שטחים מורכבים, נגזרת ופרמטר · חשבון אינטגרלי · כיתה י״א

בבגרות השטח לא תמיד חסום בשני קווים בלבד. הנה שטח שחסום בשלושה: פרבולה, משיק וציר ה- $x$ .

פרבולה, משיק וציר ה-

x

המשיק לגרף של

y=x^2

בנקודה

A(2,\,4)

חותך את ציר ה-

x

ב-

x=1

. משמאל ל-

1

השטח חסום מלמטה בציר, ומימין ל-

1

במשיק.

מה חוסם את השטח מלמטה בין $x=0$ ל- $x=1$ , ומה בין $x=1$ ל- $x=2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

בין $0$ ל- $1$ : ציר ה- $x$ . בין $1$ ל- $2$ : המשיק $y=4x-4$ . הקו התחתון מתחלף ב- $x=1$ , ולכן שם מחלקים את השטח.

לחלק או לחסר

S=S_1+S_2

מחלקים בנקודה שבה קו חוסם מתחלף, ובכל חלק: העליון פחות התחתון

S=\int_a^b f(x)\,dx-S_{\triangle}

שטח פשוט גדול, פחות חלק שמחשבים בגאומטריה (למשל משולש ישר זווית)

פרבולה, משיק וציר

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=x^2$ , המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ , וציר ה- $x$ .

\begin{aligned}y' &= 2x \ \Rightarrow \ m \\ &= 4 \\ \quad y-4 &= 4(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 4x-4\end{aligned}

משוואת המשיק

\begin{aligned}4x-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

המשיק חותך את ציר ה- $x$

\begin{aligned}S_1 &= \int_0^1 x^2\,dx \\ &= \tfrac{1}{3}\end{aligned}

בין הפרבולה לציר

\begin{aligned}S_2 &= \int_1^2 (x^2-4x+4)\,dx \\ &= \Big[\tfrac{(x-2)^3}{3}\Big]_1^2 \\ &= \tfrac{1}{3}\end{aligned}

בין הפרבולה למשיק

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3} \\ &= \tfrac{2}{3}\end{aligned}

מחברים

חשבו את אותו שטח בדרך השנייה: השטח שמתחת לפרבולה בין $0$ ל- $2$ , פחות משולש.

להציג את התשובה והפתרון

$\int_0^2 x^2\,dx=\frac{8}{3}$ . המשולש שמתחת למשיק: הצלע על הציר מ- $1$ עד $2$ , באורך $1$ , והגובה $4$ . שטחו $\frac{1 \cdot 4}{2}=2$ . $\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}$ ✓

השטח מתחת לגרף הנגזרת

\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$ . לכן כשהשאלה נותנת את $f$ ושואלת על שטח מתחת לגרף של $f'$ , לא צריך לגזור ולא לחפש קדומה: מציבים ב- $f$ . אם $f'<0$ בקטע, השטח הוא $f(a)-f(b)$ .

שטח מתחת לנגזרת של שורש

נתונה $f(x)=\sqrt{4x+1}$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=2$ .

f'(x)=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}>0

הנגזרת חיובית: הגרף מעל הציר

\begin{aligned}S &= \int_0^2 f'(x)\,dx \\ &= f(2)-f(0)\end{aligned}

הקדומה של $f'$ היא $f$

=\sqrt{9}-\sqrt{1}=2

מציבים

נתונה $g(x)=f'(x)+3$ , עם אותה $f$ . מהו השטח מתחת לגרף של $g$ באותו קטע?

להציג את התשובה והפתרון

ההזזה ב- $3$ למעלה מוסיפה מלבן ברוחב $2$ ובגובה $3$ : $S=2+3 \cdot 2=8$ .

פרמטר בשטח

הפרבולה והישרים y = kx

הישר

y=kx

חותך את הפרבולה

y=x^2

ב-

x=0

וב-

x=k

. ככל ש-

k

גדל, השטח ביניהם גדל, ולכן ערך אחד של

k

נותן שטח נתון.

כשהשטח נתון והפונקציה תלויה בפרמטר, מחשבים את השטח כביטוי בפרמטר, משווים לנתון, ופותרים. בסוף בודקים שהפתרון מתאים לתנאי של השאלה.

למצוא את $k$

נתון $k>0$ . השטח המוגבל בין $y=x^2$ לבין $y=kx$ הוא $36$ . מצאו את $k$ .

\begin{aligned}x^2 &= kx \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= k\end{aligned}

חיתוכים, כביטוי ב- $k$

\begin{aligned}\int_0^k (kx-x^2)\,dx &= \tfrac{k^3}{2}-\tfrac{k^3}{3} \\ &= \tfrac{k^3}{6}\end{aligned}

הישר עליון בקטע

\begin{aligned}\tfrac{k^3}{6} &= 36 \ \Rightarrow \ k^3 \\ &= 216 \ \Rightarrow \ k \\ &= 6\end{aligned}

משווים לנתון

טעויות בשטחים מורכבים.

\begin{aligned}S &= \int_0^2 (x^2-4x+4)\,dx \\ &= \tfrac{8}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \int_0^1 x^2\,dx+\int_1^2 (x^2-4x+4)\,dx \\ &= \tfrac{2}{3}\end{aligned}

הביטוי השמאלי סופר גם את המשולש שבין המשיק לציר, מתחת לציר ה- $x$ . הוא נכון רק לשטח שחסום בציר ה- $y$ במקום בציר ה- $x$ .

\int_0^2 f'(x)\,dx=f'(2)-f'(0)

\int_0^2 f'(x)\,dx=f(2)-f(0)

מציבים בפונקציה הקדומה של $f'$ , כלומר ב- $f$ .

\begin{aligned}k^2 &= 16 \ \Rightarrow \ k \\ &= \pm 4\end{aligned}

k>0 \ \Rightarrow \ k=4

פתרון שלא מקיים את תנאי השאלה נפסל, וצריך לכתוב למה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=3x^2$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ , ואת נקודת החיתוך שלו עם ציר ה- $x$ .

שיפוע המשיק: ____ ; המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $y=$ ____ ; ואת ציר ה- $x$ ב- $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שיפוע המשיק: 12 ; המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $y=$ -12 ; ואת ציר ה- $x$ ב- $x=$ 1

הפתרון:

\begin{aligned}f(2) &= 12 \\ \quad f'(x) &= 6x \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

\begin{aligned}y-12 &= 12(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 12x-12\end{aligned}

משוואת המשיק

\begin{aligned}12x-12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם הציר

השיפוע הוא $f'(2)$ והנקודה היא $f(2)$ . כאן שניהם $12$ , ולכן קל להתבלבל. אל תבלבלו ביניהם בשאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשך: חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f(x)=3x^2$ , המשיק $y=12x-12$ וציר ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\int_0^2 3x^2\,dx=8

השטח מתחת לפרבולה

\tfrac{1 \cdot 12}{2}=6

המשולש שמתחת למשיק, מ- $x=1$ עד $x=2$

\begin{aligned}S &= 8-6 \\ &= 2\end{aligned}

מחסרים

הדרך בחיסור קצרה כאן, כי החלק שמתחת למשיק הוא משולש ישר זווית. מי שחיסר את $\int_0^2 (12x-12)\,dx=0$ קיבל $8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=3x^2$ , הישר $y=4-x$ וציר ה- $x$ (ברביע הראשון).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.5

הפתרון:

\begin{aligned}3x^2 &= 4-x \ \Rightarrow \ 3x^2+x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך ברביע הראשון ( $x=-\tfrac{4}{3}$ נפסל)

\int_0^1 3x^2\,dx=1

מתחת לפרבולה

\tfrac{(4-1) \cdot 3}{2}=4.5

מתחת לישר, מ- $x=1$ עד $x=4$

\begin{aligned}S &= 1+4.5 \\ &= 5.5\end{aligned}

מחברים

הקו העליון מתחלף ב- $x=1$ : קודם הפרבולה, אחר כך הישר. מי שחישב $\int_0^4 3x^2\,dx$ לקח את הפרבולה עד הסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשיק לגרף של $y=x^2$ בנקודה $(4,\,16)$ הוא $y=8x-16$ . איזה ביטוי שווה לשטח המוגבל על ידי הפרבולה, המשיק וציר ה- $x$ ?

$\int_0^4 (x^2-8x+16)\,dx$
$\int_2^4 (x^2-8x+16)\,dx$
$\int_0^2 x^2\,dx+\int_2^4 (x^2-8x+16)\,dx$
$\int_0^4 x^2\,dx-\int_0^4 (8x-16)\,dx$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\int_0^2 x^2\,dx+\int_2^4 (x^2-8x+16)\,dx$

הפתרון:

\begin{aligned}8x-16 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

המשיק חותך את הציר

0<x<2: \ \text{ציר} \qquad 2<x<4: \ \text{משיק}

הקו התחתון מתחלף

הנכונה: $\int_0^2 x^2\,dx+\int_2^4 (x^2-8x+16)\,dx=\frac{16}{3}$ . הביטוי הראשון שייך לשטח שחסום בציר ה- $y$ . האחרון שוכח את החלק שבין $0$ ל- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=kx^2$ , כאשר $k>0$ . השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=3$ הוא $18$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^3 kx^2\,dx &= \Big[\tfrac{kx^3}{3}\Big]_0^3 \\ &= 9k\end{aligned}

השטח כביטוי ב- $k$

\begin{aligned}9k &= 18 \ \Rightarrow \ k \\ &= 2\end{aligned}

משווים

$k$ הוא קבוע, והוא יוצא מהאינטגרל. בדיקה: $\int_0^3 2x^2\,dx=18$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון $k>0$ . השטח המוגבל בין הגרף של $y=x^2$ לבין הישר $y=kx$ הוא $4.5$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 &= kx \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= k\end{aligned}

חיתוכים

\int_0^k (kx-x^2)\,dx=\tfrac{k^3}{6}

השטח

\begin{aligned}\tfrac{k^3}{6} &= 4.5 \ \Rightarrow \ k^3 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

הגבול העליון של האינטגרל הוא $k$ עצמו. מי שהציב גבול מספרי לפני שמצא את החיתוכים נתקע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הישר $y=4x$ , הגרף של $y=\frac{4}{x^2}$ , ציר ה- $x$ והישר $x=2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}4x &= \frac{4}{x^2} \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך

\tfrac{1 \cdot 4}{2}=2

מתחת לישר, מ- $0$ עד $1$

\begin{aligned}\int_1^2 \frac{4}{x^2}\,dx &= \Big[-\tfrac{4}{x}\Big]_1^2 \\ &= -2+4 \\ &= 2\end{aligned}

מתחת לגרף השני

\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

מחברים

הקו העליון מתחלף ב- $x=1$ . $\int_0^2 \frac{4}{x^2}\,dx$ לא קיים בכלל: הפונקציה לא מוגדרת ב- $x=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x)=\frac{k}{(x+1)^2}$ , כאשר $k>0$ . השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x=2$ הוא $4$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}\Big[-\tfrac{k}{x+1}\Big]_0^2 &= -\tfrac{k}{3}+k \\ &= \tfrac{2k}{3}\end{aligned}

השטח כביטוי ב- $k$

\begin{aligned}\tfrac{2k}{3} &= 4 \ \Rightarrow \ k \\ &= 6\end{aligned}

משווים

בדיקה: $\int_0^2 \frac{6}{(x+1)^2}\,dx=-2+6=4$ ✓. מי שקיבל $k=-6$ טעה בסימן של הקדומה, ו- $k>0$ פוסל אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=\frac{6}{x+2}$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=1$ ו- $x=4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f'(x)=-\frac{6}{(x+2)^2}<0

הגרף של $f'$ מתחת לציר

\begin{aligned}\int_1^4 f'(x)\,dx &= f(4)-f(1) \\ &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

הקדומה של $f'$ היא $f$

S=1

שטח: הערך הנגדי

אין צורך לגזור בכלל: מציבים ב- $f$ . מי שעונה $-1$ שכח שהגרף של $f'$ מתחת לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=\sqrt{2x+1}$ , ו- $g(x)=f'(x)+2$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}>0 \ \Rightarrow \ g(x)>0

הגרף של $g$ מעל הציר

\begin{aligned}\int_0^4 f'(x)\,dx &= f(4)-f(0) \\ &= 3-1 \\ &= 2\end{aligned}

החלק של $f'$

\int_0^4 2\,dx=8

מלבן ברוחב $4$ ובגובה $2$

\begin{aligned}S &= 2+8 \\ &= 10\end{aligned}

מחברים

ההזזה $+2$ מוסיפה $2$ כפול רוחב הקטע, לא $2$ . מי שעונה $4$ שכח את הרוחב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לחלק או לחסר

השטח מתחת לגרף הנגזרת

פרמטר בשטח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev