פותרים יחד

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ארבע שאלות בסגנון שאלות החדו״א בבגרות: פונקציה לפי הנגזרת ושטח, שטח בין שני גרפים, פרמטר עם שטח מתחת לנגזרת, ופרמטר שנמצא מתוך שטח. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלת שטח, לפני כל חישוב: איפה החיתוכים, ומי עליון. שני הדברים האלה קובעים את הגבולות ואת הסימן.

1 — הפונקציה לפי הנגזרת, ואחר כך שטח

למה אין צורך לחלק את הקטע [0, 2][0,\,2] בסעיף ג?

להציג את התשובה והפתרון

כי f(x)=(x+1)(x−2)2≥0f(x)=(x+1)(x-2)^2 \geq 0 בקטע: הגרף נוגע בציר ב-x=2x=2 ולא חוצה אותו. אין חלק מתחת לציר.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שטח בין פרבולה לישר

האם בשאלה הזו השטח מתחת לגרף של gg, בין x=1x=1 ל-x=4x=4, גדול מ-4.54.5?

להציג את התשובה והפתרון

כן. שטח הטרפז שמתחת לישר הוא (2+5)⋅32=10.5\frac{(2+5) \cdot 3}{2}=10.5, והשטח בין הגרפים הוא חלק ממנו: 10.510.5 פחות השטח שמתחת לפרבולה, 66.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 5 ברשימה למטה.

3 — פרמטר, ושטח מתחת לגרף הנגזרת

בסעיף ב, מה היה משתנה אם ff הייתה עולה בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

אז f′>0f'>0, הגרף של f′f' מעל הציר, והשטח היה פשוט f(4)−f(3)f(4)-f(3), בלי היפוך סימן. הסימן של f′f' הוא הכיוון של ff.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — למצוא פרמטר מתוך שטח

אם השטח היה 4.54.5 במקום 3636, מה היה kk?

להציג את התשובה והפתרון

k36=4.5\frac{k^3}{6}=4.5, ולכן k3=27k^3=27 ו-k=3k=3.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נגזרת הפונקציה ff היא f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5). השלימו.

f(x)=x3−12x+f(x)=x^3-12x+ ____ ; נקודת המינימום: x=x= ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה-xx וציר ה-yy ברביע הראשון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(x)=x3−12x+f(x)=x^3-12x+ 16 ; נקודת המינימום: x=x= 2 ; השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה-xx וציר ה-yy ברביע הראשון: 12

הפתרון:

f(x)=x3−12x+Cf(1)=−11+C=5 ⇒ C=16\begin{aligned}f(x) &= x^3-12x+C \\ \quad f(1) &= -11+C \\ &= 5 \ \Rightarrow \ C \\ &= 16\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=3(x−2)(x+2) ⇒ min⁡(2, 0)f'(x)=3(x-2)(x+2) \ \Rightarrow \ \min (2,\,0)

מ-−- ל-++ ב-x=2x=2

∫02(x3−12x+16) dx=4−24+32=12\begin{aligned}\int_0^2 (x^3-12x+16)\,dx &= 4-24+32 \\ &= 12\end{aligned}

השטח, מ-00 עד נקודת המגע x=2x=2

שוב המינימום יושב על ציר ה-xx וקובע את הגבול. מי שחישב עד x=4x=4 או עד x=−4x=-4 לא בדק איפה הגרף פוגש את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות f(x)=2x2−4x+1f(x)=2x^2-4x+1 ו-g(x)=2x+1g(x)=2x+1. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

2x2−4x+1=2x+1 ⇒ 2x(x−3)=0\begin{aligned}2x^2-4x+1 &= 2x+1 \ \Rightarrow \ 2x(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

חיתוכים: x=0, x=3x=0 ,\ x=3

g(1)=3>f(1)=−1\begin{aligned}g(1) &= 3>f(1) \\ &= -1\end{aligned}

הישר עליון

∫03(6x−2x2) dx=27−18=9\begin{aligned}\int_0^3 (6x-2x^2)\,dx &= 27-18 \\ &= 9\end{aligned}

השטח

שני הגרפים חותכים את ציר ה-yy באותה נקודה, (0, 1)(0,\,1): היא אחת מנקודות החיתוך. מי שחיפש חיתוך עם ציר ה-xx סטה מהשאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=a(x+1)2f(x)=\frac{a}{(x+1)^2}. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא −3-3. השלימו.

a=a= ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3: ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx ואותם ישרים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= 12 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3: 2.25 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx ואותם ישרים: 3

הפתרון:

f′(x)=−2a(x+1)3 ⇒ f′(1)=−a4=−3 ⇒ a=12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2a}{(x+1)^3} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -\frac{a}{4} \\ &= -3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

הפרמטר

∫13f′ dx=f(3)−f(1)=34−3=−2.25\begin{aligned}\int_1^3 f'\,dx &= f(3)-f(1) \\ &= \tfrac{3}{4}-3 \\ &= -2.25\end{aligned}

f′<0f'<0: השטח 2.252.25

∫1312(x+1)2 dx=[−12x+1]13=−3+6=3\begin{aligned}\int_1^3 \frac{12}{(x+1)^2}\,dx &= \Big[-\tfrac{12}{x+1}\Big]_1^3 \\ &= -3+6 \\ &= 3\end{aligned}

השטח מתחת ל-ff

אותם גבולות, שתי פונקציות שונות. מתחת ל-f′f' מציבים ב-ff; מתחת ל-ff מחפשים קדומה של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=x2−kxf(x)=x^2-kx, כאשר k>0k>0. השטח המוגבל על ידי הגרף של ff וציר ה-xx הוא 4.54.5. השלימו.

k=k= ____ ; הערך המינימלי של ff: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k=k= 3 ; הערך המינימלי של ff: -2.25

הפתרון:

x(x−k)=0 ⇒ x=0 x=k\begin{aligned}x(x-k) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= k\end{aligned}

חיתוכים

∫0k(x2−kx) dx=−k36 ⇒ S=k36\begin{aligned}\int_0^k (x^2-kx)\,dx &= -\tfrac{k^3}{6} \ \Rightarrow \ S \\ &= \tfrac{k^3}{6}\end{aligned}

הגרף מתחת לציר

k36=4.5 ⇒ k=3\begin{aligned}\tfrac{k^3}{6} &= 4.5 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

הפרמטר

f(1.5)=2.25−4.5=−2.25\begin{aligned}f(1.5) &= 2.25-4.5 \\ &= -2.25\end{aligned}

המינימום באמצע, ב-x=1.5x=1.5

כאן הפרבולה מתחת לציר, והאינטגרל שלילי. מי שהשווה את −k36-\frac{k^3}{6} ל-4.54.5 לא מצא פתרון חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=x3y=x^3 לבין הישר y=xy=x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

x3=x ⇒ x(x−1)(x+1)=0\begin{aligned}x^3 &= x \ \Rightarrow \ x(x-1)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

שלוש נקודות חיתוך: −1, 0, 1-1,\ 0,\ 1

−1<x<0: x3>x0<x<1: x>x3-1<x<0: \ x^3>x \qquad 0<x<1: \ x>x^3

העליון מתחלף ב-x=0x=0

∫−10(x3−x) dx=14∫01(x−x3) dx=14\begin{aligned}\int_{-1}^{0} (x^3-x)\,dx &= \tfrac{1}{4} \qquad \int_0^1 (x-x^3)\,dx \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

כל חלק לחוד

S=14+14=0.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

מחברים

שלוש נקודות חיתוך הן שני שטחים. ∫−11(x−x3) dx=0\int_{-1}^{1} (x-x^3)\,dx=0: בלי חלוקה, שני החלקים מבטלים זה את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת