עקומת הפעמון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מודדים את הגובה של אלפי חיילים. רוב הגבהים קרובים לממוצע, ויש פחות ופחות ככל שמתרחקים ממנו.

הצורה סימטרית, והעקומה החלקה היא עקומת הפעמון: העקומה של ההתפלגות הנורמלית. בנוסחאון היא מחולקת לרצועות של חצי סטיית תקן:

לפי הרצועות: איזה אחוז מהחיילים נמוכים מ-163163 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

163=172−1.5⋅6163=172-1.5 \cdot 6, כלומר z=−1.5z=-1.5. מתחת: 4.40%+1.66%+0.49%+0.13%=6.68%4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%=6.68\%.

התכונות של העקומה הנורמלית

P(X<μ)=P(X>μ)=50%\begin{aligned}P(X<\mu) &= P(X>\mu) \\ &= 50\%\end{aligned}

העקומה סימטרית סביב הממוצע

μ\mu

הממוצע, החציון והשכיח שווים: שלושתם באמצע, בנקודה הגבוהה

100%100\%

השטח מתחת לכל העקומה. שטח בין שני ערכים הוא אחוז התצפיות ביניהם

P(X=a)=0P(X=a)=0

לערך בודד אין שטח, ולכן P(X<a)=P(X≤a)P(X<a)=P(X \leq a)

כלל 68–95–99.7

μ±σ: 68.26%\mu \pm \sigma:\ 68.26\%

פעמיים 34.13%34.13\%

μ±2σ: 95.44%\mu \pm 2\sigma:\ 95.44\%

פעמיים 34.13%+13.59%34.13\%+13.59\%

μ±3σ: 99.74%\mu \pm 3\sigma:\ 99.74\%

כמעט הכול

המספרים 6868, 9595 ו-99.799.7 הם עיגול שקל לזכור, ונותן הערכה מהירה. בחישוב עצמו משתמשים באחוזים המדויקים של הנוסחאון, או בטבלה של השיעור הבא.

אחוז בין שני ערכים

הגובה של חיילים מתפלג נורמלית עם ממוצע 172172 ס״מ וסטיית תקן 66 ס״מ. איזה אחוז מהחיילים גובהם בין 166166 ל-181181 ס״מ?

z1=166−1726=−1z2=181−1726=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{166-172}{6} \\ &= -1 \qquad z_2 \\ &= \frac{181-172}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

מתרגמים את שני הערכים ל-zz

19.15%+14.98%=34.13%19.15\%+14.98\%=34.13\%

משמאל לממוצע: סטיית תקן אחת

19.15%+14.98%+9.19%=43.32%19.15\%+14.98\%+9.19\%=43.32\%

מימין לממוצע: שלושה חצאים

34.13%+43.32%=77.45%34.13\%+43.32\%=77.45\%

מחברים את שני הצדדים

מאחוז לכמות. אם בקבוצה nn תצפיות, מספר התצפיות בתחום הוא nn כפול האחוז. התוצאה לא תמיד מספר שלם, ומעגלים אותה.

באותה קבוצה יש 2,0002{,}000 חיילים. כמה מהם גבוהים מ-184184 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

184=172+2⋅6184=172+2 \cdot 6, כלומר z=2z=2. מעל z=2z=2: 1.66%+0.49%+0.13%=2.28%1.66\%+0.49\%+0.13\%=2.28\%. 2000⋅0.0228=45.62000 \cdot 0.0228=45.6, כלומר בערך 4646 חיילים.

מה קובעת סטיית התקן

באיזו מהקבוצות אחוז גדול יותר של התצפיות נמצא בין 4545 ל-5555?

להציג את התשובה והפתרון

בקבוצה עם σ=5\sigma=5 התחום הוא μ±σ\mu \pm \sigma: 68.26%68.26\%. בקבוצה עם σ=10\sigma=10 הוא רק μ±0.5σ\mu \pm 0.5\sigma: 2⋅19.15%=38.3%2 \cdot 19.15\%=38.3\%. הפעמון הצר מרוכז יותר סביב הממוצע.

לפני כל חישוב, שרטטו פעמון קטן, סמנו את μ\mu ואת הערכים, והחליטו אם התשובה גדולה או קטנה מ-50%50\%. זו בדיקה של שנייה אחת שתופסת את רוב הטעויות.

שתי טעויות באחוזים של הפעמון.

P(μ<X<μ+2σ)=2⋅34.13%P(\mu<X<\mu+2\sigma)=2 \cdot 34.13\%
P(μ<X<μ+2σ)=34.13%+13.59%=47.72%\begin{aligned}P(\mu<X<\mu+2\sigma) &= 34.13\%+13.59\% \\ &= 47.72\%\end{aligned}

האחוזים אינם שווים בכל סטיית תקן. הרצועה השנייה דקה הרבה יותר מהראשונה.

P(X>μ+σ)=100%−68.26%P(X>\mu+\sigma)=100\%-68.26\%
P(X>μ+σ)=100%−68.26%2=15.87%\begin{aligned}P(X>\mu+\sigma) &= \frac{100\%-68.26\%}{2} \\ &= 15.87\%\end{aligned}

מה שמחוץ ל-μ±σ\mu \pm \sigma מתחלק לשני זנבות, ורק אחד מהם מעל μ+σ\mu+\sigma.

תרגילים

תרגיל 1

משך שיחה במוקד שירות מתפלג נורמלית עם ממוצע 66 דקות וסטיית תקן 1.21.2 דקות. איזה אחוז מהשיחות נמשכות בין 66 ל-7.27.2 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34.13

הפתרון:

z=7.2−61.2=1\begin{aligned}z &= \frac{7.2-6}{1.2} \\ &= 1\end{aligned}

7.27.2 הוא μ+σ\mu+\sigma

19.15%+14.98%=34.13%19.15\%+14.98\%=34.13\%

שני החצאים הראשונים

מי שענה 68.26%68.26\% לקח את שני הצדדים של הממוצע, אבל התחום מתחיל בממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

משך שיחה במוקד שירות מתפלג נורמלית עם ממוצע 66 דקות וסטיית תקן 1.21.2 דקות. איזה אחוז מהשיחות נמשכות בין 3.63.6 ל-7.27.2 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81.85

הפתרון:

z1=3.6−61.2=−2z2=1\begin{aligned}z_1 &= \frac{3.6-6}{1.2} \\ &= -2 \qquad z_2 \\ &= 1\end{aligned}

שני ציוני התקן

34.13%+13.59%=47.72%34.13\%+13.59\%=47.72\%

משמאל לממוצע, עד 22 סטיות תקן

47.72%+34.13%=81.85%47.72\%+34.13\%=81.85\%

ועוד הצד הימני

התחום לא סימטרי: שתי סטיות תקן משמאל ואחת מימין. מחשבים כל צד לחוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

משך שיחה במוקד שירות מתפלג נורמלית עם ממוצע 66 דקות וסטיית תקן 1.21.2 דקות. איזה אחוז מהשיחות נמשכות יותר מ-8.48.4 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.28

הפתרון:

z=8.4−61.2=2\begin{aligned}z &= \frac{8.4-6}{1.2} \\ &= 2\end{aligned}

8.48.4 הוא μ+2σ\mu+2\sigma

1.66%+0.49%+0.13%=2.28%1.66\%+0.49\%+0.13\%=2.28\%

הזנב הימני מעבר ל-22

מי שענה 4.56%4.56\% לקח את שני הזנבות. «יותר מ-» הוא זנב אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

משך שיחה במוקד שירות מתפלג נורמלית עם ממוצע 66 דקות וסטיית תקן 1.21.2 דקות. ביום מסוים היו 2,5002{,}500 שיחות. כמה מהן נמשכו פחות מ-4.24.2 דקות? עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 167

הפתרון:

z=4.2−61.2=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{4.2-6}{1.2} \\ &= -1.5\end{aligned}

ציון התקן

4.40%+1.66%+0.49%+0.13%=6.68%4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%=6.68\%

הזנב השמאלי מעבר ל-−1.5-1.5

2500⋅0.0668=1672500 \cdot 0.0668=167

מאחוז לכמות

את האחוז כופלים במספר השיחות כשבר עשרוני: 6.68%=0.06686.68\%=0.0668. מי שכפל ב-6.686.68 קיבל מספר גדול מכל השיחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

משקל תפוחים בשני מטעים
1001201401601802000גרם
  • מטע א
  • מטע ב

באיור: התפלגות המשקל (בגרם) של תפוחים בשני מטעים. איזה משפט נכון?

  1. סטיית התקן במטע א קטנה יותר
  2. סטיית התקן במטע ב קטנה יותר, כי העקומה שלו נמוכה יותר
  3. במטע ב אחוז גדול יותר של תפוחים בין 140140 ל-160160 גרם
  4. הממוצע במטע א גדול יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א סטיית התקן במטע א קטנה יותר

הפתרון:

μA=μB=150\begin{aligned}\mu_A &= \mu_B \\ &= 150\end{aligned}

שתי העקומות מרוכזות סביב אותו ערך

σA<σB\sigma_A<\sigma_B

העקומה של מטע א צרה וגבוהה

הנכונה: סטיית התקן במטע א קטנה יותר. עקומה נמוכה היא עקומה רחבה: השטח מתחת לכל עקומה הוא 100%100\%. לכן במטע א, הצר, יש יותר תפוחים קרובים ל-150150.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בהתפלגות נורמלית, החציון שווה לממוצע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(X<μ)=50%P(X<\mu)=50\%

הסימטריה סביב הממוצע

נכון. חצי מהתצפיות מתחת לממוצע וחצי מעליו, וזו בדיוק ההגדרה של החציון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

משתנה מתפלג נורמלית. ידוע ש-15.87%15.87\% מהערכים קטנים מ-5252, ו-15.87%15.87\% מהערכים גדולים מ-6868. השלימו.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: μ=\mu= 60 , σ=\sigma= 8

הפתרון:

μ=52+682=60\begin{aligned}\mu &= \frac{52+68}{2} \\ &= 60\end{aligned}

אותו אחוז בשני הזנבות: הממוצע באמצע

15.87%=9.19%+4.40%+1.66%+0.49%+0.13%15.87\%=9.19\%+4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%

זה הזנב שמעבר לסטיית תקן אחת

68=60+σ ⇒ σ=8\begin{aligned}68 &= 60+\sigma \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 8\end{aligned}

סטיית התקן

הסימטריה נותנת את הממוצע בלי חישוב. 15.87%15.87\% הוא מספר שכדאי לזהות: זה הזנב שמעבר ל-μ+σ\mu+\sigma.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

זמן ההמתנה לאוטובוס מתפלג נורמלית עם ממוצע 1010 דקות וסטיית תקן 44 דקות. איזה אחוז מהנוסעים מחכים בין 88 ל-1616 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62.47

הפתרון:

z1=8−104=−0.5z2=16−104=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{8-10}{4} \\ &= -0.5 \qquad z_2 \\ &= \frac{16-10}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן

19.15%19.15\%

משמאל לממוצע: חצי אחד

19.15%+14.98%+9.19%=43.32%19.15\%+14.98\%+9.19\%=43.32\%

מימין: שלושה חצאים

19.15%+43.32%=62.47%19.15\%+43.32\%=62.47\%

סך הכול

כל חצי סטיית תקן מקבל אחוז אחר. מי שכפל 4⋅19.15%4 \cdot 19.15\% הניח שכל הרצועות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

זמני הנסיעה בקו אוטובוס מתפלגים נורמלית. בגלל עבודות בכביש, כל זמן נסיעה מוכפל ב-1.21.2. מה קורה לאחוז הנסיעות שבין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעליו?

  1. אי אפשר לדעת בלי הממוצע
  2. נשאר 34.13%34.13\%
  3. קטן, כי הפעמון נעשה רחב יותר
  4. גדל פי 1.21.2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב נשאר 34.13%34.13\%

הפתרון:

μ→1.2μσ→1.2σ\mu \to 1.2\mu \qquad \sigma \to 1.2\sigma

שני הפרמטרים משתנים יחד

μ+σ→1.2(μ+σ)\mu+\sigma \to 1.2(\mu+\sigma)

גם גבול התחום זז באותו יחס

הנכונה: נשאר 34.13%34.13\%. התחום נמדד בסטיות תקן, וכל ציון תקן נשמר. זה נכון לכל התפלגות נורמלית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

משתנה XX מתפלג נורמלית עם ממוצע 8080. איזה שטח שווה לשטח P(74<X<80)P(74<X<80), בלי לחשב?

  1. P(68<X<74)P(68<X<74)
  2. P(80<X<86)P(80<X<86)
  3. P(74<X<86)P(74<X<86)
  4. P(X>86)P(X>86)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב P(80<X<86)P(80<X<86)

הפתרון:

80−74=6=86−80\begin{aligned}80-74 &= 6 \\ &= 86-80\end{aligned}

שני הקטעים באותו מרחק מהממוצע, משני הצדדים

הנכונה: P(80<X<86)P(80<X<86), בגלל הסימטריה. הקטע 6868–7474 באותו רוחב, אבל רחוק יותר מהממוצע, ולכן השטח שלו קטן יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו לכל תחום את אחוז התצפיות בו.

  • μ<X<μ+σ\mu<X<\mu+\sigma
  • μ−σ<X<μ+σ\mu-\sigma<X<\mu+\sigma
  • X>μ+2σX>\mu+2\sigma
  • X<μ+0.5σX<\mu+0.5\sigma
  • 2.28%2.28\%
  • 34.13%34.13\%
  • 68.26%68.26\%
  • 69.15%69.15\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: μ<X<μ+σ\mu<X<\mu+\sigma — 34.13%34.13\% · μ−σ<X<μ+σ\mu-\sigma<X<\mu+\sigma — 68.26%68.26\% · X>μ+2σX>\mu+2\sigma — 2.28%2.28\% · X<μ+0.5σX<\mu+0.5\sigma — 69.15%69.15\%

הפתרון:

19.15%+14.98%=34.13%19.15\%+14.98\%=34.13\%

מהממוצע עד סטיית תקן אחת

1.66%+0.49%+0.13%=2.28%1.66\%+0.49\%+0.13\%=2.28\%

הזנב מעל 2σ2\sigma

50%+19.15%=69.15%50\%+19.15\%=69.15\%

כל החצי השמאלי, ועוד רצועה אחת

X<μ+0.5σX<\mu+0.5\sigma כולל את כל החצי שמתחת לממוצע: מתחילים מ-50%50\%, לא מ-00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הממוצע נשאר, וסטיית התקן גדלה. מה גדל ומה קטן?

  • גדל
  • קטן
  • גובה הפעמון
  • האחוז בין μ−5\mu-5 ל-μ+5\mu+5
  • האחוז מעל μ+20\mu+20
  • רוחב הפעמון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: רוחב הפעמון — גדל · גובה הפעמון — קטן · האחוז בין μ−5\mu-5 ל-μ+5\mu+5 — קטן · האחוז מעל μ+20\mu+20 — גדל

הפתרון:

z=5σz=\frac{5}{\sigma}

σ\sigma גדלה, אז zz של הגבול קטן

השטח כולו נשאר 100%100\%: פעמון רחב הוא גם נמוך. התחום הקבוע סביב הממוצע מכיל פחות, והזנבות הרחוקים מכילים יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

היבול של עץ דובדבן בפרדס מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 ק״ג וסטיית תקן 1010 ק״ג. בפרדס 300300 עצים. בכמה עצים היבול גדול מ-5555 ק״ג? עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

z=55−4010=1.5\begin{aligned}z &= \frac{55-40}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

מתרגמים ל-zz

4.40%+1.66%+0.49%+0.13%=6.68%4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%=6.68\%

הזנב מעל 1.51.5 סטיות תקן

300⋅0.0668=20.04300 \cdot 0.0668=20.04

מאחוז לכמות

בערך 20 עצים. מי שכתב 6.686.68 שכח לכפול במספר העצים: השאלה שואלת כמה, לא איזה אחוז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת