חישוב הפוך

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בתחרות ריצה של 22 ק״מ, הזמנים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 600600 שניות וסטיית תקן 4040 שניות.

10%10\% המהירים ביותר עולים לגמר. מה הזמן הגבוה ביותר שעוד מכניס לגמר? הפעם האחוז ידוע, והערך לא.

הזמן הזה קטן מ-600600 או גדול ממנו? ומה יהיה הסימן של zz?

להציג את התשובה והפתרון

קטן: המהירים הם בעלי הזמנים הקצרים, בזנב השמאלי. לכן zz שלילי.

ארבעה צעדים, בכיוון ההפוך

P(X<x)=0.10P(X<x)=0.10

כותבים את האחוז כשטח משמאל לערך

Φ(1.28)=0.8997≈0.90\Phi(1.28)=0.8997 \approx 0.90

מחפשים בתוך הטבלה את השטח, ל-zz חיובי: 1−0.10=0.901-0.10=0.90

z=−1.28z=-1.28

קובעים את הסימן לפי הצד של הממוצע

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

חוזרים ליחידות של השאלה

הזמן שמכניס לגמר

ממוצע 600600 שניות, סטיית תקן 4040 שניות, 10%10\% המהירים. נתון: Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997.

P(X<x)=0.10P(X<x)=0.10

השטח משמאל לזמן המבוקש

Φ(z)=0.10 ⇒ Φ(−z)=0.90 ⇒ −z=1.28\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.10 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.90 \ \Rightarrow \ -z \\ &= 1.28\end{aligned}

מחפשים 0.100.10 בתוך הטבלה, או 0.900.90 ואז הסימטריה

z=−1.28z=-1.28

זנב שמאלי

x=600−1.28⋅40=548.8\begin{aligned}x &= 600-1.28 \cdot 40 \\ &= 548.8\end{aligned}

הזמן: 548.8548.8 שניות

מציאת σ\sigma או μ\mu

אם הממוצע ידוע וסטיית התקן לא (או להפך), מוצאים את zz מהאחוז ומציבים ב-z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}. מתקבלת משוואה עם נעלם אחד.

מציאת סטיית התקן

משקל תפוזים מתפלג נורמלית עם ממוצע 180180 גרם. 6.68%6.68\% מהתפוזים שוקלים פחות מ-165165 גרם. נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. מצאו את סטיית התקן.

P(X<165)=0.0668 ⇒ z=−1.5\begin{aligned}P(X<165) &= 0.0668 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.5\end{aligned}

1−0.0668=0.93321-0.0668=0.9332, וזנב שמאלי

−1.5=165−180σ-1.5=\frac{165-180}{\sigma}

מציבים

σ=−15−1.5=10\begin{aligned}\sigma &= \frac{-15}{-1.5} \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן: 1010 גרם

סטיית התקן 55, ו-30.85%30.85\% מהערכים גדולים מ-4747. מהו הממוצע? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915.

להציג את התשובה והפתרון

P(X<47)=1−0.3085=0.6915P(X<47)=1-0.3085=0.6915, ולכן z=0.5z=0.5. 47=μ+0.5⋅547=\mu+0.5 \cdot 5, כלומר μ=44.5\mu=44.5. 4747 מעל הממוצע, כי מעליו פחות מחצי.

שני זנבות שווים

אם אותו אחוז נמצא מתחת ל-aa ומעל ל-bb, הממוצע נמצא בדיוק באמצע: μ=a+b2\mu=\frac{a+b}{2}, בגלל הסימטריה.

אחר כך מוצאים את σ\sigma מאחד הזנבות. ואם שני האחוזים שונים, כותבים שתי משוואות x=μ+zσx=\mu+z\sigma ופותרים מערכת.

בדיקת סימן מהירה: אם פחות מחצי מהתצפיות מתחת לערך, zz שלילי. אם יותר מחצי, zz חיובי.

שלוש טעויות בחישוב ההפוך.

P(X<x)=0.10 ⇒ z=1.28\begin{aligned}P(X<x) &= 0.10 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.28\end{aligned}
P(X<x)=0.10 ⇒ z=−1.28\begin{aligned}P(X<x) &= 0.10 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.28\end{aligned}

10%10\% משמאל הוא זנב שמאלי: מתחת לממוצע.

P(X>47)=0.3085 ⇒ Φ(z)=0.3085\begin{aligned}P(X>47) &= 0.3085 \ \Rightarrow \ \Phi(z) \\ &= 0.3085\end{aligned}
Φ(z)=1−0.3085=0.6915\begin{aligned}\Phi(z) &= 1-0.3085 \\ &= 0.6915\end{aligned}

הטבלה נותנת שטח משמאל. אחוז שמעל הערך הופכים קודם.

−1.5=180−165σ-1.5=\frac{180-165}{\sigma}
−1.5=165−180σ-1.5=\frac{165-180}{\sigma}

במונה: הערך פחות הממוצע. הסדר ההפוך נותן σ\sigma שלילית, סימן בטוח לטעות.

תרגילים

תרגיל 1

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 6060 וסטיית תקן 88. 93.32%93.32\% מהערכים קטנים מ-xx. מצאו את xx. נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

Φ(z)=0.9332 ⇒ z=1.5\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.9332 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.5\end{aligned}

השטח משמאל גדול מחצי: zz חיובי

x=60+1.5⋅8=72\begin{aligned}x &= 60+1.5 \cdot 8 \\ &= 72\end{aligned}

מהציון אל הערך

מי שענה 4848 שם z=−1.5z=-1.5. יותר מחצי מהערכים מתחת ל-xx, ולכן xx מעל הממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ציוני בחינה ארצית מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7575 וסטיית תקן 1010. 10%10\% מהנבחנים עם הציונים הגבוהים ביותר מקבלים תעודת הצטיינות. מהו הציון הנמוך ביותר שמקבל הצטיינות? נתון: Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 87.8

הפתרון:

P(X<x)=0.90 ⇒ z=1.28\begin{aligned}P(X<x) &= 0.90 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.28\end{aligned}

90%90\% מתחת לסף

x=75+1.28⋅10=87.8\begin{aligned}x &= 75+1.28 \cdot 10 \\ &= 87.8\end{aligned}

הסף

מי שחיפש בטבלה 0.100.10 ולא 0.900.90 התבלבל בכיוון: הטבלה נותנת את השטח משמאל, ומשמאל לסף נמצאים 90%90\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ציוני בחינה ארצית מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7575 וסטיית תקן 1010. 20%20\% מהנבחנים, עם הציונים הנמוכים ביותר, מוזמנים לתגבור. מהו הציון הגבוה ביותר שמוזמן לתגבור? נתון: Φ(0.84)=0.7995\Phi(0.84)=0.7995. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 66.6

הפתרון:

P(X<x)=0.20 ⇒ Φ(−z)=0.80\begin{aligned}P(X<x) &= 0.20 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.80\end{aligned}

בטבלה מחפשים 0.800.80

z=−0.84z=-0.84

זנב שמאלי

x=75−0.84⋅10=66.6\begin{aligned}x &= 75-0.84 \cdot 10 \\ &= 66.6\end{aligned}

הסף

ציון מתחת לממוצע, ולכן zz שלילי. 83.483.4 הוא הסף של 20%20\% העליונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

משקל אשכוליות מתפלג נורמלית עם ממוצע 200200 גרם. 6.68%6.68\% מהאשכוליות שוקלות פחות מ-182182 גרם. מהי סטיית התקן (בגרם)? נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

P(X<182)=0.0668 ⇒ z=−1.5\begin{aligned}P(X<182) &= 0.0668 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.5\end{aligned}

זנב שמאלי

−1.5=182−200σ-1.5=\frac{182-200}{\sigma}

מציבים

σ=181.5=12\begin{aligned}\sigma &= \frac{18}{1.5} \\ &= 12\end{aligned}

סטיית התקן

שני הסימנים השליליים מבטלים זה את זה, וסטיית התקן יוצאת חיובית כמו שצריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

זמן ההמתנה בתור לקופה מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 1.51.5 דקות. 30.85%30.85\% מהלקוחות מחכים יותר מ-77 דקות. מהו הממוצע (בדקות)? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.25

הפתרון:

P(X<7)=1−0.3085=0.6915 ⇒ z=0.5\begin{aligned}P(X<7) &= 1-0.3085 \\ &= 0.6915 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.5\end{aligned}

השטח משמאל

7=μ+0.5⋅1.57=\mu+0.5 \cdot 1.5

מציבים

μ=7−0.75=6.25\begin{aligned}\mu &= 7-0.75 \\ &= 6.25\end{aligned}

הממוצע

מעל 77 פחות מחצי מהלקוחות, ולכן 77 מעל הממוצע. מי שקיבל 7.757.75 טעה בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

משתנה מתפלג נורמלית. 11.51%11.51\% מהערכים קטנים מ-3838, ו-11.51%11.51\% גדולים מ-6262. נתון: Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849. השלימו.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: μ=\mu= 50 , σ=\sigma= 10

הפתרון:

μ=38+622=50\begin{aligned}\mu &= \frac{38+62}{2} \\ &= 50\end{aligned}

שני זנבות שווים: הממוצע באמצע

P(X>62)=0.1151 ⇒ z=1.2\begin{aligned}P(X>62) &= 0.1151 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.2\end{aligned}

1−0.1151=0.88491-0.1151=0.8849

62=50+1.2σ ⇒ σ=10\begin{aligned}62 &= 50+1.2\sigma \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן

את הממוצע נותנת הסימטריה, בלי טבלה. את סטיית התקן נותן זנב אחד, לא הסכום 23.02%23.02\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 100100 וסטיית תקן 1515. 25%25\% מהערכים קטנים מ-xx. נתון: Φ(0.67)=0.7486\Phi(0.67)=0.7486. מהו xx בקירוב?

  1. 99.3399.33
  2. 110.05110.05
  3. 89.9589.95
  4. 96.2596.25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 89.9589.95

הפתרון:

Φ(z)=0.25 ⇒ Φ(−z)=0.75 ⇒ z≈−0.67\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.25 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.75 \ \Rightarrow \ z \approx -0.67\end{aligned}

פחות מחצי משמאל: zz שלילי

x=100−0.67⋅15=89.95\begin{aligned}x &= 100-0.67 \cdot 15 \\ &= 89.95\end{aligned}

הערך

הנכונה: 89.9589.95. 110.05110.05 שוכח את המינוס; 99.3399.33 מחסיר את zz בלי לכפול בסטיית התקן; 96.2596.25 מחסיר רבע מסטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

החציון של זמני ריצה מתפלגים נורמלית הוא 3030 דקות. 21.19%21.19\% מהרצים רצו יותר מ-3434 דקות. מהי סטיית התקן (בדקות)? נתון: Φ(0.8)=0.7881\Phi(0.8)=0.7881.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

μ=30\mu=30

בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע

P(X<34)=0.7881 ⇒ z=0.8\begin{aligned}P(X<34) &= 0.7881 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.8\end{aligned}

השטח משמאל

0.8=34−30σ ⇒ σ=5\begin{aligned}0.8 &= \frac{34-30}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 5\end{aligned}

סטיית התקן

המילה «חציון» היא הנתון על הממוצע. בלעדיה חסר נעלם, ואי אפשר לפתור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

משתנה מתפלג נורמלית. 2.28%2.28\% מהערכים קטנים מ-4646, ו-84.13%84.13\% מהערכים קטנים מ-6464. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. השלימו.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: μ=\mu= 58 , σ=\sigma= 6

הפתרון:

P(X<46)=0.0228 ⇒ z=−2 ⇒ μ−2σ=46\begin{aligned}P(X<46) &= 0.0228 \ \Rightarrow \ z \\ &= -2 \ \Rightarrow \ \mu-2\sigma \\ &= 46\end{aligned}

משוואה ראשונה

P(X<64)=0.8413 ⇒ z=1 ⇒ μ+σ=64\begin{aligned}P(X<64) &= 0.8413 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1 \ \Rightarrow \ \mu+\sigma \\ &= 64\end{aligned}

משוואה שנייה

3σ=18 ⇒ σ=6μ=58\begin{aligned}3\sigma &= 18 \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 6 \\ \quad \mu &= 58\end{aligned}

מחסירים את המשוואות

שני אחוזים שונים: אין סימטריה, והממוצע איננו 46+642=55\frac{46+64}{2}=55. פותרים מערכת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אורך הגבעולים של פרחים מתפלג נורמלית עם ממוצע 2020 ס״מ. 65.54%65.54\% מהגבעולים קצרים מ-2222 ס״מ. מהי סטיית התקן (בס״מ)? נתון: Φ(0.4)=0.6554\Phi(0.4)=0.6554.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

P(X<22)=0.6554 ⇒ z=0.4\begin{aligned}P(X<22) &= 0.6554 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.4\end{aligned}

יותר מחצי: zz חיובי

0.4=22−20σ0.4=\frac{22-20}{\sigma}

מציבים

σ=20.4=5\begin{aligned}\sigma &= \frac{2}{0.4} \\ &= 5\end{aligned}

סטיית התקן

2222 מעל הממוצע, כי מתחתיו יותר מחצי. מי שקיבל zz שלילי הפך את הצד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

משתנה מתפלג נורמלית. 30%30\% מהערכים גדולים מ-xx. מה נכון?

  1. xx מעל הממוצע, ו-zz חיובי
  2. אי אפשר לדעת בלי הטבלה
  3. xx מתחת לממוצע, ו-zz שלילי
  4. xx שווה לממוצע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א xx מעל הממוצע, ו-zz חיובי

הפתרון:

P(X<x)=1−0.30=0.70>0.5\begin{aligned}P(X<x) &= 1-0.30 \\ &= 0.70>0.5\end{aligned}

מתחת ל-xx יש יותר מחצי

מעל xx יש פחות מחצי, ולכן xx מעל הממוצע. הסימן נקבע בלי טבלה: הטבלה נותנת רק את הגודל של zz.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ממוצע 5050, סטיית תקן 1010. 15%15\% מהערכים קטנים מ-xx. נתון: Φ(1.04)=0.8508\Phi(1.04)=0.8508. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

P(X<x)=0.15 ⇒ z=1.04\begin{aligned}P(X<x) &= 0.15 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.04\end{aligned}
x=μ+zσx=\mu+z\sigma
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(X<x)=0.15 ⇒ z=1.04P(X<x)=0.15 \ \Rightarrow \ z=1.04 → P(X<x)=0.15 ⇒ z=−1.04P(X<x)=0.15 \ \Rightarrow \ z=-1.04

הפתרון:

1−0.15=0.85≈Φ(1.04)1-0.15=0.85 \approx \Phi(1.04)

הגודל של zz

z=−1.04z=-1.04

זנב שמאלי: מתחת לממוצע

x=50−1.04⋅10=39.6\begin{aligned}x &= 50-1.04 \cdot 10 \\ &= 39.6\end{aligned}

הערך

15%15\% משמאל הוא זנב שמאלי, ולכן zz שלילי. עם z=1.04z=1.04 יוצא 60.460.4, ערך שמעליו רק 15%15\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת