משוואת המעגל: קנונית וכללית · משוואת המעגל · כיתה י״א

בשדה בעמק יזרעאל עומדת ממטרה מסתובבת בנקודה $M(2,\,1)$ . הסילון שלה מגיע בדיוק למרחק של $5$ מטרים. איפה נוחתות הטיפות? בכל נקודה שמרחקה מ- $M$ הוא $5$ , ורק בהן. הצורה שמתקבלת היא מעגל. הסתכלו על השרטוט לפני שכותבים משוואה.

הנקודות

P(5,\,5)

ו-

Q(-2,\,4)

נמצאות על המעגל. מ-

M

אל

P

מתקדמים

3

ימינה ו-

4

למעלה, ולפי משפט פיתגורס המרחק הוא

\sqrt{9+16}=5

האם גם הנקודה $(6,\,-2)$ נמצאת על המעגל של הממטרה?

להציג את התשובה והפתרון

מ- $M(2,1)$ מתקדמים $4$ ימינה ו- $3$ למטה: $\sqrt{16+9}=5$ . כן, הנקודה על המעגל.

מנוסחת המרחק למשוואה

נקודה $(x,\,y)$ נמצאת על מעגל שמרכזו $M(a,\,b)$ ורדיוסו $R$ אם ורק אם המרחק שלה מ- $M$ הוא $R$ . כותבים את נוסחת המרחק ומעלים בריבוע:

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

המשוואה הקנונית: מרכז $(a,\,b)$ ורדיוס $R$

(x-3)^2+(y+2)^2=16

מרכז $(3,\,-2)$ , רדיוס $4$

x^2+(y-5)^2=7

מרכז $(0,\,5)$ , רדיוס $\sqrt{7}$

(x+1)^2+y^2=9

מרכז $(-1,\,0)$ , רדיוס $3$

מהם המרכז והרדיוס של המעגל $(x+4)^2+(y-1)^2=36$ ?

להציג את התשובה והפתרון

המרכז $(-4,\,1)$ : בתוך הסוגריים יש מינוס, ולכן $x+4=x-(-4)$ . הרדיוס $6$ , כי באגף ימין יושב $R^2=36$ .

לבנות משוואה מהנתונים

למשוואה צריך שני דברים: מרכז ורדיוס. אם נתונים המרכז ונקודה על המעגל, הרדיוס הוא המרחק ביניהם. אם נתונים שני קצות של קוטר, המרכז הוא אמצע הקוטר והרדיוס הוא חצי מאורכו.

מעגל לפי קוטר

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל, כאשר $A(-3,\,2)$ ו- $B(5,\,8)$ . מצאו את משוואת המעגל.

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-3+5}{2},\ \frac{2+8}{2}\right) \\ &= (1,\,5)\end{aligned}

נוסחת האמצע: מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &= 10 \ \Rightarrow \ R \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק, והרדיוס הוא חצי קוטר

(x-1)^2+(y-5)^2=25

מציבים במשוואה הקנונית

המשוואה הכללית: השלמה לריבוע

אם פותחים את הסוגריים מקבלים משוואה מהצורה $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ . בצורה הזו לא רואים את המרכז. כדי לחזור לצורה הקנונית משלימים לריבוע: $x^2-6x=(x-3)^2-9$ .

מהמשוואה הכללית למרכז ולרדיוס

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ .

(x^2-6x)+(y^2+4y)=12

מקבצים את איברי $x$ ואת איברי $y$

(x-3)^2-9+(y+2)^2-4=12

השלמה לריבוע בכל סוגריים

(x-3)^2+(y+2)^2=25

מעבירים אגף: $12+9+4=25$

\begin{aligned}M(3,\,-2) \\ \quad R &= 5\end{aligned}

קוראים מהצורה הקנונית

האם המשוואה $x^2+y^2-4x+2y+10=0$ היא משוואה של מעגל?

להציג את התשובה והפתרון

השלמה לריבוע: $(x-2)^2+(y+1)^2=4+1-10=-5$ . סכום של ריבועים אינו שלילי, ולכן אין אף נקודה שמקיימת את המשוואה. זה לא מעגל.

משוואה ממעלה שנייה היא מעגל רק אם המקדמים של $x^2$ ושל $y^2$ שווים, אין איבר $xy$ , ואחרי ההשלמה לריבוע אגף ימין חיובי.

שלוש הטעויות של משוואת המעגל.

(x+3)^2+(y-1)^2=4 \ \Rightarrow \ M(3,\,-1)

M(-3,\,1)

בנוסחה כתוב $x-a$ . לכן $x+3$ אומר $a=-3$ : הסימן של המרכז הפוך לסימן בסוגריים.

\begin{aligned}(x-2)^2+y^2 &= 36 \ \Rightarrow \ R \\ &= 36\end{aligned}

R=6

באגף ימין יושב ריבוע הרדיוס.

x^2-8x=(x-4)^2

x^2-8x=(x-4)^2-16

$(x-4)^2=x^2-8x+16$ . את ה- $16$ שנוסף צריך להחסיר.

תרגילים

תרגיל 1

מהם המרכז והרדיוס של המעגל $(x-5)^2+(y+3)^2=49$ ?

$M(5,\,-3)$ , $R=49$
$M(-5,\,3)$ , $R=49$
$M(5,\,-3)$ , $R=7$
$M(-5,\,3)$ , $R=7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $M(5,\,-3)$ , $R=7$

הפתרון:

\begin{aligned}x-5 &= x-a \ \Rightarrow \ a \\ &= 5 \\ \quad y+3 &= y-(-3) \ \Rightarrow \ b \\ &= -3\end{aligned}

קוראים את המרכז מהצורה הקנונית

\begin{aligned}R^2 &= 49 \ \Rightarrow \ R \\ &= 7\end{aligned}

באגף ימין ריבוע הרדיוס

הנכונה: $M(5,-3)$ , $R=7$ . מי שבחר $M(-5,3)$ לא הפך את הסימנים נכון. מי שבחר $R=49$ שכח להוציא שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מרכז המעגל הוא $M(-2,\,3)$ , והמעגל עובר דרך הנקודה $P(1,\,7)$ . השלימו את משוואת המעגל.

$(x+$ ____ $)^2+(y-$ ____ $)^2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x+$ 2 $)^2+(y-$ 3 $)^2=$ 25

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= MP^2 \\ &= (1+2)^2+(7-3)^2 \\ &= 9+16 \\ &= 25\end{aligned}

נוסחת המרחק: הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה על המעגל

(x+2)^2+(y-3)^2=25

מציבים במשוואה הקנונית

באגף ימין כותבים $R^2=25$ ישירות, בלי להוציא שורש ולהעלות שוב. והסימן: $a=-2$ נותן $x+2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל, כאשר $A(-1,\,-2)$ ו- $B(7,\,4)$ . מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס.

מרכז: $($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מרכז: $($ 3 $,$ 1 $)$ , $R=$ 5

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1+7}{2},\ \frac{-2+4}{2}\right) \\ &= (3,\,1)\end{aligned}

נוסחת האמצע: המרכז הוא אמצע הקוטר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}R &= \frac{AB}{2} \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

מי שכתב $R=10$ שכח שהקטע הוא קוטר, לא רדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהם המרכז והרדיוס של המעגל $x^2+y^2+8x-2y-8=0$ ?

$M(-4,\,1)$ , $R=2\sqrt{2}$
$M(4,\,-1)$ , $R=5$
$M(-8,\,2)$ , $R=5$
$M(-4,\,1)$ , $R=5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $M(-4,\,1)$ , $R=5$

הפתרון:

(x^2+8x)+(y^2-2y)=8

מקבצים

(x+4)^2-16+(y-1)^2-1=8

השלמה לריבוע

(x+4)^2+(y-1)^2=25

$8+16+1=25$

הנכונה: $M(-4,1)$ , $R=5$ . $R=2\sqrt{2}$ לוקח את ה- $8$ כאילו הוא $R^2$ , בלי להוסיף את מה שנוסף בהשלמה. $M(-8,2)$ לוקח את המקדמים עצמם במקום חצי מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הרדיוס של המעגל $x^2+y^2-10x+6y+9=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

(x-5)^2-25+(y+3)^2-9+9=0

השלמה לריבוע

\begin{aligned}(x-5)^2+(y+3)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ R \\ &= 5\end{aligned}

מעבירים אגף

המספר $9$ במשוואה אינו $R^2$ . רק אחרי ההשלמה לריבוע אגף ימין הוא ריבוע הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו: אילו משוואות מתארות מעגל?

מעגל
לא מעגל

$x^2-y^2=9$
$x^2+2y^2=8$
$x^2+y^2-2x+4y+1=0$
$x^2+y^2-8y=0$
$x^2+y^2+6x+10=0$
$x^2+y^2=16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x^2+y^2=16$ — מעגל · $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ — מעגל · $x^2+y^2-8y=0$ — מעגל · $x^2+2y^2=8$ — לא מעגל · $x^2+y^2+6x+10=0$ — לא מעגל · $x^2-y^2=9$ — לא מעגל

הפתרון:

\begin{aligned}x^2+y^2-2x+4y+1 &= 0 \ \Rightarrow \ (x-1)^2+(y+2)^2 \\ &= 4\end{aligned}

מעגל: מרכז $(1,-2)$ , רדיוס $2$

\begin{aligned}x^2+y^2-8y &= 0 \ \Rightarrow \ x^2+(y-4)^2 \\ &= 16\end{aligned}

מעגל: מרכז $(0,4)$ , רדיוס $4$

\begin{aligned}x^2+y^2+6x+10 &= 0 \ \Rightarrow \ (x+3)^2+y^2 \\ &= -1\end{aligned}

אגף ימין שלילי: אין נקודות

ב- $x^2+2y^2=8$ המקדמים של $x^2$ ושל $y^2$ שונים, וב- $x^2-y^2=9$ יש מינוס. בשתיהן זה לא מעגל. ו- $x^2+y^2+6x+10=0$ נראית כמו מעגל, אבל ההשלמה לריבוע נותנת מספר שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המעגל $x^2+y^2-6x-8y=0$ עובר דרך ראשית הצירים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0^2+0^2-6 \cdot 0-8 \cdot 0=0

מציבים $(0,0)$ במשוואה

(x-3)^2+(y-4)^2=25

הצורה הקנונית: $M(3,4)$ , $R=5$ , ו- $OM=\sqrt{9+16}=5=R$

במשוואה הכללית, מעגל עובר דרך הראשית בדיוק כשאין איבר חופשי. ההצבה היא הבדיקה, ואין צורך בהשלמה לריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המעגל $(x-3)^2+(y-1)^2=25$ חותך את ציר ה- $y$ בשתי נקודות. מהו המרחק בין שתי הנקודות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0: \ 9+(y-1)^2 \\ &= 25\end{aligned}

על ציר ה- $y$ מתקיים $x=0$

\begin{aligned}(y-1)^2 &= 16 \ \Rightarrow \ y \\ &= 5 \\ \ y &= -3\end{aligned}

שני פתרונות

5-(-3)=8

שתי הנקודות על ציר ה- $y$ : המרחק הוא הפרש שיעורי ה- $y$

מי שהציב $y=0$ חישב את החיתוך עם ציר ה- $x$ . על ציר ה- $y$ מאפסים את $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המעגל $x^2+y^2+4x-6y-3=0$ . שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

(x^2+4x)+(y^2-6y)=3

(x+2)^2+(y-3)^2=3

\begin{aligned}M(-2,\,3) \\ \quad R &= \sqrt{3}\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x+2)^2+(y-3)^2=3$ → $(x+2)^2+(y-3)^2=16$

הפתרון:

(x+2)^2-4+(y-3)^2-9=3

השלמה לריבוע: $(x+2)^2=x^2+4x+4$ , ולכן מחסירים $4$

\begin{aligned}(x+2)^2+(y-3)^2 &= 3+4+9 \\ &= 16\end{aligned}

מעבירים אגף

R=4

הרדיוס

השורה השנייה שכחה את מה שנוסף בהשלמה לריבוע: $4$ ו- $9$ . לכן הרדיוס הוא $4$ ולא $\sqrt{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מנוסחת המרחק למשוואה

לבנות משוואה מהנתונים

המשוואה הכללית: השלמה לריבוע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev