סדרה 3 — לקראת הבגרות · חשבון אינטגרלי · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פולינום עם קיצון ומשיק, פונקציה עם ריבוע במכנה, פרמטר שנמצא משטח, ושטח מתחת לגרף הנגזרת.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שמתחילים סעיף, חפשו מה כבר מצאתם שהוא צריך: נקודת חיתוך, משוואת משיק, ביטוי ב- $k$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . א. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

מקסימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: $($ 1 $,$ 4 $)$ ; מינימום: $($ 3 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(0) &= 9>0 \quad f'(2) \\ &= -3<0 \quad f'(4) \\ &= 9>0\end{aligned}

טבלת סימנים

\begin{aligned}f(1) &= 4 \qquad f(3) \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום $(1,\,4)$ , מינימום $(3,\,0)$

המינימום נמצא על ציר ה- $x$ : $f(x)=x(x-3)^2$ . זה ישמש בסעיף ג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . ב. דרך נקודת המקסימום של $f$ העבירו משיק לגרף. המשיק חותך את הגרף בנקודה נוספת. מצאו את שיעור ה- $x$ שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(1) &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 4\end{aligned}

משיק אופקי בנקודת המקסימום

\begin{aligned}x^3-6x^2+9x &= 4 \ \Rightarrow \ (x-1)^2(x-4) \\ &= 0\end{aligned}

$x=1$ פתרון כפול, כי שם המשיק נוגע

x=4

הנקודה הנוספת $(4,\,4)$

שיפוע המשיק בנקודת קיצון הוא $0$ , ולכן המשיק הוא $y=4$ . את $x=1$ כבר יודעים; לכן אפשר לחלק את הפולינום ב- $(x-1)^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ והמשיק מסעיף ב.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.75

הפתרון:

\begin{aligned}4-f(x) &= -(x-1)^2(x-4) \geq 0 \\ \quad 1 \leq x \leq 4\end{aligned}

המשיק מעל הגרף

\int_1^4 (4-x^3+6x^2-9x)\,dx=\Big[4x-\tfrac{x^4}{4}+2x^3-\tfrac{9x^2}{2}\Big]_1^4

העליון פחות התחתון

\begin{aligned}8-\tfrac{5}{4} &= \tfrac{27}{4} \\ &= 6.75\end{aligned}

השטח

הגבולות הם שתי נקודות החיתוך של הגרף והמשיק, $x=1$ ו- $x=4$ , שנמצאו בסעיף ב. אין להם קשר לחיתוך עם ציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . א. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה- $y$ .

שיפוע המשיק: ____ ; המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שיפוע המשיק: -2 ; המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $y=$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-16}{(x+2)^3} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע

y=-2x+2

משוואת המשיק

גזירה עם כלל השרשרת: $8(x+2)^{-2}$ נותן $-16(x+2)^{-3}$ . מי שקיבל $-8$ שכח להכפיל בחזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק מסעיף א והישר $x=2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^2 \frac{8}{(x+2)^2}\,dx &= \Big[-\tfrac{8}{x+2}\Big]_0^2 \\ &= -2+4 \\ &= 2\end{aligned}

מתחת לגרף

\begin{aligned}\int_0^2 (-2x+2)\,dx &= \Big[-x^2+2x\Big]_0^2 \\ &= 0\end{aligned}

מתחת למשיק (חלק מעל הציר וחלק מתחתיו)

\begin{aligned}S &= 2-0 \\ &= 2\end{aligned}

הגרף עליון: הפרש האינטגרלים

המשיק יורד מתחת לציר ה- $x$ אחרי $x=1$ , ובכל זאת לא מחלקים: שטח בין שני גרפים הוא הפרש, ולא משנה איפה הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , הצירים והישר $x=6$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\Big[-\tfrac{8}{x+2}\Big]_0^6=-1-(-4)

הגרף מעל הציר

S=3

השטח

הגבולות: ציר ה- $y$ נותן $x=0$ , הישר נותן $x=6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x)=-x^2+2kx$ , כאשר $k>0$ פרמטר. א. מהם שיעורי ה- $x$ של נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ ? הביעו באמצעות $k$ .

$x=\pm\sqrt{2k}$
$x=0$ ו- $x=2k$
$x=0$ ו- $x=k$
$x=0$ ו- $x=-2k$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x=0$ ו- $x=2k$

הפתרון:

\begin{aligned}-x^2+2kx &= -x(x-2k) \\ &= 0\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 2k\end{aligned}

שני פתרונות

הנכונה: $x=0$ ו- $x=2k$ . $x=k$ הוא שיעור הקדקוד, באמצע בין שני החיתוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה $f(x)=-x^2+2kx$ , כאשר $k>0$ פרמטר. ב. השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ הוא $36$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\int_0^{2k} (-x^2+2kx)\,dx=\Big[-\tfrac{x^3}{3}+kx^2\Big]_0^{2k}

בין החיתוכים מסעיף א

=-\tfrac{8k^3}{3}+4k^3=\tfrac{4k^3}{3}

השטח כביטוי ב- $k$

\begin{aligned}\tfrac{4k^3}{3} &= 36 \ \Rightarrow \ k^3 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

הגבול העליון הוא $2k$ , ולכן $x^3$ הופך ל- $8k^3$ . מי שהציב $k$ במקום $2k$ קיבל $\frac{2k^3}{3}=36$ , כלומר $k^3=54$ , ומספר שאינו שלם הוא סימן לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{3x+4}$ . א. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}>0

הגרף של $f'$ מעל הציר

\begin{aligned}S &= \int_0^4 f'(x)\,dx \\ &= f(4)-f(0)\end{aligned}

הקדומה של $f'$ היא $f$

\begin{aligned}\sqrt{16}-\sqrt{4} &= 4-2 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

לא צריך למצוא קדומה של $\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}$ : היא כבר נתונה, זו $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{3x+4}$ . ב. נתונה $g(x)=f'(x)+3$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

g(x)>0

הגרף של $g$ מעל הציר

\int_0^4 g(x)\,dx=\int_0^4 f'(x)\,dx+\int_0^4 3\,dx

מפרקים

=2+12=14

השטח מסעיף א, ועוד מלבן $4 \cdot 3$

ההזזה למעלה ב- $3$ מוסיפה $3$ כפול רוחב הקטע, $4$ . מי שעונה $5$ הוסיף רק $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev