נקודה, ישר ומעגל · משוואת המעגל · כיתה י״א

אנטנה סלולרית בגליל עומדת בראשית הצירים, והיא קולטת טלפונים עד מרחק של $5$ ק״מ. שלושה מטיילים נמצאים ב- $A(3,\,4)$ , ב- $B(1,\,2)$ וב- $C(6,\,2)$ . למי יש קליטה? הסתכלו על השרטוט.

A

על קצה הטווח,

B

בתוכו ו-

C

מחוצה לו. את מה שהעין מנחשת, ההצבה במשוואה מוכיחה.

הציבו את $C(6,\,2)$ באגף שמאל של $x^2+y^2=25$ . מה מקבלים, ומה זה אומר?

להציג את התשובה והפתרון

$36+4=40>25$ . ריבוע המרחק של $C$ מהמרכז גדול מ- $R^2$ , ולכן $C$ מחוץ למעגל, ואין לו קליטה.

נקודה ומעגל

מציבים את הנקודה באגף שמאל של המשוואה הקנונית $(x-a)^2+(y-b)^2$ . מה שמתקבל הוא ריבוע המרחק של הנקודה מהמרכז, ומשווים אותו ל- $R^2$ .

(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<R^2

הנקודה בתוך המעגל

(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=R^2

הנקודה על המעגל

(x_0-a)^2+(y_0-b)^2>R^2

הנקודה מחוץ למעגל

ישר ומעגל: מערכת משוואות

נקודות המפגש של ישר ומעגל מקיימות את שתי המשוואות. מציבים את $y$ של הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית ב- $x$ . מספר הפתרונות שלה הוא מספר נקודות המפגש.

נקודות החיתוך של ישר ומעגל

מצאו את נקודות החיתוך של הישר $y=2x+2$ עם המעגל $(x-1)^2+(y+1)^2=25$ .

(x-1)^2+(2x+3)^2=25

מציבים $y=2x+2$ , ולכן $y+1=2x+3$

\begin{aligned}5x^2+10x+10 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2+2x-3 \\ &= 0\end{aligned}

פותחים סוגריים ומחלקים ב- $5$

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= -3\end{aligned}

$(x-1)(x+3)=0$

(1,\,4) ,\quad (-3,\,-4)

מציבים כל $x$ במשוואת הישר ומקבלים את ה- $y$

הישר חותך את המעגל בשתי נקודות, ולכן למשוואה הריבועית היו שני פתרונות.

\Delta>0

שני פתרונות: הישר חותך את המעגל

\Delta=0

פתרון אחד: הישר משיק למעגל

\Delta<0

אין פתרון: הישר אינו פוגש את המעגל

כמה נקודות משותפות יש לישר $y=x+6$ ולמעגל $x^2+(y-2)^2=8$ ?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים: $x^2+(x+4)^2=8$ , כלומר $2x^2+8x+8=0$ , או $(x+2)^2=0$ . פתרון אחד: $x=-2$ . הישר משיק למעגל בנקודה $(-2,\,4)$ .

הדרך הגאומטרית: מרחק המרכז מהישר

אפשר גם בלי משוואה ריבועית: משווים את מרחק המרכז מהישר לרדיוס. אם המרחק קטן מ- $R$ , הישר חותך. אם הוא שווה ל- $R$ , הישר משיק. אם הוא גדול מ- $R$ , אין מפגש. לישר אופקי $y=k$ המרחק הוא $|k-b|$ , ולישר אנכי $x=k$ הוא $|k-a|$ .

אורך מיתר

הישר $y=-1$ חותך את המעגל $(x-2)^2+(y-3)^2=25$ . מצאו את אורך המיתר.

\begin{aligned}d &= |-1-3| \\ &= 4<5\end{aligned}

מרחק המרכז $(2,3)$ מהישר האופקי קטן מהרדיוס: הישר חותך

\sqrt{5^2-4^2}=3

משפט: האנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר. לפי משפט פיתגורס, חצי המיתר הוא $3$

2 \cdot 3=6

אורך המיתר. בדיקה: הנקודות הן $(5,-1)$ ו- $(-1,-1)$

המשפט «האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו» עובד גם בכיוון ההפוך: הקטע מהמרכז אל אמצע המיתר מאונך למיתר. בשפת השיפועים: מכפלת השיפועים היא $-1$ .

הטעויות של ישר ומעגל.

x=1

(1,\,4)

פתרון המשוואה הריבועית נותן רק את $x$ . נקודה היא זוג: מציבים במשוואת הישר ומקבלים $y$ .

(x-1)^2+(2x+2)^2+1=25

(x-1)^2+(2x+2+1)^2=25

מציבים את כל הביטוי של $y$ בתוך הסוגריים, ורק אחר כך מעלים בריבוע.

\begin{aligned}d &= 4<16 \\ &= R^2\end{aligned}

\begin{aligned}d &= 4 \\ &= R\end{aligned}

מרכז המעגל במרחק $4$ מהישר, ו- $R^2=16$ . משווים את המרחק לרדיוס עצמו, $R=4$ , ולא לריבוע הרדיוס: הישר משיק, ולא חותך.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ . מיינו את הנקודות: בתוך המעגל או מחוץ לו?

בתוך המעגל
מחוץ למעגל

$(-1,\,0)$
$(-3,\,6)$
$(1,\,-2)$
$(1,\,8)$
$(4,\,5)$
$(6,\,3)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(4,\,5)$ — בתוך המעגל · $(1,\,-2)$ — בתוך המעגל · $(-1,\,0)$ — בתוך המעגל · $(6,\,3)$ — מחוץ למעגל · $(-3,\,6)$ — מחוץ למעגל · $(1,\,8)$ — מחוץ למעגל

הפתרון:

(4-1)^2+(5-2)^2=18<25

בתוך

(6-1)^2+(3-2)^2=26>25

מחוץ, אבל רק בקצת

(1-1)^2+(8-2)^2=36>25

מחוץ

משווים ל- $R^2=25$ , לא ל- $R=5$ . מי שהשווה ל- $5$ היה מוציא את כל הנקודות אל מחוץ למעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

היכן נמצאת הנקודה $A(5,\,1)$ ביחס למעגל $x^2+y^2-4x+2y-20=0$ ?

אי אפשר לדעת בלי שרטוט
על המעגל
בתוך המעגל
מחוץ למעגל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בתוך המעגל

הפתרון:

(x-2)^2+(y+1)^2=25

השלמה לריבוע: $20+4+1=25$

\begin{aligned}(5-2)^2+(1+1)^2 &= 9+4 \\ &= 13<25\end{aligned}

מציבים את $A$

הנכונה: בתוך המעגל. אפשר להציב גם במשוואה הכללית: $25+1-20+2-20=-12<0$ . סימן שלילי אומר «בתוך», אבל קל להתבלבל בסימנים, ולכן בטוח יותר לעבור לצורה הקנונית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את נקודות החיתוך של הישר $y=x+3$ עם המעגל $(x-2)^2+(y-3)^2=10$ . $A$ היא הנקודה שבה $x>0$ .

$A($ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 3 $,$ 6 $)$ , $B($ -1 $,$ 2 $)$

הפתרון:

(x-2)^2+x^2=10

מציבים $y=x+3$ , ולכן $y-3=x$

\begin{aligned}2x^2-4x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2-2x-3 \\ &= 0\end{aligned}

מסדרים

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -1\end{aligned}

$(x-3)(x+1)=0$

\begin{aligned}y &= 3+3 \\ &= 6 \\ \quad y &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים במשוואת הישר

בדיקה במעגל: $(3-2)^2+(6-3)^2=1+9=10$ ✓. בלי ההצבה במשוואת הישר יש רק חצי תשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה נקודות משותפות יש לישר $y=7$ ולמעגל $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ ?

$1$
אינסוף
$2$
$0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $1$

הפתרון:

\begin{aligned}d &= |7-3| \\ &= 4\end{aligned}

מרחק המרכז $(-2,3)$ מהישר האופקי

\begin{aligned}d &= R \\ &= 4\end{aligned}

המרחק שווה לרדיוס: הישר משיק

\begin{aligned}(x+2)^2+16 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

בדיקה במערכת: פתרון אחד, הנקודה $(-2,\,7)$

הנכונה: $1$ . הישר $y=7$ עובר בדיוק ב«גג» של המעגל: $3+4=7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הישר $y=4$ חותך את המעגל $(x-3)^2+(y+2)^2=100$ בנקודות $A$ ו- $B$ . מהו אורך המיתר $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}d &= |4-(-2)| \\ &= 6\end{aligned}

מרחק המרכז $(3,-2)$ מהישר

\sqrt{10^2-6^2}=8

האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו, ומשפט פיתגורס נותן את חצי המיתר

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 8 \\ &= 16\end{aligned}

בדיקה: $(x-3)^2=64$ נותן $x=11$ ו- $x=-5$

מי שענה $8$ מצא רק חצי מיתר. המשולש של פיתגורס בנוי על חצי המיתר, והאנך מהמרכז הוא הניצב השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הישר $y=2x+10$ אינו פוגש את המעגל $x^2+y^2=5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x^2+(2x+10)^2 &= 5 \ \Rightarrow \ 5x^2+40x+95 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את הישר

\begin{aligned}x^2+8x+19 &= 0 \\ \quad \Delta &= 64-76 \\ &= -12<0\end{aligned}

מחלקים ב- $5$ ובודקים את הדיסקרימיננטה

אין פתרון, ולכן אין נקודה משותפת. הדיסקרימיננטה השלילית היא ההוכחה. «נראה רחוק» בשרטוט אינו הוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הישר $y=2x-3$ עובר דרך מרכז המעגל $(x-2)^2+(y-1)^2=20$ , וחותך אותו בנקודות $A$ ו- $B$ ( $x_A>x_B$ ). מצאו את הנקודות.

$A($ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 4 $,$ 5 $)$ , $B($ 0 $,$ -3 $)$

הפתרון:

2 \cdot 2-3=1

המרכז $(2,1)$ על הישר, ולכן $AB$ קוטר

\begin{aligned}(x-2)^2+(2x-4)^2 &= 20 \ \Rightarrow \ 5(x-2)^2 \\ &= 20\end{aligned}

מציבים $y-1=2x-4=2(x-2)$

\begin{aligned}x-2 &= \pm 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ x &= 0\end{aligned}

שני פתרונות

A(4,\,5) ,\quad B(0,\,-3)

מציבים בישר

המרכז $(2,1)$ הוא בדיוק אמצע $AB$ , כמו שצריך לקוטר. זו בדיקה מהירה לתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הישר $y=-x+6$ משיק למעגל $(x-1)^2+(y-1)^2=8$ . מהו שיעור ה- $x$ של נקודת ההשקה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(x-1)^2+(5-x)^2=8

מציבים $y-1=5-x$

\begin{aligned}2x^2-12x+26 &= 8 \ \Rightarrow \ x^2-6x+9 \\ &= 0\end{aligned}

מסדרים ומחלקים ב- $2$

\begin{aligned}(x-3)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

פתרון יחיד: זה סימן המשיק

נקודת ההשקה היא $(3,\,3)$ . פתרון כפול של המשוואה הריבועית אומר שהישר נוגע במעגל בנקודה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$AB$ מיתר במעגל שמרכזו $M(1,\,2)$ , כאשר $A(-2,\,6)$ ו- $B(6,\,2)$ . מהו השיפוע של האנך מ- $M$ אל המיתר $AB$ ?

$-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$2$
$-2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2-6}{6+2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע המיתר

m=2

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים $-1$

\begin{aligned}N &= (2,\,4) \\ \quad m_{MN} &= \frac{4-2}{2-1} \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו, ולכן הוא עובר באמצע $N$

הנכונה: $2$ . $-\frac{1}{2}$ הוא שיפוע המיתר עצמו. ו- $\frac{1}{2}$ הוא רק «הפוך» בלי החלפת סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את השלבים למציאת נקודות החיתוך של ישר ומעגל.

מבודדים את $y$ במשוואת הישר
מציבים את הביטוי של $y$ במשוואת המעגל
מציבים כל $x$ במשוואת הישר ומוצאים את $y$
פותרים את המשוואה הריבועית ב- $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מבודדים את $y$ במשוואת הישר · מציבים את הביטוי של $y$ במשוואת המעגל · פותרים את המשוואה הריבועית ב- $x$ · מציבים כל $x$ במשוואת הישר ומוצאים את $y$

הפתרון:

y=mx+n

בידוד

(x-a)^2+(mx+n-b)^2=R^2

הצבה

x_1 ,\ x_2

פתרון

(x_1,\,y_1) ,\ (x_2,\,y_2)

השלמה לנקודות

השלב האחרון הוא זה שנשכח הכי הרבה: בלי ה- $y$ אין נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

נקודה ומעגל

ישר ומעגל: מערכת משוואות

הדרך הגאומטרית: מרחק המרכז מהישר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev