פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

גוזרים את x2x^2 ומקבלים 2x2x. עכשיו נלך בכיוון ההפוך: נתונה הנגזרת, ומחפשים את הפונקציה. הסתכלו קודם על שלושת הגרפים.

שלוש פונקציות, נגזרת אחת
C = 2C = 0C = −3-10123-4-3-2-11234567xy
שלושת הגרפים הם y=x2−2x+Cy=x^2-2x+C עם שלושה ערכים של CC. על הקו המקווקו x=2x=2 לשלושתם אותו שיפוע: כל גרף הוא הזזה אנכית של השני.

מהי הנגזרת של כל אחת משלוש הפונקציות בגרף? וכמה פונקציות יש שהנגזרת שלהן היא 2x−22x-2?

להציג את התשובה והפתרון

לשלושתן הנגזרת 2x−22x-2: הקבוע נעלם בגזירה. יש אינסוף פונקציות כאלה, אחת לכל ערך של CC.

פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים

FF היא פונקציה קדומה של ff אם F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). אוסף כל הפונקציות הקדומות נקרא האינטגרל הלא מסוים, וכותבים אותו עם +C+C.

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
∫5 dx=5x+C\int 5\,dx=5x+C

קבוע: מוסיפים xx

∫6x2 dx=2x3+C\int 6x^2\,dx=2x^3+C

מעלים את החזקה ב-11 ומחלקים בחזקה החדשה

∫(4x3−6x+5) dx=x4−3x2+5x+C\int (4x^3-6x+5)\,dx=x^4-3x^2+5x+C

סכום: כל מחובר לחוד, ו-CC אחד בסוף

מהו ∫(3x2−4x+1) dx\int (3x^2-4x+1)\,dx?

להציג את התשובה והפתרון

x3−2x2+x+Cx^3-2x^2+x+C. בדיקה בגזירה: 3x2−4x+13x^2-4x+1 ✓

פונקציה מהצורה c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}

הנגזרת של 1ax+b\frac{1}{ax+b} היא −a(ax+b)2\frac{-a}{(ax+b)^2}. לכן כשרואים ריבוע במכנה, הפונקציה הקדומה היא שבר עם המכנה בלי הריבוע, עם סימן מינוס, ומחלקים ב-aa.

∫c(ax+b)2 dx=−ca(ax+b)+C\int \frac{c}{(ax+b)^2}\,dx=-\frac{c}{a(ax+b)}+C
∫1x2 dx=−1x+C\int \frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C

a=1, b=0a=1,\ b=0

∫6(2x+1)2 dx=−32x+1+C\int \frac{6}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{3}{2x+1}+C

a=2a=2: מחלקים את 66 ב-22

∫4(1−2x)2 dx=21−2x+C\int \frac{4}{(1-2x)^2}\,dx=\frac{2}{1-2x}+C

a=−2a=-2: שני מינוסים נותנים פלוס

כל תשובה בודקים בגזירה: הנגזרת של מה שקיבלתם חייבת להחזיר בדיוק את הפונקציה שבתוך האינטגרל.

למצוא את ff לפי f′f' ונקודה

הנגזרת קובעת את ff עד כדי קבוע. נקודה אחת על הגרף קובעת את הקבוע.

נגזרת ונקודה

נתון f′(x)=6x2−2x−4f'(x)=6x^2-2x-4, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). מצאו את ff.

f(x)=2x3−x2−4x+Cf(x)=2x^3-x^2-4x+C

פונקציה קדומה, עם CC

f(1)=2−1−4+C=−3+C\begin{aligned}f(1) &= 2-1-4+C \\ &= -3+C\end{aligned}

מציבים את שיעור ה-xx של הנקודה

−3+C=3 ⇒ C=6\begin{aligned}-3+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 6\end{aligned}

משווים לשיעור ה-yy

f(x)=2x3−x2−4x+6f(x)=2x^3-x^2-4x+6

בדיקה: f(1)=2−1−4+6=3f(1)=2-1-4+6=3 ✓

נתון f′(x)=2(x−1)2f'(x)=\frac{2}{(x-1)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (3, 4)(3,\,4). מהי ff?

להציג את התשובה והפתרון

f(x)=−2x−1+Cf(x)=-\frac{2}{x-1}+C. f(3)=−1+C=4f(3)=-1+C=4, ולכן C=5C=5: f(x)=5−2x−1f(x)=5-\frac{2}{x-1}.

שלוש טעויות שחוזרות.

∫x2 dx=x3+C\int x^2\,dx=x^3+C
∫x2 dx=x33+C\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C

שכחו לחלק בחזקה החדשה. בגזירה: (x3)′=3x2≠x2(x^3)'=3x^2 \neq x^2.

∫2(2x+1)2 dx=−22x+1+C\int \frac{2}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{2}{2x+1}+C
∫2(2x+1)2 dx=−12x+1+C\int \frac{2}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{1}{2x+1}+C

שכחו לחלק ב-a=2a=2. בגזירה, כלל השרשרת מוסיף את הגורם 22, ולכן מראש מחלקים בו.

f(x)=2x3−x2−4xf(x)=2x^3-x^2-4x
f(x)=2x3−x2−4x+Cf(x)=2x^3-x^2-4x+C

בלי CC אין מה להציב בנקודה. CC הוא לא קישוט: הוא מה שהנקודה קובעת.

תרגילים

תרגיל 1

מהו ∫(6x2−2x) dx\int (6x^2-2x)\,dx?

  1. 2x3−x2+C2x^3-x^2+C
  2. 3x3−x2+C3x^3-x^2+C
  3. 12x−2+C12x-2+C
  4. 6x3−2x2+C6x^3-2x^2+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2x3−x2+C2x^3-x^2+C

הפתרון:

∫6x2 dx=6x33=2x3\begin{aligned}\int 6x^2\,dx &= \frac{6x^3}{3} \\ &= 2x^3\end{aligned}

מחלקים בחזקה החדשה

∫2x dx=x2\int 2x\,dx=x^2

אותו כלל

(2x3−x2)′=6x2−2x(2x^3-x^2)'=6x^2-2x

בדיקה בגזירה ✓

הנכונה: 2x3−x2+C2x^3-x^2+C. 12x−212x-2 היא נגזרת, לא פונקציה קדומה. 6x3−2x26x^3-2x^2 שוכחת לחלק בחזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=4x3−6xf(x)=4x^3-6x, ו-F(0)=2F(0)=2. חשבו את F(2)F(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

F(x)=x4−3x2+CF(x)=x^4-3x^2+C

פונקציה קדומה

F(0)=C=2\begin{aligned}F(0) &= C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה קובעת את CC

F(2)=16−12+2=6\begin{aligned}F(2) &= 16-12+2 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים

מי שקיבל 44 שכח את C=2C=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו ∫8(2x+1)2 dx\int \frac{8}{(2x+1)^2}\,dx?

  1. −82x+1+C-\frac{8}{2x+1}+C
  2. 42x+1+C\frac{4}{2x+1}+C
  3. −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C
  4. −83(2x+1)3+C-\frac{8}{3(2x+1)^3}+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C

הפתרון:

−ca(ax+b)=−82(2x+1)-\frac{c}{a(ax+b)}=-\frac{8}{2(2x+1)}

c=8, a=2c=8,\ a=2

=−42x+1=-\frac{4}{2x+1}

מצמצמים

(−42x+1)′=4⋅2(2x+1)2=8(2x+1)2\begin{aligned}\left(-\frac{4}{2x+1}\right)' &= \frac{4 \cdot 2}{(2x+1)^2} \\ &= \frac{8}{(2x+1)^2}\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C. בלי המינוס הנגזרת יוצאת שלילית. −82x+1-\frac{8}{2x+1} שוכחת לחלק ב-aa. והאפשרות עם החזקה 33 מפעילה את כלל החזקות בכיוון הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: F(x)=1x−3+5F(x)=\frac{1}{x-3}+5 היא פונקציה קדומה של f(x)=1(x−3)2f(x)=\frac{1}{(x-3)^2}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

F′(x)=−1(x−3)2F'(x)=-\frac{1}{(x-3)^2}

גוזרים: 55 נעלם

−1(x−3)2≠1(x−3)2-\frac{1}{(x-3)^2} \neq \frac{1}{(x-3)^2}

הסימן הפוך

הטענה לא נכונה. פונקציה קדומה נכונה: −1x−3+C-\frac{1}{x-3}+C. ה-55 לא מפריע (הוא קבוע), הסימן כן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון f′(x)=2x−6f'(x)=2x-6, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 0)(1,\,0). מהו הערך המינימלי של ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

f(x)=x2−6x+Cf(x)=x^2-6x+C

פונקציה קדומה

f(1)=1−6+C=0 ⇒ C=5\begin{aligned}f(1) &= 1-6+C \\ &= 0 \ \Rightarrow \ C \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נקודת המינימום

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

הערך המינימלי

שני שלבים: קודם CC מהנקודה, ואז מינימום מ-f′=0f'=0. הערך המינימלי הוא f(3)f(3), לא 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון f′(x)=3(x+2)2f'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 2)(1,\,2). השלימו.

f(x)=−3x+2+f(x)=-\frac{3}{x+2}+ ____ , f(−1)=f(-1)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(x)=−3x+2+f(x)=-\frac{3}{x+2}+ 3 , f(−1)=f(-1)= 0

הפתרון:

f(x)=−3x+2+Cf(x)=-\frac{3}{x+2}+C

פונקציה קדומה, a=1a=1

f(1)=−1+C=2 ⇒ C=3\begin{aligned}f(1) &= -1+C \\ &= 2 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(−1)=−31+3=0\begin{aligned}f(-1) &= -\frac{3}{1}+3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים

מי שכתב +3x+2+\frac{3}{x+2} יקבל C=1C=1 ו-f(−1)=4f(-1)=4: בגזירה הוא היה מגלה נגזרת שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל פונקציה את משפחת הפונקציות הקדומות שלה.

  • 2x2x
  • 1x2\dfrac{1}{x^2}
  • 2(2x−1)2\dfrac{2}{(2x-1)^2}
  • 33
  • x2x^2
  • −12x−1+C-\dfrac{1}{2x-1}+C
  • −1x+C-\dfrac{1}{x}+C
  • x33+C\dfrac{x^3}{3}+C
  • 3x+C3x+C
  • x2+Cx^2+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2x2x — x2+Cx^2+C · 1x2\dfrac{1}{x^2} — −1x+C-\dfrac{1}{x}+C · 2(2x−1)2\dfrac{2}{(2x-1)^2} — −12x−1+C-\dfrac{1}{2x-1}+C · 33 — 3x+C3x+C · x2x^2 — x33+C\dfrac{x^3}{3}+C

הפתרון:

(−1x)′=1x2\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}

בדיקה

(−12x−1)′=2(2x−1)2\left(-\frac{1}{2x-1}\right)'=\frac{2}{(2x-1)^2}

בדיקה

כל זוג נבדק בגזירה של העמודה הימנית. 1x2\frac{1}{x^2} ו-2(2x−1)2\frac{2}{(2x-1)^2} נראות שונות, אבל הכלל שלהן זהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון F′(x)=3x2+4xF'(x)=3x^2+4x ו-F(1)=7F(1)=7. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

F(x)=∫(3x2+4x) dxF(x)=\int (3x^2+4x)\,dx
F(x)=x3+4x2+CF(x)=x^3+4x^2+C
F(1)=1+2+C=7\begin{aligned}F(1) &= 1+2+C \\ &= 7\end{aligned}
C=4 F(x)=x3+2x2+4\begin{aligned}C &= 4 \\ \ F(x) &= x^3+2x^2+4\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: F(x)=x3+4x2+CF(x)=x^3+4x^2+C → F(x)=x3+2x2+CF(x)=x^3+2x^2+C

הפתרון:

∫4x dx=4x22=2x2\begin{aligned}\int 4x\,dx &= \frac{4x^2}{2} \\ &= 2x^2\end{aligned}

מחלקים בחזקה החדשה

F(1)=1+2+C=7 ⇒ C=4\begin{aligned}F(1) &= 1+2+C \\ &= 7 \ \Rightarrow \ C \\ &= 4\end{aligned}

ההמשך נכון

בשורה 2 לא חילקו את 4x24x^2 ב-22. בשורה 3 כבר חישבו נכון, ולכן הסתירה נחשפת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שיפוע המשיק לגרף של ff בכל נקודה הוא 4(x+1)2\frac{4}{(x+1)^2}. הגרף עובר בנקודה (1, 1)(1,\,1). באיזו נקודה הגרף חותך את ציר ה-yy? כתבו את שיעור ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f′(x)=4(x+1)2f'(x)=\frac{4}{(x+1)^2}

שיפוע המשיק הוא הנגזרת

f(x)=−4x+1+Cf(x)=-\frac{4}{x+1}+C

פונקציה קדומה

f(1)=−2+C=1 ⇒ C=3\begin{aligned}f(1) &= -2+C \\ &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(0)=−4+3=−1\begin{aligned}f(0) &= -4+3 \\ &= -1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy

«שיפוע המשיק» הוא f′f', לא ff. מי שהציב x=0x=0 בשיפוע קיבל 44: זה השיפוע ב-(0,−1)(0,-1), לא הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הפונקציה F(x)=k2x+1F(x)=\frac{k}{2x+1} היא פונקציה קדומה של f(x)=6(2x+1)2f(x)=\frac{6}{(2x+1)^2}. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

F′(x)=−2k(2x+1)2F'(x)=\frac{-2k}{(2x+1)^2}

גוזרים, עם כלל השרשרת

−2k=6 ⇒ k=−3\begin{aligned}-2k &= 6 \ \Rightarrow \ k \\ &= -3\end{aligned}

משווים מונים

הפרמטר שלילי: 6(2x+1)2\frac{6}{(2x+1)^2} חיובית, ולכן הקדומה עולה. מי שקיבל k=3k=3 שכח שגזירה של 1u\frac{1}{u} מוסיפה מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת