תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: פונקציה קדומה, אינטגרל מסוים, c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}, שטח בין גרף לציר, שטח בין שני גרפים, משיק ופרמטר. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהו ∫(x2+4x) dx\int (x^2+4x)\,dx?

  1. x33+2x2+C\frac{x^3}{3}+2x^2+C
  2. x3+2x2+Cx^3+2x^2+C
  3. x33+4x2+C\frac{x^3}{3}+4x^2+C
  4. 2x+4+C2x+4+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x33+2x2+C\frac{x^3}{3}+2x^2+C

הפתרון:

∫x2 dx=x33∫4x dx=2x2\begin{aligned}\int x^2\,dx &= \tfrac{x^3}{3} \qquad \int 4x\,dx \\ &= 2x^2\end{aligned}

כל מחובר לחוד

הנכונה: x33+2x2+C\frac{x^3}{3}+2x^2+C. 2x+42x+4 היא נגזרת; 4x24x^2 שוכח לחלק ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫03(2x+1) dx\int_0^3 (2x+1)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

[x2+x]03=9+3\Big[x^2+x\Big]_0^3=9+3

עליון פחות תחתון

=12=12

התוצאה

F(0)=0F(0)=0, ולכן מספיק לחשב את F(3)F(3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון f′(x)=6x2f'(x)=6x^2, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 4)(1,\,4). חשבו את f(2)f(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

f(x)=2x3+Cf(x)=2x^3+C

פונקציה קדומה

2+C=4 ⇒ C=2\begin{aligned}2+C &= 4 \ \Rightarrow \ C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה

f(2)=16+2=18\begin{aligned}f(2) &= 16+2 \\ &= 18\end{aligned}

מציבים

בלי CC התשובה 1616.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

חשבו את ∫034(x+1)2 dx\int_0^3 \frac{4}{(x+1)^2}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

[−4x+1]03=−1−(−4)\Big[-\tfrac{4}{x+1}\Big]_0^3=-1-(-4)

פונקציה קדומה

=3=3

התוצאה

שני מינוסים בשורה: −1−(−4)=3-1-(-4)=3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2−x−2y=x^2-x-2 וציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.5

הפתרון:

(x−2)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=2\begin{aligned}(x-2)(x+1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

∫−12(x2−x−2) dx=−4.5\int_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx=-4.5

הגרף מתחת לציר

S=4.5S=4.5

הערך הנגדי

פרבולה «מחייכת» נמצאת מתחת לציר בין השורשים שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=3x2y=3x^2 לבין הישר y=6xy=6x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

3x2=6x ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}3x^2 &= 6x \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

∫02(6x−3x2) dx=12−8=4\begin{aligned}\int_0^2 (6x-3x^2)\,dx &= 12-8 \\ &= 4\end{aligned}

הישר עליון

הגבולות באים מהחיתוך בין הגרפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=x3−xy=x^3-x לבין ציר ה-xx, בתחום 0≤x≤20 \leq x \leq 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

x3−x=0 ⇒ x=1 בתחום\begin{aligned}x^3-x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{בתחום}\end{aligned}

חיתוך בפנים

∫01(x3−x) dx=−14∫12(x3−x) dx=94\begin{aligned}\int_0^1 (x^3-x)\,dx &= -\tfrac{1}{4} \qquad \int_1^2 (x^3-x)\,dx \\ &= \tfrac{9}{4}\end{aligned}

כל חלק לחוד

S=14+94=2.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה מתקבל 22, תשובה שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתון k>0k>0. השטח המוגבל בין הגרף של y=x2y=x^2 לבין הישר y=ky=k הוא 323\frac{32}{3}. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x2=k ⇒ x=±k\begin{aligned}x^2 &= k \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{k}\end{aligned}

חיתוכים

∫−kk(k−x2) dx=2(kk−kk3)=43kk\begin{aligned}\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (k-x^2)\,dx &= 2\Big(k\sqrt{k}-\tfrac{k\sqrt{k}}{3}\Big) \\ &= \tfrac{4}{3}k\sqrt{k}\end{aligned}

סימטריה: פעמיים החצי הימני

43kk=323 ⇒ kk=8 ⇒ k=4\begin{aligned}\tfrac{4}{3}k\sqrt{k} &= \tfrac{32}{3} \ \Rightarrow \ k\sqrt{k} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

4⋅2=84 \cdot 2=8

בדיקה: ∫−22(4−x2) dx=323\int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx=\frac{32}{3} ✓. הגבולות ±k\pm\sqrt{k}, לא ±k\pm k.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2y=x^2, המשיק לגרף בנקודה שבה x=6x=6, וציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

y−36=12(x−6) ⇒ y=12x−36\begin{aligned}y-36 &= 12(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= 12x-36\end{aligned}

המשיק

12x−36=0 ⇒ x=3\begin{aligned}12x-36 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

חיתוך המשיק עם הציר

∫06x2 dx=72\int_0^6 x^2\,dx=72

מתחת לפרבולה

(6−3)⋅362=54\tfrac{(6-3) \cdot 36}{2}=54

המשולש שמתחת למשיק

S=72−54=18\begin{aligned}S &= 72-54 \\ &= 18\end{aligned}

מחסרים

המשולש מתחיל ב-x=3x=3, לא ב-x=0x=0. מי שלקח רוחב 66 חיסר 108108.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=8x2f(x)=\frac{8}{x^2}. מצאו את a>1a>1 שעבורו השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=ax=a הוא 66.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

[−8x]1a=8−8a\Big[-\tfrac{8}{x}\Big]_1^a=8-\tfrac{8}{a}

השטח כביטוי ב-aa

8−8a=6 ⇒ 8a=2 ⇒ a=4\begin{aligned}8-\tfrac{8}{a} &= 6 \ \Rightarrow \ \tfrac{8}{a} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

שימו לב: גם עם aa גדול מאוד השטח לא עובר את 88. לכן שטח 66 אפשרי, ושטח 1010 לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת