ציון תקן

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

נועה קיבלה 8282 במבחן במתמטיקה. איתי קיבל 8888 במבחן בספרות.

8888 גדול יותר, אבל המבחנים שונים. במתמטיקה הממוצע 7070 וסטיית התקן 88; בספרות הממוצע 8080 וסטיית התקן 1010. מי הצליח יותר ביחס לקבוצה שלו?

בכמה נקודות כל ציון גבוה מהממוצע של המבחן שלו? וכמה סטיות תקן זה?

להציג את התשובה והפתרון

נועה: 82−70=1282-70=12 נקודות, כלומר 128=1.5\frac{12}{8}=1.5 סטיות תקן. איתי: 88−80=888-80=8 נקודות, כלומר 810=0.8\frac{8}{10}=0.8 סטיית תקן. ביחס לקבוצה שלה, נועה הצליחה יותר.

תזכורת: ממוצע וסטיית תקן

xˉ=x1+x2+⋯+xnnσ=(x1−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2n\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \qquad \sigma \\ &= \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}\end{aligned}

הממוצע הוא המרכז של הנתונים, וסטיית התקן היא המרחק האופייני של נתון מהמרכז. בהתפלגות נורמלית מסמנים את הממוצע באות μ\mu ואת סטיית התקן באות σ\sigma.

סטיית תקן של חמישה נתונים

זמני ההמתנה (בדקות) של חמישה נוסעים בתחנה: 7, 9, 10, 11, 137,\ 9,\ 10,\ 11,\ 13. מצאו את סטיית התקן.

xˉ=505=10\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{50}{5} \\ &= 10\end{aligned}

קודם הממוצע

(x−xˉ)2: 9, 1, 0, 1, 9(x-\bar{x})^2:\ 9,\ 1,\ 0,\ 1,\ 9

ההפרשים מהממוצע, בחזקת 2

σ2=205=4\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

השונות: הממוצע של ההפרשים בחזקת 2

σ=4=2\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן היא השורש של השונות

ציון התקן zz

z=x−μσ⟺x=μ+zσ\begin{aligned}z &= \frac{x-\mu}{\sigma} \qquad \Longleftrightarrow \qquad x \\ &= \mu+z\sigma\end{aligned}

ציון התקן סופר כמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע, ובאיזה כיוון.

z>0z>0

הערך מעל הממוצע

z=0z=0

הערך שווה לממוצע

z<0z<0

הערך מתחת לממוצע

לציון התקן אין יחידות: הוא מודד בסטיות תקן. לכן הוא משווה בין קבוצות שונות. ציון תקן גבוה יותר פירושו מקום גבוה יותר ביחס לקבוצה, גם כשהמספר עצמו קטן יותר.

בקבוצה שבה μ=60\mu=60 ו-σ=4\sigma=4: איזה ערך מתאים לציון התקן z=−1.5z=-1.5?

להציג את התשובה והפתרון

x=60+(−1.5)⋅4=54x=60+(-1.5) \cdot 4=54. ציון תקן שלילי: הערך מתחת לממוצע, סטייה וחצי.

אותו ציון תקן בשתי קבוצות

משקל תינוקות בלידה בבית חולים א: ממוצע 3.33.3 ק״ג, סטיית תקן 0.40.4 ק״ג. בבית חולים ב סטיית התקן 0.50.5 ק״ג. לתינוק של 4.14.1 ק״ג בבית חולים א ולתינוק של 4.24.2 ק״ג בבית חולים ב יש אותו ציון תקן. מהו הממוצע בבית חולים ב?

z=4.1−3.30.4=2\begin{aligned}z &= \frac{4.1-3.3}{0.4} \\ &= 2\end{aligned}

ציון התקן בבית חולים א

2=4.2−μ0.52=\frac{4.2-\mu}{0.5}

אותו zz בבית חולים ב

μ=4.2−2⋅0.5=3.2\begin{aligned}\mu &= 4.2-2 \cdot 0.5 \\ &= 3.2\end{aligned}

הממוצע בבית חולים ב: 3.23.2 ק״ג

כשכל הנתונים משתנים יחד

x→x+bx \to x+b

הממוצע גדל ב-bb, סטיית התקן לא משתנה

x→a⋅x  (a>0)x \to a \cdot x \ \ (a>0)

הממוצע וסטיית התקן מוכפלים שניהם ב-aa

ובשני המקרים ציון התקן של כל נתון לא משתנה: המונה x−μx-\mu והמכנה σ\sigma משתנים באותו אופן.

לכן גם כל האחוזים שנקבעים לפי zz נשארים אותו דבר. למשל, אחוז הנתונים בין μ\mu לבין μ+σ\mu+\sigma לא משתנה.

בכל שאלה על פעמון, הצעד הראשון הוא לתרגם את הערך ל-zz. כל השאר נעשה בשפה של zz: אחוזים, טבלה והשוואה.

שלוש טעויות בציון התקן.

z=x−μσ2z=\frac{x-\mu}{\sigma^2}
z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}

מחלקים בסטיית התקן, לא בשונות. אם נתונה השונות σ2=16\sigma^2=16, קודם מוציאים שורש: σ=4\sigma=4.

z=μ−xσz=\frac{\mu-x}{\sigma}
z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}

הסדר ההפוך הופך את הסימן: ערך מעל הממוצע יקבל zz שלילי.

x→2x+5: σ→2σ+5x \to 2x+5:\ \sigma \to 2\sigma+5
x→2x+5: σ→2σx \to 2x+5:\ \sigma \to 2\sigma

התוספת מזיזה את כל הנתונים יחד, ולא משנה את המרחקים ביניהם.

תרגילים

תרגיל 1

מספר הדקות שחמישה תלמידים חיכו להסעה: 4, 6, 8, 10, 124,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12. מהי סטיית התקן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.83

הפתרון:

xˉ=405=8\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

הממוצע

16+4+0+4+16=4016+4+0+4+16=40

ההפרשים −4,−2,0,2,4-4,-2,0,2,4 בחזקת 2

σ2=405=8\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

השונות

σ=8≈2.83\sigma=\sqrt{8} \approx 2.83

סטיית התקן

התשובה 88 היא השונות. סטיית התקן היא השורש שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הגובה של תלמידי י״א בבית ספר מתפלג נורמלית עם ממוצע 168168 ס״מ וסטיית תקן 77 ס״מ. מהו ציון התקן של תלמיד שגובהו 179.2179.2 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.6

הפתרון:

z=179.2−1687z=\frac{179.2-168}{7}

הערך פחות הממוצע, חלקי סטיית התקן

=11.27=1.6=\frac{11.2}{7}=1.6

ציון התקן

התלמיד גבוה מהממוצע ב-1.61.6 סטיות תקן. מי שמחלק ב-4949 השתמש בשונות במקום בסטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

זמן ההגעה של תלמידים לבית הספר מתפלג נורמלית עם ממוצע 2525 דקות וסטיית תקן 66 דקות. איזה זמן הגעה (בדקות) מתאים לציון התקן z=−1.5z=-1.5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

מהציון אל הערך

x=25+(−1.5)⋅6=25−9=16\begin{aligned}x &= 25+(-1.5) \cdot 6 \\ &= 25-9 \\ &= 16\end{aligned}

מציבים

ציון תקן שלילי: הזמן קצר מהממוצע. מי שקיבל 3434 התעלם מהמינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

דנה קיבלה 7878 במבחן שבו הממוצע 7070 וסטיית התקן 55. יואב קיבל 8484 במבחן שבו הממוצע 7575 וסטיית התקן 66. מי הצליח יותר ביחס לקבוצה שלו?

  1. יואב, כי הציון שלו גבוה יותר
  2. שניהם באותו מצב יחסי
  3. דנה, כי ציון התקן שלה גבוה יותר
  4. יואב, כי ציון התקן שלו גבוה יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג דנה, כי ציון התקן שלה גבוה יותר

הפתרון:

z1=78−705=1.6\begin{aligned}z_1 &= \frac{78-70}{5} \\ &= 1.6\end{aligned}

דנה

z2=84−756=1.5\begin{aligned}z_2 &= \frac{84-75}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יואב

1.6>1.51.6>1.5

משווים ציוני תקן

הנכונה: דנה. הציון הגולמי של יואב גבוה יותר, אבל ההשוואה בין שני מבחנים שונים נעשית רק לפי zz.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

משקל חבילות אורז מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם. לחבילה של 10151015 גרם ציון תקן 1.251.25. מהי סטיית התקן (בגרם)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

1.25=1015−1000σ1.25=\frac{1015-1000}{\sigma}

מציבים בנוסחת zz

σ=151.25=12\begin{aligned}\sigma &= \frac{15}{1.25} \\ &= 12\end{aligned}

פותרים

סטיית התקן היא 1212 גרם. מי שכפל 15⋅1.2515 \cdot 1.25 הפך את הנוסחה: zz כפול σ\sigma נותן את המרחק מהממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

זמני הריצה של 22 ק״מ בשכבה מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 1212 שניות. לרץ שסיים ב-540540 שניות ציון תקן −0.5-0.5. מהו הממוצע (בשניות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 546

הפתרון:

−0.5=540−μ12-0.5=\frac{540-\mu}{12}

מציבים

540−μ=−6 ⇒ μ=546\begin{aligned}540-\mu &= -6 \ \Rightarrow \ \mu \\ &= 546\end{aligned}

פותרים

540−54612=−0.5 ✓\frac{540-546}{12}=-0.5 \ \checkmark

בדיקה

ציון שלילי: הרץ מתחת לממוצע, ולכן הממוצע גדול מ-540540. מי שקיבל 534534 טעה בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בעיר א, הגובה של ילדים בני 66 מתפלג נורמלית עם ממוצע 118118 ס״מ וסטיית תקן 55 ס״מ. בעיר ב סטיית התקן 44 ס״מ. לילד שגובהו 126126 ס״מ בעיר א ולילד שגובהו 124124 ס״מ בעיר ב יש אותו ציון תקן. השלימו.

ציון התקן: ____ ; הממוצע בעיר ב: ____ ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ציון התקן: 1.6 ; הממוצע בעיר ב: 117.6 ס״מ

הפתרון:

z=126−1185=1.6\begin{aligned}z &= \frac{126-118}{5} \\ &= 1.6\end{aligned}

בעיר א

1.6=124−μ41.6=\frac{124-\mu}{4}

אותו ציון בעיר ב

μ=124−6.4=117.6\begin{aligned}\mu &= 124-6.4 \\ &= 117.6\end{aligned}

הממוצע בעיר ב

אותו ציון תקן פירושו אותו מקום יחסי, לא אותו מרחק בס״מ: בעיר ב ה-1.61.6 סטיות תקן הן 6.46.4 ס״מ, לא 88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 6060 וסטיית תקן 1010. המורה מכפילה כל ציון ב-1.11.1 ומוסיפה לו 44. השלימו.

הממוצע החדש: ____ ; סטיית התקן החדשה: ____ ; ציון התקן של תלמיד שקיבל 7575 לפני השינוי, אחרי השינוי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע החדש: 70 ; סטיית התקן החדשה: 11 ; ציון התקן של תלמיד שקיבל 7575 לפני השינוי, אחרי השינוי: 1.5

הפתרון:

μ=1.1⋅60+4=70\begin{aligned}\mu &= 1.1 \cdot 60+4 \\ &= 70\end{aligned}

הממוצע עובר את אותו שינוי

σ=1.1⋅10=11\begin{aligned}\sigma &= 1.1 \cdot 10 \\ &= 11\end{aligned}

התוספת לא משנה את סטיית התקן

75→1.1⋅75+4=86.575 \to 1.1 \cdot 75+4=86.5

הציון החדש

z=86.5−7011=1.5=75−6010\begin{aligned}z &= \frac{86.5-70}{11} \\ &= 1.5 \\ &= \frac{75-60}{10}\end{aligned}

אותו ציון תקן

מי שכתב σ=15\sigma=15 הוסיף את ה-44 גם לסטיית התקן. ציון התקן לא משתנה: המקום היחסי של התלמיד נשמר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מוסיפים 55 לכל הנתונים. אז ציון התקן של כל נתון גדל ב-55.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x+5−(μ+5)=x−μx+5-(\mu+5)=x-\mu

המונה לא משתנה

σ→σ\sigma \to \sigma

גם המכנה לא משתנה

לא נכון. גם הנתון וגם הממוצע גדלים ב-55, ולכן ציון התקן לא משתנה בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בקבוצה הממוצע 5050 והשונות 1616. חשבו את ציון התקן של 5858. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

σ2=16\sigma^2=16
z=58−5016=0.5\begin{aligned}z &= \frac{58-50}{16} \\ &= 0.5\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: z=58−5016=0.5z=\frac{58-50}{16}=0.5 → z=58−504=2z=\frac{58-50}{4}=2

הפתרון:

σ=16=4\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

קודם סטיית התקן

z=84=2\begin{aligned}z &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

ציון התקן

השורה השנייה חילקה בשונות. ציון התקן מחלק בסטיית התקן, השורש של השונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בקבוצה הממוצע 5050 וסטיית התקן 55. התאימו לכל ערך את ציון התקן שלו.

  • x=60x=60
  • x=45x=45
  • x=50x=50
  • x=57.5x=57.5
  • z=−1z=-1
  • z=0z=0
  • z=1.5z=1.5
  • z=2z=2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=60x=60 — z=2z=2 · x=45x=45 — z=−1z=-1 · x=50x=50 — z=0z=0 · x=57.5x=57.5 — z=1.5z=1.5

הפתרון:

z=60−505=2\begin{aligned}z &= \frac{60-50}{5} \\ &= 2\end{aligned}

מעל הממוצע בשתי סטיות תקן

z=45−505=−1\begin{aligned}z &= \frac{45-50}{5} \\ &= -1\end{aligned}

מתחת לממוצע: zz שלילי

z=57.5−505=1.5\begin{aligned}z &= \frac{57.5-50}{5} \\ &= 1.5\end{aligned}

סטייה וחצי

ערך ששווה לממוצע מקבל z=0z=0. ערך מתחת לממוצע מקבל zz שלילי, לא חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מה משנה את ציון התקן של כל נתון, ומה לא?

  • ציון התקן לא משתנה
  • ציון התקן משתנה
  • מגדילים רק את הנתון הגבוה ביותר
  • מוסיפים 55 לכל הנתונים
  • מוסיפים 55 רק לנתון אחד
  • מכפילים כל נתון ב-22
  • עוברים מס״מ למ״מ (כופלים ב-1010)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מוסיפים 55 לכל הנתונים — ציון התקן לא משתנה · מכפילים כל נתון ב-22 — ציון התקן לא משתנה · עוברים מס״מ למ״מ (כופלים ב-1010) — ציון התקן לא משתנה · מוסיפים 55 רק לנתון אחד — ציון התקן משתנה · מגדילים רק את הנתון הגבוה ביותר — ציון התקן משתנה

הפתרון:

x→ax+b: (ax+b)−(aμ+b)aσ=x−μσx \to ax+b:\ \frac{(ax+b)-(a\mu+b)}{a\sigma}=\frac{x-\mu}{\sigma}

שינוי של כל הנתונים יחד

שינוי שעובר על כל הנתונים באותה צורה שומר על המקום היחסי. שינוי של נתון אחד בלבד מזיז את הממוצע ואת סטיית התקן, ולכן משנה ציוני תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ארבעה תלמידים, ארבעה מבחנים שונים. אלון: 7575 (ממוצע 7070, סטיית תקן 55). בר: 8080 (ממוצע 7272, סטיית תקן 44). גיל: 6666 (ממוצע 6060, סטיית תקן 88). דור: 9090 (ממוצע 8585, סטיית תקן 1010). סדרו מהמקום היחסי הגבוה ביותר לנמוך ביותר.

  • אלון
  • בר
  • גיל
  • דור
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בר · אלון · גיל · דור

הפתרון:

zבר=80−724=2\begin{aligned}z_{\text{בר}} &= \frac{80-72}{4} \\ &= 2\end{aligned}
zאלון=75−705=1\begin{aligned}z_{\text{אלון}} &= \frac{75-70}{5} \\ &= 1\end{aligned}
zגיל=66−608=0.75\begin{aligned}z_{\text{גיל}} &= \frac{66-60}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}
zדור=90−8510=0.5\begin{aligned}z_{\text{דור}} &= \frac{90-85}{10} \\ &= 0.5\end{aligned}

דור קיבל את הציון הגבוה ביותר, ובכל זאת הוא אחרון: ההשוואה היא לפי zz, לא לפי הציון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת