משיק למעגל ומעגל המשיק לצירים · משוואת המעגל · כיתה י״א

גלגל של אופניים נוסע על כביש ישר. נסמן את הכביש כציר ה- $x$ . הגלגל נוגע בכביש בנקודה אחת בלבד, ישירות מתחת לציר של הגלגל. לכן גובה הציר מעל הכביש שווה לרדיוס. הסתכלו על השרטוט.

המרכז

M(4,\,3)

נמצא בגובה

3

מעל ציר ה-

x

, והרדיוס הוא

3

. נקודת ההשקה

T(4,\,0)

נמצאת ישירות מתחת למרכז.

מרכז של גלגל אחר נמצא ב- $(6,\,5)$ , והגלגל נוגע בכביש $y=0$ . מהו הרדיוס, והיכן נקודת ההשקה?

להציג את התשובה והפתרון

הרדיוס הוא הגובה של המרכז: $R=5$ . נקודת ההשקה $(6,\,0)$ , ישירות מתחת למרכז.

מעגל המשיק לצירים

R=|b|

משיק לציר ה- $x$ . נקודת ההשקה $(a,\,0)$

R=|a|

משיק לציר ה- $y$ . נקודת ההשקה $(0,\,b)$

\begin{aligned}R &= |a| \\ &= |b|\end{aligned}

משיק לשני הצירים. המרכז על אחד הישרים $y=x$ או $y=-x$

מעגל שרדיוסו $3$ משיק לשני הצירים, ומרכזו ברביע השני. מהי משוואתו?

להציג את התשובה והפתרון

ברביע השני $x<0$ ו- $y>0$ , ולכן המרכז $(-3,\,3)$ . המשוואה: $(x+3)^2+(y-3)^2=9$ .

המשיק בנקודה על המעגל

משפט מהגאומטריה: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. בהנדסה אנליטית זה אומר שמכפלת השיפועים של הרדיוס ושל המשיק היא $-1$ .

1

שיפוע הרדיוס: מהמרכז $M$ אל נקודת ההשקה $A$

2

שיפוע המשיק: הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס

3

משוואת ישר לפי השיפוע ולפי הנקודה $A$

משוואת משיק

הנקודה $A(4,\,6)$ נמצאת על המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ . מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

(4-1)^2+(6-2)^2=25 \ \checkmark

בדיקה: $A$ על המעגל

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{6-2}{4-1} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y-6 &= -\frac{3}{4}(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{3}{4}x+9\end{aligned}

ישר דרך $A$ , לא דרך $M$

הרדיוס

MA

והמשיק נפגשים בזווית ישרה בנקודה

A

מקרה מיוחד: אם הרדיוס אנכי (ל- $M$ ול- $A$ אותו $x$ ), המשיק אופקי: $y=y_A$ . אם הרדיוס אופקי, המשיק אנכי: $x=x_A$ . אין כאן שיפוע «הופכי» לחשב.

מהו המשיק למעגל $(x+2)^2+(y-1)^2=16$ בנקודה $(-2,\,5)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

למרכז $(-2,1)$ ולנקודה אותו $x$ , ולכן הרדיוס אנכי והמשיק אופקי: $y=5$ .

שלוש הטעויות של המשיק.

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

m=-\frac{3}{4}

להחליף סימן לא מספיק. ישר מאונך דורש גם הפוך וגם נגדי.

y-2=-\frac{3}{4}(x-1)

y-6=-\frac{3}{4}(x-4)

המשיק עובר דרך נקודת ההשקה $A$ , לא דרך המרכז $M$ .

\begin{aligned}M(3,\,5) \ \Rightarrow \ R &= |a| \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

למעגל שמרכזו $(3,5)$ ומשיק לציר ה- $x$ , הרדיוס הוא המרחק מציר ה- $x$ : $|b|=5$ . המרחק $|a|$ שייך לציר ה- $y$ .

תרגילים

תרגיל 1

מרכז המעגל הוא $(-4,\,5)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ . מהי משוואת המעגל?

$(x-4)^2+(y+5)^2=25$
$(x+4)^2+(y-5)^2=25$
$(x+4)^2+(y-5)^2=5$
$(x+4)^2+(y-5)^2=16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(x+4)^2+(y-5)^2=25$

הפתרון:

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $x$ : הרדיוס שווה למרחק המרכז מהציר, שהוא הגובה

(x+4)^2+(y-5)^2=25

מציבים

הנכונה: $(x+4)^2+(y-5)^2=25$ . $R^2=16$ מתאים למעגל המשיק לציר ה- $y$ . ו- $5$ באגף ימין שכח להעלות בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המעגל $(x-3)^2+(y+2)^2=4$ משיק לאחד הצירים. מצאו את נקודת ההשקה.

נקודת ההשקה: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודת ההשקה: $($ 3 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}M(3,\,-2) \\ \quad R &= 2\end{aligned}

קוראים מהמשוואה

\begin{aligned}|b| &= 2 \\ &= R\end{aligned}

המרחק מציר ה- $x$ שווה לרדיוס: משיק לציר ה- $x$

|a|=3 \neq 2

ציר ה- $y$ רחוק מדי

(3,\,0)

נקודת ההשקה ישירות מעל המרכז

המרכז מתחת לציר ה- $x$ , ולכן נקודת ההשקה נמצאת מעליו. בכל מקרה היא על הציר, ולכן $y=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מיינו את המעגלים: אילו מהם משיקים לציר ה- $y$ ?

משיק לציר ה- $y$
לא משיק לציר ה- $y$

$(x-1)^2+(y+3)^2=9$
$(x-4)^2+(y-4)^2=4$
$(x-5)^2+(y-1)^2=25$
$(x+2)^2+(y-7)^2=4$
$x^2+(y-2)^2=4$
$x^2+y^2-6x+4y+4=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x-5)^2+(y-1)^2=25$ — משיק לציר ה- $y$ · $(x+2)^2+(y-7)^2=4$ — משיק לציר ה- $y$ · $x^2+y^2-6x+4y+4=0$ — משיק לציר ה- $y$ · $(x-4)^2+(y-4)^2=4$ — לא משיק לציר ה- $y$ · $(x-1)^2+(y+3)^2=9$ — לא משיק לציר ה- $y$ · $x^2+(y-2)^2=4$ — לא משיק לציר ה- $y$

הפתרון:

R=|a|

התנאי למעגל המשיק לציר ה- $y$

\begin{aligned}x^2+y^2-6x+4y+4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x-3)^2+(y+2)^2 \\ &= 9\end{aligned}

$R=3=|a|$ : משיק

(x-1)^2+(y+3)^2=9

$R=3=|b|$ : משיק לציר ה- $x$ , לא לציר ה- $y$

ב- $x^2+(y-2)^2=4$ המרכז על ציר ה- $y$ , ולכן הציר חותך את המעגל ועובר בקוטר. מעגל משיק לציר ה- $y$ רק כשהמרחק $|a|$ שווה לרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנקודה $A(5,\,3)$ נמצאת על המעגל $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ . מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה $A$ ?

$\frac{4}{3}$
$\frac{3}{4}$
$-\frac{4}{3}$
$-\frac{3}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $-\frac{3}{4}$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{3-(-1)}{5-2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז $(2,-1)$

m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: $\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-1$

הנכונה: $-\frac{3}{4}$ . $\frac{4}{3}$ הוא שיפוע הרדיוס, ו- $-\frac{4}{3}$ שכח להפוך את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הנקודה $A(2,\,3)$ נמצאת על המעגל $(x+1)^2+(y-2)^2=10$ . מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

$y=$ ____ $x+$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=$ -3 $x+$ 9

הפתרון:

(2+1)^2+(3-2)^2=10 \ \checkmark

$A$ על המעגל

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{3-2}{2+1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מ- $M(-1,2)$

m=-3

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y-3 &= -3(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x+9\end{aligned}

ישר דרך $A$

מי שכתב $y-2=-3(x+1)$ העביר את המשיק דרך המרכז. ישר כזה מאונך לרדיוס, אבל הוא לא נוגע במעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הנקודה $A(4,\,2)$ נמצאת על המעגל $x^2+y^2=20$ . המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ . מהו שיעור ה- $x$ של $B$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}m_{OA} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהראשית

\begin{aligned}m &= -2 \\ \quad y-2 &= -2(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x+10\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}0 &= -2x+10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

על ציר ה- $x$ מציבים $y=0$

$B(5,\,0)$ . בדיקה: $OA^2+AB^2=20+5=25=OB^2$ , כמו שמשפט פיתגורס דורש במשולש $OAB$ שבו הזווית ב- $A$ ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה $A(1,\,6)$ נמצאת על המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=16$ . מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ ?

$y=x+5$
$x=1$
$y=6$
$y=-x+7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y=6$

הפתרון:

M(1,\,2) ,\ A(1,\,6)

לשתי הנקודות אותו $x$ : הרדיוס $MA$ אנכי

y=6

המשיק מאונך לרדיוס, ולכן אופקי, והוא עובר דרך $A$

הנכונה: $y=6$ . $x=1$ הוא הישר שעליו מונח הרדיוס עצמו. לרדיוס אנכי אין שיפוע, ולכן אי אפשר לחשב «הופכי ונגדי». צריך לחשוב על הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מעגל שרדיוסו $4$ משיק לשני הצירים, ומרכזו ברביע הרביעי. השלימו את משוואתו.

$(x-$ ____ $)^2+(y+$ ____ $)^2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x-$ 4 $)^2+(y+$ 4 $)^2=$ 16

הפתרון:

x>0 ,\ y<0

ברביע הרביעי

M(4,\,-4)

משיק לשני הצירים: $|a|=|b|=R=4$

(x-4)^2+(y+4)^2=16

מציבים

המרכז $(4,-4)$ , ולכן בסוגריים של $y$ מופיע פלוס. נקודות ההשקה: $(4,\,0)$ ו- $(0,\,-4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המעגל $x^2+y^2-8x-6y+9=0$ משיק לציר ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(x-4)^2+(y-3)^2=16

השלמה לריבוע: $16+9-9=16$

\begin{aligned}M(4,\,3) \\ \quad R &= 4\end{aligned}

קוראים

\begin{aligned}|b| &= 3<4 \\ \quad |a| &= 4 \\ &= R\end{aligned}

ציר ה- $x$ חותך את המעגל, וציר ה- $y$ משיק לו

הטענה לא נכונה. המעגל משיק לציר ה- $y$ בנקודה $(0,\,3)$ , ואת ציר ה- $x$ הוא חותך בשתי נקודות: $(4\pm\sqrt{7},\,0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $(3,\,0)$ , ומרכזו על הישר $y=2x$ . מהו הרדיוס של המעגל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

M(3,\,b)

המרכז ישירות מעל נקודת ההשקה: הרדיוס מאונך לציר המשיק

\begin{aligned}b &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

המרכז על הישר $y=2x$

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 6\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $x$

המשוואה: $(x-3)^2+(y-6)^2=36$ . מי שחיפש את המרכז על הישר בנקודה $(0,0)$ שכח שהמרכז חייב להיות מעל נקודת ההשקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מעגל המשיק לצירים

המשיק בנקודה על המעגל

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev