סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שניים או שלושה שלבים: חלוקה כשהגרף חוצה את הציר, שטח בין שני גרפים, פרבולה ומשיק, שטח מתחת לנגזרת, ופרמטר בגבול האינטגרל.

לפני כל שטח: איפה החיתוכים ומי עליון. ואם יצא מספר שלילי, זה לא שטח. בדקו מה נשכח.

תרגילים

תרגיל 1

נתון f′(x)=2(x−2)2f'(x)=\frac{2}{(x-2)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (3, 1)(3,\,1). השלימו.

f(x)=−2x−2+f(x)=-\frac{2}{x-2}+ ____ ; f(4)=f(4)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(x)=−2x−2+f(x)=-\frac{2}{x-2}+ 3 ; f(4)=f(4)= 2

הפתרון:

f(x)=−2x−2+Cf(x)=-\frac{2}{x-2}+C

פונקציה קדומה

f(3)=−2+C=1 ⇒ C=3\begin{aligned}f(3) &= -2+C \\ &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(4)=−1+3=2\begin{aligned}f(4) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

המינוס בקדומה הוא מה שהופך את הנגזרת לחיובית. בלעדיו C=−1C=-1, ו-f(4)=0f(4)=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫−12(x2−2x+3) dx\int_{-1}^{2} (x^2-2x+3)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

F(x)=x33−x2+3xF(x)=\tfrac{x^3}{3}-x^2+3x

פונקציה קדומה

F(2)=83+2=143F(−1)=−13−1−3=−133\begin{aligned}F(2) &= \tfrac{8}{3}+2 \\ &= \tfrac{14}{3} \qquad F(-1) \\ &= -\tfrac{1}{3}-1-3 \\ &= -\tfrac{13}{3}\end{aligned}

מציבים

143+133=9\tfrac{14}{3}+\tfrac{13}{3}=9

ההפרש

שלושה מחוברים ב-F(−1)F(-1), וכולם שליליים. זה המקום שבו רוב הטעויות קורות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=x2−4xy=x^2-4x לבין ציר ה-xx, בתחום 0≤x≤50 \leq x \leq 5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

x2−4x=0 ⇒ x=0 x=4\begin{aligned}x^2-4x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוך בתוך התחום: x=4x=4

∫04(x2−4x) dx=643−32=−323\begin{aligned}\int_0^4 (x^2-4x)\,dx &= \tfrac{64}{3}-32 \\ &= -\tfrac{32}{3}\end{aligned}

מתחת לציר

∫45(x2−4x) dx=73\int_4^5 (x^2-4x)\,dx=\tfrac{7}{3}

מעל הציר

S=323+73=13\begin{aligned}S &= \tfrac{32}{3}+\tfrac{7}{3} \\ &= 13\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה מתקבל −253-\frac{25}{3}, ומי שלוקח ממנו ערך מוחלט מקבל 253\frac{25}{3}: גם זה שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו השטח המוגבל בין הגרף של y=x2−2xy=x^2-2x לבין הישר y=2xy=2x?

  1. 163\frac{16}{3}
  2. −323-\frac{32}{3}
  3. 323\frac{32}{3}
  4. 643\frac{64}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 323\frac{32}{3}

הפתרון:

x2−2x=2x ⇒ x=0 x=4\begin{aligned}x^2-2x &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוכים

∫04(4x−x2) dx=32−643=323\begin{aligned}\int_0^4 (4x-x^2)\,dx &= 32-\tfrac{64}{3} \\ &= \tfrac{32}{3}\end{aligned}

הישר עליון

הנכונה: 323\frac{32}{3}. −323-\frac{32}{3} היא התחתון פחות העליון; שטח אינו שלילי. 643\frac{64}{3} היא ∫04x2 dx\int_0^4 x^2\,dx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון ∫1k(2x−1) dx=6\int_1^k (2x-1)\,dx=6, כאשר k>1k>1. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

[x2−x]1k=k2−k−0\Big[x^2-x\Big]_1^k=k^2-k-0

האינטגרל כביטוי

k2−k−6=0 ⇒ k=3 k=−2\begin{aligned}k^2-k-6 &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3 \\ \ k &= -2\end{aligned}

פותרים

k=3k=3

לפי k>1k>1

בדיקה: 9−3−0=69-3-0=6 ✓. k=−2k=-2 נפסל לפי התנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=12(2x+1)2y=\frac{12}{(2x+1)^2}, הצירים והישר x=1x=1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

F(x)=−122(2x+1)=−62x+1\begin{aligned}F(x) &= -\frac{12}{2(2x+1)} \\ &= -\frac{6}{2x+1}\end{aligned}

פונקציה קדומה, a=2a=2

F(1)−F(0)=−2−(−6)=4\begin{aligned}F(1)-F(0) &= -2-(-6) \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

מי ששכח לחלק ב-a=2a=2 קיבל 88, כפול מהתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

רוצים לחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=3x2−3y=3x^2-3, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∫02(3x2−3) dx=[x3−3x]02\int_0^2 (3x^2-3)\,dx=\Big[x^3-3x\Big]_0^2
=8−6=2=8-6=2
S=2S=2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=2S=2 → S=∣∫01∣+∫12=2+4=6S=\left|\int_0^1\right|+\int_1^2=2+4=6

הפתרון:

3x2−3=0 ⇒ x=1\begin{aligned}3x^2-3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

הגרף חוצה את הציר בתוך הקטע

∫01(3x2−3) dx=−2∫12(3x2−3) dx=4\begin{aligned}\int_0^1 (3x^2-3)\,dx &= -2 \qquad \int_1^2 (3x^2-3)\,dx \\ &= 4\end{aligned}

כל חלק לחוד

שתי השורות הראשונות נכונות: האינטגרל באמת 22. השגיאה היא במסקנה S=2S=2: האינטגרל הוא לא השטח, כי הגרף חוצה את הציר ב-x=1x=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המשיק לגרף של y=x2y=x^2 בנקודה (3, 9)(3,\,9) הוא y=6x−9y=6x-9. חשבו את השטח המוגבל על ידי הפרבולה, המשיק וציר ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

x2−(6x−9)=(x−3)2≥0x^2-(6x-9)=(x-3)^2 \geq 0

הפרבולה מעל המשיק

∫03(x−3)2 dx=[(x−3)33]03=0−(−9)\begin{aligned}\int_0^3 (x-3)^2\,dx &= \Big[\tfrac{(x-3)^3}{3}\Big]_0^3 \\ &= 0-(-9)\end{aligned}

מציר ה-yy עד נקודת ההשקה

S=9S=9

השטח

החסם השלישי הוא ציר ה-yy, ולכן הגבולות 00 ו-33, בלי חלוקה. אילו היה ציר ה-xx, היה צריך לחלק בנקודה שבה המשיק חותך אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כדי לחשב את השטח בין הגרף לציר ה-xx בקטע הנתון, האם צריך לחלק את הקטע?

  • צריך לחלק
  • לא צריך לחלק
  • 4−x24-x^2 בקטע [−2, 2][-2,\,2]
  • x−3x-3 בקטע [0, 2][0,\,2]
  • x2−1x^2-1 בקטע [0, 2][0,\,2]
  • x2−4xx^2-4x בקטע [1, 5][1,\,5]
  • x2+1x^2+1 בקטע [−1, 1][-1,\,1]
  • x3x^3 בקטע [−1, 1][-1,\,1]
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2−1x^2-1 בקטע [0, 2][0,\,2] — צריך לחלק · x3x^3 בקטע [−1, 1][-1,\,1] — צריך לחלק · x2−4xx^2-4x בקטע [1, 5][1,\,5] — צריך לחלק · x2+1x^2+1 בקטע [−1, 1][-1,\,1] — לא צריך לחלק · x−3x-3 בקטע [0, 2][0,\,2] — לא צריך לחלק · 4−x24-x^2 בקטע [−2, 2][-2,\,2] — לא צריך לחלק

הפתרון:

x2−1=0 ⇒ x=1∈(0,2)\begin{aligned}x^2-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \in (0,2)\end{aligned}

חיתוך בפנים

x−3<0 בכל [0,2]x-3<0 \ \text{בכל} \ [0,2]

שלילי בכל הקטע: הופכים סימן, אבל לא מחלקים

4−x2=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}4-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

החיתוכים בקצוות, לא בפנים

מחלקים רק כשיש חיתוך עם הציר בתוך הקטע. חיתוך בקצה, כמו ב-4−x24-x^2, לא מחייב חלוקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=6x+1f(x)=\frac{6}{x+1}. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f′(x)=−6(x+1)2<0f'(x)=-\frac{6}{(x+1)^2}<0

הגרף של f′f' מתחת לציר

∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)=2−6=−4\begin{aligned}\int_0^2 f'(x)\,dx &= f(2)-f(0) \\ &= 2-6 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים ב-ff

S=4S=4

הערך הנגדי

אין צורך לגזור ולחפש קדומה: ff היא הקדומה של f′f'. ff יורדת, ולכן האינטגרל שלילי והשטח חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת