שטח בין גרף לציר ובין שני גרפים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ביחידה הקודמת יצא ∫03(x2−2x) dx=0\int_0^3 (x^2-2x)\,dx=0. אבל תסתכלו על הגרף: יש שם שטח.

y=x2−2xy=x^2-2x בין x=0x=0 ל-x=3x=3
xyS₁S₂230
החלק S1S_1 מתחת לציר, והחלק S2S_2 מעליו. שני החלקים שווים בגודלם, ולכן ∫03(x2−2x) dx=0\int_0^3 (x^2-2x)\,dx=0. אבל השטח האפור אינו אפס.

למה האינטגרל יוצא 00, אף שהשטח האפור אינו ריק?

להציג את התשובה והפתרון

באינטגרל, חלק שמתחת לציר נספר עם מינוס: ∫02=−43\int_0^2=-\frac{4}{3} ו-∫23=+43\int_2^3=+\frac{4}{3}. הם מבטלים זה את זה. השטח הוא 43+43=83\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.

שטח בין גרף לציר ה-xx

f≥0: S=∫abf(x) dxf≤0: S=−∫abf(x) dx\begin{aligned}f \geq 0: \ S &= \int_a^b f(x)\,dx \qquad f \leq 0: \ S \\ &= -\int_a^b f(x)\,dx\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי. כשהגרף חוצה את הציר בתוך הקטע, מחלקים את הקטע בנקודות החיתוך, מחשבים כל חלק לחוד, והופכים את הסימן של כל חלק שמתחת לציר.

11

מוצאים את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx

22

מחלקים את הקטע לחלקים לפי הנקודות

33

מחשבים אינטגרל לכל חלק; לחלק שלילי לוקחים את הערך הנגדי

44

מחברים את השטחים

השטח מהגרף

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2−2xy=x^2-2x, ציר ה-xx והישר x=3x=3.

x2−2x=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}x^2-2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים עם הציר

∫02(x2−2x) dx=[x33−x2]02=−43\begin{aligned}\int_0^2 (x^2-2x)\,dx &= \Big[\tfrac{x^3}{3}-x^2\Big]_0^2 \\ &= -\tfrac{4}{3}\end{aligned}

החלק שמתחת לציר

∫23(x2−2x) dx=0−(−43)=43\begin{aligned}\int_2^3 (x^2-2x)\,dx &= 0-\left(-\tfrac{4}{3}\right) \\ &= \tfrac{4}{3}\end{aligned}

החלק שמעל הציר

S=43+43=83\begin{aligned}S &= \tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3} \\ &= \tfrac{8}{3}\end{aligned}

מחברים ערכים חיוביים

מהו השטח המוגבל על ידי הגרף של y=4x−x2y=4x-x^2 וציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

החיתוכים: x=0x=0 ו-x=4x=4, והגרף מעל הציר ביניהם. [2x2−x33]04=32−643=323\Big[2x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}.

שטח בין שני גרפים

שטח בין פרבולה לישר
xyy = x + 2y = x²−12
בכל xx בין −1-1 ל-22, הגובה של הרצועה הוא הישר פחות הפרבולה.
S=∫ab(f(x)−g(x)) dxf(x)≥g(x) בקטעS=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx \qquad f(x) \geq g(x) \ \text{בקטע}

העליון פחות התחתון. הגבולות aa ו-bb הם שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של שני הגרפים, לא של החיתוך עם הציר. זה נכון גם כשחלק מהשטח מתחת לציר ה-xx: ההפרש f−gf-g לא מושפע מהמיקום.

פרבולה וישר

חשבו את השטח המוגבל בין y=x2y=x^2 לבין y=x+2y=x+2.

x2=x+2 ⇒ x2−x−2=0 ⇒ x=−1 x=2\begin{aligned}x^2 &= x+2 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות החיתוך

x=0: 0+2=2>0\begin{aligned}x &= 0: \ 0+2 \\ &= 2>0\end{aligned}

נקודת בדיקה: הישר מעל

∫−12(x+2−x2) dx=[x22+2x−x33]−12\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}

העליון פחות התחתון

=103−(−76)=92=\tfrac{10}{3}-\left(-\tfrac{7}{6}\right)=\tfrac{9}{2}

השטח: 4.54.5

איזה גרף עליון? מציבים נקודה אחת מתוך הקטע בשתי הפונקציות. הגבוהה יותר היא העליונה, בכל הקטע שבין שני חיתוכים סמוכים.

שלוש דרכים לקבל שטח שגוי.

S=∫03(x2−2x) dx=0\begin{aligned}S &= \int_0^3 (x^2-2x)\,dx \\ &= 0\end{aligned}
S=∣∫02∣+∫23=83\begin{aligned}S &= \left|\int_0^2\right|+\int_2^3 \\ &= \tfrac{8}{3}\end{aligned}

לא חילקו בנקודת החיתוך x=2x=2, והחלקים ביטלו זה את זה.

∫−12(x2−x−2) dx=−92\int_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx=-\tfrac{9}{2}
∫−12(x+2−x2) dx=92\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx=\tfrac{9}{2}

התחתון פחות העליון נותן מספר שלילי. שטח שלילי הוא סימן לסדר הפוך.

∫02(x+2−x2) dx\int_{0}^{2} (x+2-x^2)\,dx
∫−12(x+2−x2) dx\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx

הגבולות באים מהחיתוך בין הגרפים, לא מציר ה-yy.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=9−x2y=9-x^2 וציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

9−x2=0 ⇒ x=±3\begin{aligned}9-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חיתוכים

[9x−x33]−33=18−(−18)\Big[9x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-3}^{3}=18-(-18)

הגרף מעל הציר

S=36S=36

השטח

אפשר גם בסימטריה: 2⋅∫03(9−x2) dx=2⋅182 \cdot \int_0^3 (9-x^2)\,dx=2 \cdot 18. מי שקיבל 1818 לקח רק חצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=3x2−6xy=3x^2-6x וציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}3x(x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

[x3−3x2]02=8−12=−4\begin{aligned}\Big[x^3-3x^2\Big]_0^2 &= 8-12 \\ &= -4\end{aligned}

הגרף מתחת לציר

S=4S=4

לוקחים את הערך הנגדי

אינטגרל −4-4 הוא לא התשובה: שטח תמיד חיובי. בין השורשים, פרבולה «מחייכת» נמצאת מתחת לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

xy12

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2−1y=x^2-1, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−1=0 ⇒ x=1\begin{aligned}x^2-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך בתוך הקטע

∫01(x2−1) dx=13−1=−23\begin{aligned}\int_0^1 (x^2-1)\,dx &= \tfrac{1}{3}-1 \\ &= -\tfrac{2}{3}\end{aligned}

מתחת לציר

∫12(x2−1) dx=23−(−23)=43\begin{aligned}\int_1^2 (x^2-1)\,dx &= \tfrac{2}{3}-\left(-\tfrac{2}{3}\right) \\ &= \tfrac{4}{3}\end{aligned}

מעל הציר

S=23+43=2\begin{aligned}S &= \tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3} \\ &= 2\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה: ∫02(x2−1) dx=23\int_0^2 (x^2-1)\,dx=\frac{2}{3}, תשובה שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=x2−4f(x)=x^2-4. איזה ביטוי שווה לשטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=3x=3?

  1. −∫02f(x) dx+∫23f(x) dx-\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx
  2. ∫02f(x) dx+∫23f(x) dx\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx
  3. ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x)\,dx
  4. −∫03f(x) dx-\int_0^3 f(x)\,dx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −∫02f(x) dx+∫23f(x) dx-\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx

הפתרון:

x2−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

חיתוך בתוך [0,3][0,3]

0<x<2: f<02<x<3: f>00<x<2: \ f<0 \qquad 2<x<3: \ f>0

הסימנים

הנכונה: −∫02f dx+∫23f dx-\int_0^2 f\,dx+\int_2^3 f\,dx. האפשרות האחרונה שווה בדיוק ל-∫03f dx\int_0^3 f\,dx: חלוקה בלי שינוי סימן לא משנה כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=2x2y=2x^2 לבין הישר y=2x+4y=2x+4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

2x2=2x+4 ⇒ x2−x−2=0 ⇒ x=−1 x=2\begin{aligned}2x^2 &= 2x+4 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

x=0: 4>0x=0: \ 4>0

הישר עליון

∫−12(2x+4−2x2) dx=[x2+4x−2x33]−12\int_{-1}^{2} (2x+4-2x^2)\,dx=\Big[x^2+4x-\tfrac{2x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}

העליון פחות התחתון

=203−(−73)=9=\tfrac{20}{3}-\left(-\tfrac{7}{3}\right)=9

השטח

מי שקיבל −9-9 חיסר את הישר מהפרבולה. הגבולות הם החיתוכים של שני הגרפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: השטח בין y=x2y=x^2 לבין y=x3y=x^3 בקטע 0≤x≤10 \leq x \leq 1 שווה ל-∫01(x3−x2) dx\int_0^1 (x^3-x^2)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x=12: 14>18x=\tfrac{1}{2}: \ \tfrac{1}{4}>\tfrac{1}{8}

בקטע x2≥x3x^2 \geq x^3

∫01(x3−x2) dx=14−13=−112\begin{aligned}\int_0^1 (x^3-x^2)\,dx &= \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{3} \\ &= -\tfrac{1}{12}\end{aligned}

הביטוי שלילי

הטענה לא נכונה. בין 00 ל-11 דווקא x2x^2 עליון, כי חזקה גבוהה של מספר קטן מ-11 קטנה יותר. השטח 112\frac{1}{12}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונים f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x ו-g(x)=xg(x)=x. השלימו.

שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך: ____ ו- ____ ; השטח המוגבל בין הגרפים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך: 0 ו- 3 ; השטח המוגבל בין הגרפים: 4.5

הפתרון:

x2−2x=x ⇒ x2−3x=0 ⇒ x=0 x=3\begin{aligned}x^2-2x &= x \ \Rightarrow \ x^2-3x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוכים

x=1: g=1>f=−1\begin{aligned}x &= 1: \ g \\ &= 1>f \\ &= -1\end{aligned}

הישר עליון

∫03(3x−x2) dx=272−9=4.5\begin{aligned}\int_0^3 (3x-x^2)\,dx &= \tfrac{27}{2}-9 \\ &= 4.5\end{aligned}

השטח

חלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה-xx, ובכל זאת אין צורך לחלק: ההפרש g−fg-f חיובי בכל הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=4x2y=\frac{4}{x^2}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

[−4x]14=−1−(−4)\Big[-\tfrac{4}{x}\Big]_1^4=-1-(-4)

הגרף מעל הציר

S=3S=3

השטח

הפונקציה חיובית בכל הקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=8(x+1)2y=\frac{8}{(x+1)^2}, הצירים והישר x=3x=3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

F(x)=−8x+1F(x)=-\frac{8}{x+1}

פונקציה קדומה

F(3)−F(0)=−2−(−8)=6\begin{aligned}F(3)-F(0) &= -2-(-8) \\ &= 6\end{aligned}

מציר ה-yy עד x=3x=3

«הצירים» נותנים את הגבול x=0x=0 ואת הגבול התחתון של השטח, y=0y=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x3y=x^3, ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=2x=2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.25

הפתרון:

∫−10x3 dx=−14\int_{-1}^{0} x^3\,dx=-\tfrac{1}{4}

מתחת לציר

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

מעל הציר

S=14+4=4.25\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+4 \\ &= 4.25\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה: ∫−12x3 dx=3.75\int_{-1}^{2} x^3\,dx=3.75. ההפרש, 0.50.5, הוא פעמיים החלק שמתחת לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת