובר דרך $A$ ו- $B$ נמצא על האנך האמצעי. אם נתון עוד ישר שעליו נמצא המרכז, המרכז הוא נקודת החיתוך של שני הישרים.

מרכז על ישר נתון

מעגל עובר דרך $A(1,\,-2)$ ו- $B(5,\,2)$ , ומרכזו על הישר $y=x+1$ . מצאו את משוואת המעגל.

\begin{aligned}N &= (3,\,0) \\ \quad m_{AB} &= \frac{2+2}{5-1} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע $AB$ ושיפוע $AB$

\begin{aligned}y &= -(x-3) \\ &= -x+3\end{aligned}

האנך האמצעי: דרך $N$ , שיפוע $-1$

\begin{aligned}-x+3 &= x+1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך עם הישר הנתון: $M(1,\,2)$

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= 0^2+4^2 \\ &= 16\end{aligned}

נוסחת המרחק

(x-1)^2+(y-2)^2=16

בדיקה עם $B$ : $16+0=16$ ✓

אם המרכז נתון על ציר ה- $y$ , איזו משוואה פשוטה יותר אפשר לכתוב במקום האנך האמצעי?

להציג את התשובה והפתרון

המרכז הוא $M(0,\,b)$ , ומשווים $MA^2=MB^2$ . ה- $b^2$ מצטמצם משני האגפים, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה ב- $b$ .

בשאלה על מעגל בבגרות מופיעים כמעט תמיד גם משולש או מרובע. ארבעה כלים עונים על רוב הסעיפים:

m_1 \cdot m_2=-1

שיפועים: ניצבות, ולכן זווית ישרה. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

m_1=m_2

שיפועים: צלעות מקבילות

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

מרחקים: צלעות שוות, ורדיוסים שווים

S=\frac{a \cdot h}{2}

שטח: בסיס מקביל לציר, והגובה נקרא מהשיעורים

איזה מרובע זה?

במעגל $(x-4)^2+(y-5)^2=25$ מסמנים $A(1,1)$ , $B(7,1)$ , $C(7,9)$ ו- $D(1,9)$ . קבעו את סוג המרובע $ABCD$ ומצאו את שטחו.

\begin{aligned}\frac{A+C}{2} &= \frac{B+D}{2} \\ &= (4,\,5) \\ &= M\end{aligned}

שני האלכסונים עוברים דרך המרכז: $AC$ ו- $BD$ קטרים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 2R \\ &= 10\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה ושווים

ABCD \ \text{מלבן}

משפט: מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן

\begin{aligned}S &= AB \cdot BC \\ &= 6 \cdot 8 \\ &= 48\end{aligned}

$AB$ אופקית ו- $BC$ אנכית

כל מלבן חסום במעגל, והאלכסונים שלו הם קטרים. לכן כששני קטרים נתונים, המרובע שקצותיהם יוצרים הוא תמיד מלבן. הוא ריבוע רק אם הקטרים גם מאונכים.

הטעויות של מעגל ומצולע.

M=\left(\frac{1+7+7}{3},\ \frac{1+1+9}{3}\right)

M=(4,\,5)

מרכז המעגל החוסם אינו ממוצע הקודקודים. זו נקודת מפגש התיכונים, ולא מרכז המעגל.

S=\frac{AB \cdot AC}{2}

S=\frac{AB \cdot BC}{2}

בנוסחת השטח הגובה מאונך לבסיס. $AC$ אינה מאונכת ל- $AB$ .

AC=BD \ \Rightarrow \ \text{ריבוע}

\begin{aligned}AC &= BD \\ \ AC \perp BD\end{aligned}

אלכסונים שווים וחוצים זה את זה נותנים מלבן. לריבוע צריך גם אלכסונים מאונכים.

תרגילים

תרגיל 1

הזווית $B$ במשולש $ABC$ ישרה: $A(-2,\,-1)$ , $B(4,\,-1)$ , $C(4,\,7)$ . מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש.

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M($ 1 $,$ 3 $)$ , $R=$ 5

הפתרון:

\angle B=90^\circ \ \Rightarrow \ AC \ \text{קוטר}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-2+4}{2},\ \frac{-1+7}{2}\right) \\ &= (1,\,3)\end{aligned}

נוסחת האמצע

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= 10 \ \Rightarrow \ R \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק, וחצי קוטר

המרכז הוא אמצע היתר, לא אמצע אחד הניצבים. בדיקה: $MB^2=3^2+4^2=25$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מעגל עובר דרך $A(-4,\,2)$ ו- $B(2,\,8)$ , ומרכזו על ציר ה- $y$ . מהו מרכז המעגל?

$M(-1,\,5)$
$M(0,\,5)$
$M(0,\,2)$
$M(0,\,4)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $M(0,\,4)$

הפתרון:

\begin{aligned}MA^2 &= MB^2 \ \\ \quad M(0,\,b)\end{aligned}

המרכז במרחקים שווים משתי נקודות על המעגל

16+(b-2)^2=4+(b-8)^2

נוסחת המרחק

\begin{aligned}-4b+20 &= -16b+68 \ \Rightarrow \ b \\ &= 4\end{aligned}

ה- $b^2$ מצטמצם

הנכונה: $M(0,4)$ , ו- $R^2=20$ . $(-1,5)$ הוא אמצע $AB$ , אבל הוא אינו על ציר ה- $y$ . $(0,5)$ לקח רק את ה- $y$ של האמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הישר $y=4$ חותך את המעגל $(x-2)^2+(y-1)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $B$ . $M$ מרכז המעגל. מהו שטח המשולש $MAB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}(x-2)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6 \\ \ x &= -2\end{aligned}

מציבים $y=4$

\begin{aligned}AB &= 6-(-2) \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס אופקי

\begin{aligned}h &= 4-1 \\ &= 3\end{aligned}

הגובה: המרחק של $M(2,1)$ מהישר $y=4$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 3}{2} \\ &= 12\end{aligned}

שטח משולש

הבסיס $AB$ מונח על ישר אופקי, ולכן הגובה הוא הפרש שיעורי ה- $y$ . אין צורך לחשב את $MA$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$A(-5,\,0)$ , $B(5,\,0)$ ו- $C(3,\,4)$ נמצאות על המעגל $x^2+y^2=25$ . הזווית $ACB$ ישרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{4}{-2} \\ &= -2\end{aligned}

השיפועים של שתי הצלעות

\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1

ניצבות

AB \ \text{קוטר}

גם בלי חישוב: $AB$ עובר דרך המרכז, וזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

הטענה נכונה. כל נקודה על המעגל, מלבד $A$ ו- $B$ , רואה את הקוטר $AB$ בזווית ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מעגל עובר דרך $A(-1,\,3)$ ו- $B(3,\,7)$ , ומרכזו על הישר $y=2x$ . מצאו את המרכז ואת $R^2$ .

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R^2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M($ 2 $,$ 4 $)$ , $R^2=$ 10

הפתרון:

\begin{aligned}N &= (1,\,5) \\ \quad m_{AB} &= 1\end{aligned}

אמצע $AB$ ושיפועו

y=-x+6

האנך האמצעי של $AB$ : כל נקודה עליו במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$

\begin{aligned}-x+6 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

חיתוך עם $y=2x$

\begin{aligned}R^2 &= (2+1)^2+(4-3)^2 \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $B$ : $(3-2)^2+(7-4)^2=1+9=10$ ✓. מי שהציב את האמצע $N$ בישר $y=2x$ הניח שהמרכז הוא אמצע $AB$ , אבל $AB$ אינו קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הנקודות $A(0,\,6)$ , $B(8,\,2)$ , $C(6,\,-2)$ ו- $D(-2,\,2)$ נמצאות על מעגל שמרכזו $M(3,\,2)$ . מהו סוג המרובע $ABCD$ ?

מעוין שאינו ריבוע
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
דלתון שאינו מעוין

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מלבן שאינו ריבוע

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{A+C}{2} &= (3,\,2) \\ \quad \frac{B+D}{2} &= (3,\,2)\end{aligned}

שני האלכסונים עוברים דרך $M$ : הם קטרים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 10\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה ושווים: מלבן

\begin{aligned}m_{AC} &= -\frac{4}{3} \\ \quad m_{BD} &= 0\end{aligned}

האלכסונים אינם מאונכים, ולכן זה אינו ריבוע

הנכונה: מלבן שאינו ריבוע. בדיקה: $m_{AB} \cdot m_{BC}=\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 2=-1$ , זווית ישרה. אבל $AB=\sqrt{80} \neq BC=\sqrt{20}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מה השטח של המרובע $ABCD$ מהשאלה הקודמת: $A(0,\,6)$ , $B(8,\,2)$ , $C(6,\,-2)$ , $D(-2,\,2)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2+4^2} \\ &= \sqrt{80}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \sqrt{80} \cdot \sqrt{20} \\ &= \sqrt{1600} \\ &= 40\end{aligned}

שטח מלבן

מכפלת שני שורשים היא שורש המכפלה. מי שחישב $\frac{AC \cdot BD}{2}=50$ השתמש בנוסחה של מעוין, והיא נכונה רק כשהאלכסונים מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מעגל עובר דרך ראשית הצירים $O$ ודרך $A(8,\,0)$ ו- $B(0,\,6)$ . השלימו את משוואתו בצורה הכללית.

$x^2+y^2+$ ____ $x+$ ____ $y=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x^2+y^2+$ -8 $x+$ -6 $y=0$

הפתרון:

\angle AOB=90^\circ \ \Rightarrow \ AB \ \text{קוטר}

הצירים מאונכים, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

\begin{aligned}M &= (4,\,3) \\ \quad R &= \frac{\sqrt{64+36}}{2} \\ &= 5\end{aligned}

אמצע הקוטר וחצי אורכו

\begin{aligned}(x-4)^2+(y-3)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2-8x+16+y^2-6y+9 \\ &= 25\end{aligned}

פותחים סוגריים

x^2+y^2-8x-6y=0

אין איבר חופשי, כי המעגל עובר בראשית

מי שכתב $+8$ שכח שפתיחת $(x-4)^2$ נותנת $-8x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה $A(4,\,6)$ נמצאת על המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ , שמרכזו $M$ . המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ . מהו שטח המשולש $MAB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{3}{4} \\ \quad y &= -\frac{3}{4}x+9\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

0=-\frac{3}{4}x+9 \ \Rightarrow \ B(12,\,0)

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}MA &= 5 \\ \quad AB &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{MA \cdot AB}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 10}{2} \\ &= 25\end{aligned}

הזווית ב- $A$ ישרה, ולכן $MA$ ו- $AB$ הם בסיס וגובה

הזווית הישרה של המשולש נמצאת ב- $A$ , בגלל המשיק. לכן הניצבים הם $MA$ ו- $AB$ , ולא $MB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$AC$ ו- $BD$ הם שני קטרים שונים במעגל שמרכזו $M$ . הוכיחו: $ABCD$ מלבן.

$AC$ קוטר
$BD$ קוטר
$M$ מרכז המעגל

$ABCD$ מלבן

להציג את התשובה והפתרון

$MA=MC$ ו- $MB=MD$ — רדיוסים באותו מעגל
$ABCD$ מקבילית — מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
$AC=BD$ — שני קטרים באותו מעגל, כל אחד שווה ל- $2R$
$ABCD$ מלבן — מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן

הפתרון:

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= MB \\ &= MD \\ &= R\end{aligned}

רדיוסים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 2R\end{aligned}

קטרים

ההוכחה אינה צריכה אף שיעור: שני קטרים תמיד יוצרים מלבן. בשאלה עם שיעורים מראים ששני האלכסונים עוברים דרך המרכז, ומשם זה אותו משפט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מרכז על ישר נתון

מעגל, משולש ומרובע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev