טבלת ההתפלגות הנורמלית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מכונה ממלאת חבילות קפה. המשקל מתפלג נורמלית עם ממוצע 500500 גרם וסטיית תקן 44 גרם.

איזה אחוז מהחבילות שוקלות פחות מ-505505 גרם? z=505−5004=1.25z=\frac{505-500}{4}=1.25: זה לא מספר שלם של חצאי סטיית תקן, ולכן הרצועות של הנוסחאון לא מספיקות.

משקל חבילות הקפה: השטח משמאל ל-505
505?4884924965005045085120גרם

עוד לפני הטבלה: האחוז גדול מ-50%50\% או קטן ממנו? ובין אילו שני אחוזים הוא נמצא?

להציג את התשובה והפתרון

גדול: 505505 מעל הממוצע. 505505 נמצא בין μ+σ=504\mu+\sigma=504 לבין μ+1.5σ=506\mu+1.5\sigma=506, ולכן האחוז בין 84.13%84.13\% לבין 93.32%93.32\%.

הטבלה המצטברת Φ(z)\Phi(z)

Φ(z)=P(Z<z)\Phi(z)=P(Z<z)

Φ(z)\Phi(z) הוא השטח משמאל ל-zz: החלק של התצפיות שציון התקן שלהן קטן מ-zz.

P(X<a)=Φ(z)P(X<a)=\Phi(z)

השטח משמאל: קוראים ישר מהטבלה

P(X>a)=1−Φ(z)P(X>a)=1-\Phi(z)

השטח מימין: משלימים ל-11

P(a<X<b)=Φ(zb)−Φ(za)P(a<X<b)=\Phi(z_b)-\Phi(z_a)

השטח בין שני ערכים: הגדול פחות הקטן

Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z)=1-\Phi(z)

ל-zz שלילי: הסימטריה

בטבלה של הבגרות יש גם ערכי zz שליליים, מ-−3-3 עד 33.

ואם יש לכם רק zz חיוביים, הסימטריה משלימה: השטח משמאל ל-−z-z שווה לשטח מימין ל-zz. לכן Φ(−1.5)=1−0.9332=0.0668\Phi(-1.5)=1-0.9332=0.0668.

שלוש שאלות על חבילות הקפה

ממוצע 500500 גרם, סטיית תקן 44 גרם. Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944 ו-Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332.

P(X<505)=Φ(1.25)=0.8944\begin{aligned}P(X<505) &= \Phi(1.25) \\ &= 0.8944\end{aligned}

89.44%89.44\% שוקלות פחות מ-505505 גרם

P(X>505)=1−0.8944=0.1056\begin{aligned}P(X>505) &= 1-0.8944 \\ &= 0.1056\end{aligned}

10.56%10.56\% שוקלות יותר

z=494−5004=−1.5 ⇒ Φ(−1.5)=0.0668\begin{aligned}z &= \frac{494-500}{4} \\ &= -1.5 \ \Rightarrow \ \Phi(-1.5) \\ &= 0.0668\end{aligned}

הגבול התחתון

P(494<X<505)=0.8944−0.0668=0.8276\begin{aligned}P(494<X<505) &= 0.8944-0.0668 \\ &= 0.8276\end{aligned}

82.76%82.76\% בין שני המשקלים

איזה אחוז מהחבילות שוקלות יותר מ-494494 גרם?

להציג את התשובה והפתרון

P(X>494)=1−Φ(−1.5)=1−0.0668=0.9332P(X>494)=1-\Phi(-1.5)=1-0.0668=0.9332, כלומר 93.32%93.32\%. בגלל הסימטריה זה בדיוק Φ(1.5)\Phi(1.5).

פעמון והסתברות

אחוז הוא גם הסתברות. אם 10.56%10.56\% מהחבילות שוקלות יותר מ-505505 גרם, ההסתברות שחבילה שנבחרה באקראי שוקלת יותר מ-505505 היא 0.10560.1056. מכאן אפשר להמשיך עם כל הכלים של ההסתברות.

p⋅pp \cdot p

בוחרים שניים באופן בלתי תלוי: ההסתברות ששניהם בתחום

2p(1−p)2p(1-p)

בדיוק אחד מהשניים בתחום

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

«מתוך אלה ש…»: מחלקים בהסתברות של הקבוצה שבה מסתכלים

«מתוך אלה ש…»

הגובה של תלמידי י״ב מתפלג נורמלית עם ממוצע 170170 ס״מ וסטיית תקן 88 ס״מ. מתוך התלמידים שגבוהים מ-170170 ס״מ, איזה אחוז גבוהים מ-180180 ס״מ? Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944.

P(X>180)=1−Φ(1.25)=0.1056\begin{aligned}P(X>180) &= 1-\Phi(1.25) \\ &= 0.1056\end{aligned}

מי שגבוה מ-180180 הוא בוודאי גבוה מ-170170

P(X>170)=0.5P(X>170)=0.5

חצי מעל הממוצע

0.10560.5=0.2112\frac{0.1056}{0.5}=0.2112

מחלקים בגודל הקבוצה: 21.12%21.12\%

בוחרים באקראי שתי חבילות קפה, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות ששתיהן שוקלות פחות מ-505505 גרם?

להציג את התשובה והפתרון

0.8944⋅0.8944≈0.800.8944 \cdot 0.8944 \approx 0.80. כל חבילה בנפרד בתחום בהסתברות 0.89440.8944, ובגלל האי-תלות כופלים.

תמיד שרטטו פעמון קטן וסמנו את השטח המבוקש. אם השטח מכיל את הממוצע, התשובה גדולה מחצי; אם הוא זנב, היא קטנה מחצי.

שלוש טעויות בטבלה.

P(X>a)=Φ(z)P(X>a)=\Phi(z)
P(X>a)=1−Φ(z)P(X>a)=1-\Phi(z)

הטבלה נותנת תמיד את השטח משמאל.

Φ(−1.5)=−0.9332\Phi(-1.5)=-0.9332
Φ(−1.5)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}\Phi(-1.5) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

הסתברות אף פעם אינה שלילית. zz שלילי נותן שטח קטן מחצי.

P(X>180∣X>170)=0.1056P(X>180 \mid X>170)=0.1056
P(X>180∣X>170)=0.10560.5=0.2112\begin{aligned}P(X>180 \mid X>170) &= \frac{0.1056}{0.5} \\ &= 0.2112\end{aligned}

«מתוך אלה ש…» מקטין את הקבוצה, ולכן מחלקים בגודל שלה.

תרגילים

תרגיל 1

משקל חבילות אורז מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם וסטיית תקן 88 גרם. איזה אחוז מהחבילות שוקלות פחות מ-10101010 גרם? נתון: Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 89.44

הפתרון:

z=1010−10008=1.25\begin{aligned}z &= \frac{1010-1000}{8} \\ &= 1.25\end{aligned}

ציון התקן

P(X<1010)=Φ(1.25)=0.8944\begin{aligned}P(X<1010) &= \Phi(1.25) \\ &= 0.8944\end{aligned}

שטח משמאל: ישר מהטבלה

89.44%89.44\%. מי שענה 10.56%10.56\% השלים ל-11 בלי סיבה: «פחות מ-» הוא השטח משמאל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

משקל חבילות אורז מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם וסטיית תקן 88 גרם. איזה אחוז מהחבילות שוקלות יותר מ-10101010 גרם? נתון: Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.56

הפתרון:

z=1.25z=1.25

כמו קודם

P(X>1010)=1−0.8944=0.1056\begin{aligned}P(X>1010) &= 1-0.8944 \\ &= 0.1056\end{aligned}

שטח מימין: משלימים ל-11

«יותר מ-» הוא השטח מימין, והטבלה נותנת את השמאלי. לכן 1−Φ(z)1-\Phi(z).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

משקל חבילות אורז מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם וסטיית תקן 88 גרם. איזה אחוז מהחבילות שוקלות פחות מ-988988 גרם? נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.68

הפתרון:

z=988−10008=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{988-1000}{8} \\ &= -1.5\end{aligned}

ציון תקן שלילי

Φ(−1.5)=1−Φ(1.5)=0.0668\begin{aligned}\Phi(-1.5) &= 1-\Phi(1.5) \\ &= 0.0668\end{aligned}

הסימטריה

6.68%6.68\%. זנב שמאלי, ולכן פחות מחצי. מי שענה 93.32%93.32\% קרא את הטבלה בלי לטפל במינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

משקל חבילות אורז מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם וסטיית תקן 88 גרם. איזה אחוז מהחבילות שוקלות בין 988988 ל-10101010 גרם? נתון: Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 82.76

הפתרון:

Φ(1.25)=0.8944Φ(−1.5)=0.0668\begin{aligned}\Phi(1.25) &= 0.8944 \qquad \Phi(-1.5) \\ &= 0.0668\end{aligned}

שני הגבולות

0.8944−0.0668=0.82760.8944-0.0668=0.8276

הגדול פחות הקטן

שטח בין שני ערכים הוא הפרש של שני שטחים שמאליים. מי שחיבר 0.8944+0.93320.8944+0.9332 קיבל יותר מ-11: סימן בטוח לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

משתנה XX מתפלג נורמלית עם ממוצע μ\mu וסטיית תקן σ\sigma. למה שווה P(X>μ−0.8σ)P(X>\mu-0.8\sigma)?

  1. 1−Φ(0.8)1-\Phi(0.8)
  2. Φ(−0.8)\Phi(-0.8)
  3. 2Φ(0.8)−12\Phi(0.8)-1
  4. Φ(0.8)\Phi(0.8)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד Φ(0.8)\Phi(0.8)

הפתרון:

z=−0.8z=-0.8

הערך μ−0.8σ\mu-0.8\sigma

P(Z>−0.8)=1−Φ(−0.8)=Φ(0.8)\begin{aligned}P(Z>-0.8) &= 1-\Phi(-0.8) \\ &= \Phi(0.8)\end{aligned}

הסימטריה

הנכונה: Φ(0.8)\Phi(0.8). השטח מימין ל-−0.8-0.8 שווה לשטח משמאל ל-0.80.8. הוא מכיל את הממוצע, ולכן גדול מחצי: 1−Φ(0.8)1-\Phi(0.8) ו-Φ(−0.8)\Phi(-0.8) קטנים מחצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

זמן הנסיעה ברכבת מבאר שבע לתל אביב מתפלג נורמלית עם ממוצע 5858 דקות וסטיית תקן 55 דקות. בחודש מסוים היו 400400 נסיעות. בכמה מהן הנסיעה נמשכה יותר מ-6565 דקות? נתון: Φ(1.4)=0.9192\Phi(1.4)=0.9192. עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

z=65−585=1.4\begin{aligned}z &= \frac{65-58}{5} \\ &= 1.4\end{aligned}

ציון התקן

P(X>65)=1−0.9192=0.0808\begin{aligned}P(X>65) &= 1-0.9192 \\ &= 0.0808\end{aligned}

זנב ימני

400⋅0.0808=32.32400 \cdot 0.0808=32.32

מאחוז לכמות

בערך 3232 נסיעות. מי שכפל 400⋅0.9192400 \cdot 0.9192 ספר את הנסיעות הקצרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

זמן הנסיעה ברכבת מבאר שבע לתל אביב מתפלג נורמלית עם ממוצע 5858 דקות וסטיית תקן 55 דקות. נוסע בוחר באקראי שתי נסיעות, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות ששתיהן נמשכו פחות מ-6363 דקות? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7078

הפתרון:

z=63−585=1 ⇒ p=0.8413\begin{aligned}z &= \frac{63-58}{5} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.8413\end{aligned}

נסיעה אחת

0.8413⋅0.8413≈0.710.8413 \cdot 0.8413 \approx 0.71

שתי נסיעות בלתי תלויות: כופלים

בערך 0.710.71. מי שענה 0.84130.8413 חישב לנסיעה אחת; «שתיהן» דורש מכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

זמן הנסיעה ברכבת מבאר שבע לתל אביב מתפלג נורמלית עם ממוצע 5858 דקות וסטיית תקן 55 דקות. בוחרים באקראי שתי נסיעות, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שבדיוק אחת מהן נמשכה פחות מ-6363 דקות? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.267

הפתרון:

p=0.84131−p=0.1587\begin{aligned}p &= 0.8413 \qquad 1-p \\ &= 0.1587\end{aligned}

קצרה או ארוכה

2⋅0.8413⋅0.1587≈0.272 \cdot 0.8413 \cdot 0.1587 \approx 0.27

שני סדרים: הראשונה קצרה או השנייה

בערך 0.270.27. בלי הכפל ב-22 סופרים רק סדר אחד: «הראשונה קצרה והשנייה ארוכה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגובה של בנות י״א מתפלג נורמלית עם ממוצע 164164 ס״מ וסטיית תקן 66 ס״מ. מתוך הבנות שגבוהות מ-164164 ס״מ, איזה אחוז גבוהות מ-173173 ס״מ? נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.36

הפתרון:

P(X>173)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X>173) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

z=1.5z=1.5

P(X>164)=0.5P(X>164)=0.5

חצי מעל הממוצע

0.06680.5=0.1336\frac{0.0668}{0.5}=0.1336

מחלקים בגודל הקבוצה

13.36%13.36\%. מי שענה 6.68%6.68\% ענה על «מתוך כל הבנות». כאן מסתכלים רק על החצי הגבוה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

זמן הנסיעה ברכבת מבאר שבע לתל אביב מתפלג נורמלית עם ממוצע 5858 דקות וסטיית תקן 55 דקות. מתוך הנסיעות שנמשכו פחות מ-6363 דקות, איזה אחוז נמשכו יותר מ-5353 דקות? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81.14

הפתרון:

P(53<X<63)=0.8413−0.1587=0.6826\begin{aligned}P(53<X<63) &= 0.8413-0.1587 \\ &= 0.6826\end{aligned}

החיתוך: בין שני הערכים

P(X<63)=0.8413P(X<63)=0.8413

הקבוצה שבה מסתכלים

0.68260.8413≈0.8114\frac{0.6826}{0.8413} \approx 0.8114

הסתברות מותנית

המונה הוא החיתוך — נסיעות שגם קצרות מ-6363 וגם ארוכות מ-5353 — לא P(X>53)P(X>53) כולו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

Φ(−0.5)=1−Φ(0.5)\Phi(-0.5)=1-\Phi(0.5), כלומר השטח משמאל ל-−0.5-0.5 שווה לשטח מימין ל-0.50.5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

Φ(−0.5)=1−0.6915=0.3085\begin{aligned}\Phi(-0.5) &= 1-0.6915 \\ &= 0.3085\end{aligned}

נכון: זו הסימטריה של הפעמון. שני הזנבות באותו מרחק מהממוצע, ולכן שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

סדרו את ההסתברויות מהקטנה לגדולה. נתון: Φ(0.3)=0.6179\Phi(0.3)=0.6179, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772.

  • P(−1<Z<1)P(-1<Z<1)
  • P(Z<−1)P(Z<-1)
  • P(Z<0.3)P(Z<0.3)
  • P(Z>−2)P(Z>-2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(Z<−1)P(Z<-1) · P(Z<0.3)P(Z<0.3) · P(−1<Z<1)P(-1<Z<1) · P(Z>−2)P(Z>-2)

הפתרון:

P(Z<−1)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}P(Z<-1) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

זנב שמאלי

P(Z<0.3)=0.6179P(Z<0.3)=0.6179

קצת יותר מחצי

P(−1<Z<1)=2⋅0.8413−1=0.6826\begin{aligned}P(-1<Z<1) &= 2 \cdot 0.8413-1 \\ &= 0.6826\end{aligned}

סטיית תקן לכל צד

P(Z>−2)=0.9772P(Z>-2)=0.9772

כמעט הכול

P(Z>−2)P(Z>-2) נראה כמו זנב, אבל הוא מכיל את הממוצע: הוא גדול מחצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

אורך הגבעולים של פרחים מתפלג נורמלית עם ממוצע 2020 ס״מ וסטיית תקן 55 ס״מ. נתון: Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849. השלימו.

אחוז הגבעולים שאורכם יותר מ-2626 ס״מ: ____% ; מתוך 400400 גבעולים, מספר הגבעולים הארוכים מ-2626 ס״מ, בעיגול: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחוז הגבעולים שאורכם יותר מ-2626 ס״מ: 11.51% ; מתוך 400400 גבעולים, מספר הגבעולים הארוכים מ-2626 ס״מ, בעיגול: 46

הפתרון:

z=26−205=1.2\begin{aligned}z &= \frac{26-20}{5} \\ &= 1.2\end{aligned}

מתרגמים ל-zz

P(X>26)=1−0.8849=0.1151\begin{aligned}P(X>26) &= 1-0.8849 \\ &= 0.1151\end{aligned}

השטח מימין

400⋅0.1151=46.04400 \cdot 0.1151=46.04

מאחוז לכמות

מי שכתב 88.49%88.49\% קרא את השטח משמאל. «יותר מ-» הוא השטח מימין: משלימים ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת