סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: פונקציה קדומה, c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}, אינטגרל מסוים, פונקציה לפי נגזרת ונקודה, ושטח פשוט. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

בכל קדומה: בדקו בגזירה. ובכל אינטגרל מסוים: FF של העליון פחות FF של התחתון, עם סוגריים.

תרגילים

תרגיל 1

מהו ∫(5x4+2) dx\int (5x^4+2)\,dx?

  1. x5+2x+Cx^5+2x+C
  2. 5x5+2x+C5x^5+2x+C
  3. x5+Cx^5+C
  4. 20x3+C20x^3+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x5+2x+Cx^5+2x+C

הפתרון:

∫5x4 dx=x5∫2 dx=2x\begin{aligned}\int 5x^4\,dx &= x^5 \qquad \int 2\,dx \\ &= 2x\end{aligned}

כל מחובר לחוד

(x5+2x)′=5x4+2(x^5+2x)'=5x^4+2

בדיקה ✓

הנכונה: x5+2x+Cx^5+2x+C. 20x320x^3 היא נגזרת. x5+Cx^5+C שוכחת את הקבוע 22, שהקדומה שלו 2x2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫023x2 dx\int_0^2 3x^2\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

[x3]02=8−0\Big[x^3\Big]_0^2=8-0

פונקציה קדומה

=8=8

התוצאה

מי שהציב ב-3x23x^2 קיבל 1212: מציבים בקדומה, לא בפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו ∫2(x+3)2 dx\int \frac{2}{(x+3)^2}\,dx?

  1. −1x+3+C-\frac{1}{x+3}+C
  2. 2x+3+C\frac{2}{x+3}+C
  3. −2x+3+C-\frac{2}{x+3}+C
  4. −23(x+3)3+C-\frac{2}{3(x+3)^3}+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −2x+3+C-\frac{2}{x+3}+C

הפתרון:

−ca(ax+b)=−21⋅(x+3)-\frac{c}{a(ax+b)}=-\frac{2}{1 \cdot (x+3)}

c=2, a=1c=2,\ a=1

(−2x+3)′=2(x+3)2\left(-\frac{2}{x+3}\right)'=\frac{2}{(x+3)^2}

בדיקה ✓

הנכונה: −2x+3+C-\frac{2}{x+3}+C. כאן a=1a=1, ולכן אין במה לחלק. −1x+3-\frac{1}{x+3} מחלקת ב-22 בלי סיבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון f′(x)=4xf'(x)=4x ו-f(1)=5f(1)=5. חשבו את f(3)f(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

f(x)=2x2+Cf(x)=2x^2+C

פונקציה קדומה

2+C=5 ⇒ C=3\begin{aligned}2+C &= 5 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(3)=18+3=21\begin{aligned}f(3) &= 18+3 \\ &= 21\end{aligned}

מציבים

מי שעונה 1818 שכח את CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את ∫13(2x+1) dx\int_1^3 (2x+1)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

[x2+x]13=12−2\Big[x^2+x\Big]_1^3=12-2

עליון פחות תחתון

=10=10

התוצאה

בדיקה בגאומטריה: מתחת לישר יש טרפז, עם צלעות מקבילות 33 ו-77 ורוחב 22: (3+7)⋅22=10\frac{(3+7) \cdot 2}{2}=10 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: ∫20x dx=2\int_2^0 x\,dx=2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

[x22]20=0−2=−2\begin{aligned}\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_2^0 &= 0-2 \\ &= -2\end{aligned}

הגבול העליון כאן הוא 00

הטענה לא נכונה. התוצאה −2-2: החלפת גבולות הופכת את הסימן, גם כשהפונקציה חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=12−3x2y=12-3x^2 וציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

12−3x2=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}12-3x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חיתוכים

[12x−x3]−22=16−(−16)=32\begin{aligned}\Big[12x-x^3\Big]_{-2}^{2} &= 16-(-16) \\ &= 32\end{aligned}

הגרף מעל הציר

F(−2)=−24+8=−16F(-2)=-24+8=-16. מי שכתב F(−2)=16F(-2)=16 קיבל 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את ∫126x2 dx\int_1^2 \frac{6}{x^2}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

[−6x]12=−3−(−6)\Big[-\tfrac{6}{x}\Big]_1^2=-3-(-6)

פונקציה קדומה

=3=3

התוצאה

מי שכתב את הקדומה 6x\frac{6}{x} קיבל −3-3: פונקציה חיובית לא נותנת אינטגרל שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל אינטגרל את הערך שלו.

  • ∫012x dx\int_0^1 2x\,dx
  • ∫031 dx\int_0^3 1\,dx
  • ∫−11x dx\int_{-1}^{1} x\,dx
  • ∫02x3 dx\int_0^2 x^3\,dx
  • 00
  • 11
  • 33
  • 44
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∫012x dx\int_0^1 2x\,dx — 11 · ∫031 dx\int_0^3 1\,dx — 33 · ∫−11x dx\int_{-1}^{1} x\,dx — 00 · ∫02x3 dx\int_0^2 x^3\,dx — 44

הפתרון:

[x2]01=1[x]03=3\begin{aligned}\Big[x^2\Big]_0^1 &= 1 \qquad \Big[x\Big]_0^3 \\ &= 3\end{aligned}

שניים ראשונים

[x22]−11=0[x44]02=4\begin{aligned}\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_{-1}^{1} &= 0 \qquad \Big[\tfrac{x^4}{4}\Big]_0^2 \\ &= 4\end{aligned}

שניים אחרונים

∫−11x dx=0\int_{-1}^{1} x\,dx=0 אף שיש שטח: חלק מעל הציר וחלק מתחתיו מבטלים זה את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=x2y=x^2 לבין הישר y=3xy=3x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.5

הפתרון:

x2=3x ⇒ x=0 x=3\begin{aligned}x^2 &= 3x \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוכים

∫03(3x−x2) dx=272−9=4.5\begin{aligned}\int_0^3 (3x-x^2)\,dx &= \tfrac{27}{2}-9 \\ &= 4.5\end{aligned}

הישר עליון

העליון פחות התחתון. x=1x=1: 3>13>1, ולכן הישר עליון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת