האינטגרל המסוים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כמה שטח יש מתחת לגרף של f(x)=3x2+2xf(x)=3x^2+2x, בין x=1x=1 ל-x=3x=3? אפשר לכסות אותו במלבנים ולחבר את השטחים שלהם. הזיזו את מספר המלבנים.

מה קורה לסכום השטחים של המלבנים כשמגדילים מאוד את מספר המלבנים?

להציג את התשובה והפתרון

הסכום מתקרב לערך קבוע, 3434. זה השטח המדויק, ומחשבים אותו בלי מלבנים, בעזרת פונקציה קדומה.

הנוסחה: הפרש של שני ערכים

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\begin{aligned}\int_a^b f(x)\,dx &= \Big[F(x)\Big]_a^b \\ &= F(b)-F(a)\end{aligned}

FF היא פונקציה קדומה כלשהי של ff. את CC לא צריך: הוא מופיע ב-F(b)F(b) וגם ב-F(a)F(a), ונעלם בחיסור. התוצאה היא מספר, לא פונקציה.

האינטגרל של המלבנים

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2+2x)\,dx.

F(x)=x3+x2F(x)=x^3+x^2

פונקציה קדומה, בלי CC

F(3)=27+9=36\begin{aligned}F(3) &= 27+9 \\ &= 36\end{aligned}

הגבול העליון

F(1)=1+1=2\begin{aligned}F(1) &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

הגבול התחתון

36−2=3436-2=34

עליון פחות תחתון

חשבו את ∫02(x3−2x) dx\int_0^2 (x^3-2x)\,dx. האם התוצאה יכולה להיות שטח?

להציג את התשובה והפתרון

[x44−x2]02=(4−4)−0=0\Big[\frac{x^4}{4}-x^2\Big]_0^2=(4-4)-0=0. זה לא שטח: הגרף יורד מתחת לציר, והחלק השלילי מבטל את החיובי. בזה נטפל ביחידה הבאה.

אינטגרל מסוים של c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}

ריבוע במכנה

חשבו את ∫136(2x−1)2 dx\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx.

F(x)=−62(2x−1)=−32x−1\begin{aligned}F(x) &= -\frac{6}{2(2x-1)} \\ &= -\frac{3}{2x-1}\end{aligned}

הכלל מהיחידה הקודמת, a=2a=2

F(3)=−35F(1)=−31=−3\begin{aligned}F(3) &= -\frac{3}{5} \qquad F(1) \\ &= -\frac{3}{1} \\ &= -3\end{aligned}

מציבים

−35−(−3)=125=2.4\begin{aligned}-\frac{3}{5}-(-3) &= \frac{12}{5} \\ &= 2.4\end{aligned}

הסוגריים שומרים על הסימן

ארבע תכונות

∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx=0

אין רוחב, אין שטח

∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx

החלפת הגבולות הופכת סימן

∫acf dx=∫abf dx+∫bcf dx\int_a^c f\,dx=\int_a^b f\,dx+\int_b^c f\,dx

אפשר לחלק את הקטע

∫abk f(x) dx=k∫abf(x) dx\int_a^b k\,f(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx

קבוע יוצא החוצה

כתבו את F(a)F(a) בתוך סוגריים לפני שמחסרים. רוב הטעויות באינטגרל מסוים הן טעויות סימן בשורה האחרונה.

איפה הסימן הולך לאיבוד.

[x2−3x]12=(4−6)−1−3=−6\begin{aligned}\Big[x^2-3x\Big]_1^2 &= (4-6)-1-3 \\ &= -6\end{aligned}
[x2−3x]12=(4−6)−(1−3)=0\begin{aligned}\Big[x^2-3x\Big]_1^2 &= (4-6)-(1-3) \\ &= 0\end{aligned}

בלי סוגריים המינוס פוגע רק במחובר הראשון של F(1)F(1).

∫136(2x−1)2 dx=f(3)−f(1)\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx=f(3)-f(1)
∫136(2x−1)2 dx=F(3)−F(1)\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx=F(3)-F(1)

מציבים בפונקציה הקדומה, לא בפונקציה שבתוך האינטגרל.

∫021(x−1)2 dx=[−1x−1]02=−2\begin{aligned}\int_0^2 \frac{1}{(x-1)^2}\,dx &= \Big[-\frac{1}{x-1}\Big]_0^2 \\ &= -2\end{aligned}

הפונקציה לא מוגדרת ב-x=1x=1, שנמצא בתוך הקטע, ולכן החישוב לא תקף. סימן אזהרה: פונקציה חיובית נתנה תוצאה שלילית.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את ∫12(6x2−2x) dx\int_1^2 (6x^2-2x)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

F(x)=2x3−x2F(x)=2x^3-x^2

פונקציה קדומה

F(2)=16−4=12F(1)=2−1=1\begin{aligned}F(2) &= 16-4 \\ &= 12 \qquad F(1) \\ &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

12−1=1112-1=11

עליון פחות תחתון

מי שקיבל 1212 שכח לחסר את F(1)F(1): הגבול התחתון הוא לא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫−12(3x2−2) dx\int_{-1}^{2} (3x^2-2)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

F(x)=x3−2xF(x)=x^3-2x

פונקציה קדומה

F(2)=8−4=4\begin{aligned}F(2) &= 8-4 \\ &= 4\end{aligned}

עליון

F(−1)=−1+2=1\begin{aligned}F(-1) &= -1+2 \\ &= 1\end{aligned}

תחתון: (−1)3=−1(-1)^3=-1

4−1=34-1=3

ההפרש

הסכנה בגבול שלילי: −2⋅(−1)=+2-2 \cdot (-1)=+2. מי שכתב F(−1)=−3F(-1)=-3 קיבל 77.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את ∫014(x+1)2 dx\int_0^1 \frac{4}{(x+1)^2}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

F(x)=−4x+1F(x)=-\frac{4}{x+1}

פונקציה קדומה, a=1a=1

F(1)=−2F(0)=−4\begin{aligned}F(1) &= -2 \qquad F(0) \\ &= -4\end{aligned}

מציבים

−2−(−4)=2-2-(-4)=2

ההפרש

פונקציה חיובית בקטע נותנת אינטגרל חיובי. מי שקיבל −2-2 טעה בסימן של FF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו ∫253(x−1)2 dx\int_2^5 \frac{3}{(x-1)^2}\,dx?

  1. −4516-\frac{45}{16}
  2. 94\frac{9}{4}
  3. 34\frac{3}{4}
  4. −94-\frac{9}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 94\frac{9}{4}

הפתרון:

F(x)=−3x−1F(x)=-\frac{3}{x-1}

פונקציה קדומה

F(5)=−34F(2)=−3\begin{aligned}F(5) &= -\frac{3}{4} \qquad F(2) \\ &= -3\end{aligned}

מציבים

−34+3=94-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}

ההפרש

הנכונה: 94\frac{9}{4}. −94-\frac{9}{4} לוקחת F=+3x−1F=+\frac{3}{x-1}. −4516-\frac{45}{16} מציבה ב-ff עצמה: 316−3\frac{3}{16}-3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון ∫15f(x) dx=8\int_1^5 f(x)\,dx=8 ו-∫13f(x) dx=3\int_1^3 f(x)\,dx=3. חשבו את ∫53f(x) dx\int_5^3 f(x)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

∫35f dx=∫15f dx−∫13f dx=8−3=5\begin{aligned}\int_3^5 f\,dx &= \int_1^5 f\,dx-\int_1^3 f\,dx \\ &= 8-3 \\ &= 5\end{aligned}

חלוקת הקטע

∫53f dx=−5\int_5^3 f\,dx=-5

החלפת הגבולות

שתי תכונות ברצף. מי שעונה 55 לא שם לב שהגבולות הפוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: ∫−22x3 dx=0\int_{-2}^{2} x^3\,dx=0, ולכן השטח בין הגרף של y=x3y=x^3 לציר ה-xx בקטע הזה הוא 00.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

[x44]−22=4−4=0\begin{aligned}\Big[\frac{x^4}{4}\Big]_{-2}^{2} &= 4-4 \\ &= 0\end{aligned}

האינטגרל אכן 00

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

אבל מימין יש שטח 44 מעל הציר

4+4=84+4=8

ומשמאל שטח 44 מתחת לציר

הטענה לא נכונה. האינטגרל הוא 00, אבל השטח הוא 88. אינטגרל סופר שטח מתחת לציר עם מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו את החישוב של ∫14(2x−1) dx\int_1^4 (2x-1)\,dx, כאשר F(x)=x2−xF(x)=x^2-x.

F(4)=F(4)= ____ , F(1)=F(1)= ____ , האינטגרל: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: F(4)=F(4)= 12 , F(1)=F(1)= 0 , האינטגרל: 12

הפתרון:

F(4)=16−4=12\begin{aligned}F(4) &= 16-4 \\ &= 12\end{aligned}

עליון

F(1)=1−1=0\begin{aligned}F(1) &= 1-1 \\ &= 0\end{aligned}

תחתון

12−0=1212-0=12

ההפרש

F(1)=0F(1)=0 כאן במקרה, ולכן האינטגרל שווה ל-F(4)F(4). זה לא כלל: בדרך כלל מחסרים מספר שאינו אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון ∫0k(2x+1) dx=12\int_0^k (2x+1)\,dx=12, כאשר k>0k>0. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

[x2+x]0k=k2+k\Big[x^2+x\Big]_0^k=k^2+k

האינטגרל כביטוי ב-kk

k2+k−12=0 ⇒ (k+4)(k−3)=0\begin{aligned}k^2+k-12 &= 0 \ \Rightarrow \ (k+4)(k-3) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית

k=3(k=−4 נפסל)k=3 \quad (k=-4 \ \text{נפסל})

לפי הנתון k>0k>0

שני פתרונות למשוואה, ורק אחד מתאים לתנאי. בדיקה: 9+3=129+3=12 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון ∫1k2x2 dx=1.5\int_1^k \frac{2}{x^2}\,dx=1.5, כאשר k>1k>1. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

[−2x]1k=−2k+2\Big[-\frac{2}{x}\Big]_1^k=-\frac{2}{k}+2

עליון פחות תחתון

2−2k=1.5 ⇒ 2k=0.5\begin{aligned}2-\frac{2}{k} &= 1.5 \ \Rightarrow \ \frac{2}{k} \\ &= 0.5\end{aligned}

מבודדים

k=4k=4

בדיקה: 2−0.5=1.52-0.5=1.5 ✓

מי שכתב 2k−2\frac{2}{k}-2 הציב בסדר הפוך וקיבל משוואה בלי פתרון חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: האם האינטגרל חיובי או שלילי? (בלי לחשב)

  • חיובי
  • שלילי
  • ∫−10x2 dx\int_{-1}^{0} x^2\,dx
  • ∫−3−1x dx\int_{-3}^{-1} x\,dx
  • ∫01(x−2) dx\int_0^1 (x-2)\,dx
  • ∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2+1)\,dx
  • ∫131x2 dx\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx
  • ∫20(x2+1) dx\int_2^0 (x^2+1)\,dx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2+1)\,dx — חיובי · ∫131x2 dx\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx — חיובי · ∫−10x2 dx\int_{-1}^{0} x^2\,dx — חיובי · ∫20(x2+1) dx\int_2^0 (x^2+1)\,dx — שלילי · ∫−3−1x dx\int_{-3}^{-1} x\,dx — שלילי · ∫01(x−2) dx\int_0^1 (x-2)\,dx — שלילי

הפתרון:

x2+1>0∫20=−∫02\begin{aligned}x^2+1>0 \\ \quad \int_2^0 &= -\int_0^2\end{aligned}

גבולות הפוכים

x<0 בקטע [−3,−1]x<0 \ \text{בקטע} \ [-3,-1]

פונקציה שלילית בכל הקטע

x−2<0 בקטע [0,1]x-2<0 \ \text{בקטע} \ [0,1]

גם כאן

שני דברים קובעים את הסימן: הסימן של הפונקציה בקטע, וסדר הגבולות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת