פותרים יחד

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ארבע שאלות בסגנון שאלת ההתפלגות הנורמלית בבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חישוב ישיר עם כמות והסתברות, מציאת סטיית התקן, השוואה בציוני תקן, ו«מתוך אלה ש…». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה: שרטטו פעמון, סמנו את השטח, וכתבו את ערך הטבלה שבו השתמשתם.

1 — אחוז, כמות ושתי נסיעות

בסעיף ג, למה מותר לכפול את שתי ההסתברויות?

להציג את התשובה והפתרון

כי שתי הנסיעות נבחרו באופן בלתי תלוי: מה שקרה בנסיעה אחת לא משנה את ההסתברות בשנייה. בלי אי-תלות, הכפל לא מוצדק.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מציאת סטיית התקן

איך אפשר לדעת עוד לפני החישוב ש-zz שלילי?

להציג את התשובה והפתרון

רק 4.01%4.01\% מהחבילות מתחת ל-243243, פחות מחצי. לכן 243243 מתחת לממוצע, ו-z<0z<0.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שני מבחנים, אותו ציון תקן

בסעיף ב: למה 8181 ו-8484 יכולים להיות «שווים» אף שהם מספרים שונים?

להציג את התשובה והפתרון

ציון התקן מודד מקום יחסי. בשני המבחנים הציון נמצא 1.51.5 סטיות תקן מעל הממוצע, ולכן אותו אחוז מהתלמידים, 6.68%6.68\%, קיבל יותר ממנו.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «מתוך אלה ש…»

האם התשובה יכולה להיות גדולה מ-P(X>199)P(X>199)? למה?

להציג את התשובה והפתרון

כן, והיא תמיד כזו (או שווה). מחלקים במספר קטן מ-11, כי הקבוצה שבה מסתכלים קטנה מכל השחקנים. בתוך קבוצת הגבוהים, «גבוה מאוד» שכיח יותר.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מוסיפה חישוב הפוך של סף.

תרגילים

תרגיל 1

זמן הנסיעה בקו אוטובוס בין ירושלים לבית שמש מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 דקות וסטיית תקן 55 דקות. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849. השלימו.

אחוז הנסיעות שנמשכות יותר מ-4646 דקות: ____ % ; מתוך 300300 נסיעות, בערך ____ נמשכו בין 3535 ל-4646 דקות (מספר שלם) ; ההסתברות ששתי נסיעות שנבחרו באקראי, באופן בלתי תלוי, נמשכו שתיהן פחות מ-4646 דקות (שתי ספרות אחרי הנקודה): ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחוז הנסיעות שנמשכות יותר מ-4646 דקות: 11.51 % ; מתוך 300300 נסיעות, בערך 218 נמשכו בין 3535 ל-4646 דקות (מספר שלם) ; ההסתברות ששתי נסיעות שנבחרו באקראי, באופן בלתי תלוי, נמשכו שתיהן פחות מ-4646 דקות (שתי ספרות אחרי הנקודה): 0.783

הפתרון:

z=46−405=1.2 ⇒ 1−0.8849=0.1151\begin{aligned}z &= \frac{46-40}{5} \\ &= 1.2 \ \Rightarrow \ 1-0.8849 \\ &= 0.1151\end{aligned}

זנב ימני

0.8849−0.1587=0.7262 ⇒ 300⋅0.7262=217.86\begin{aligned}0.8849-0.1587 &= 0.7262 \ \Rightarrow \ 300 \cdot 0.7262 \\ &= 217.86\end{aligned}

בין z=−1z=-1 ל-z=1.2z=1.2

0.88492≈0.780.8849^2 \approx 0.78

שתי נסיעות בלתי תלויות

בסעיף האחרון מבקשים «פחות מ-4646», ולכן כופלים את 0.88490.8849 ולא את 0.11510.1151.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

משקל שקי קמח מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם. 4.01%4.01\% מהשקים שוקלים פחות מ-986986 גרם. מהי סטיית התקן (בגרם)? נתון: Φ(1.75)=0.9599\Phi(1.75)=0.9599.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

P(X<986)=0.0401 ⇒ z=−1.75\begin{aligned}P(X<986) &= 0.0401 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.75\end{aligned}

זנב שמאלי

−1.75=986−1000σ ⇒ σ=8\begin{aligned}-1.75 &= \frac{986-1000}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 8\end{aligned}

פותרים

מי שקיבל −8-8 הפך את המונה. מי שחיפש 0.04010.0401 בתוך הטבלה לא מצא אותו: בטבלה יש רק שטחים של zz חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ציוני מבחן א מתפלגים נורמלית עם ממוצע 6565 וסטיית תקן 1010. ציוני מבחן ב מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 88. הציון 8282 במבחן ב הוא בעל אותו ציון תקן כמו 8080 במבחן א. השלימו.

ציון התקן: ____ ; הממוצע במבחן ב: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ציון התקן: 1.5 ; הממוצע במבחן ב: 70

הפתרון:

z=80−6510=1.5\begin{aligned}z &= \frac{80-65}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

במבחן א

μ=82−1.5⋅8=70\begin{aligned}\mu &= 82-1.5 \cdot 8 \\ &= 70\end{aligned}

במבחן ב

אותו ציון תקן, לא אותו מרחק: במבחן ב סטייה וחצי הן 1212 נקודות, לא 1515.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 5050 וסטיית תקן 1010. מתוך הערכים שגדולים מ-5555, איזה אחוז גדולים מ-6565? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.65

הפתרון:

P(X>65)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X>65) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

החיתוך

P(X>55)=1−0.6915=0.3085\begin{aligned}P(X>55) &= 1-0.6915 \\ &= 0.3085\end{aligned}

התנאי

0.06680.3085≈0.2165\frac{0.0668}{0.3085} \approx 0.2165

מחלקים

21.65%21.65\%. בלי החלוקה ב-0.30850.3085 עונים על «מתוך כל הערכים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

זמני התגובה במשחק מחשב מתפלגים נורמלית עם ממוצע 120120 מאיות שנייה וסטיית תקן 1515. 5%5\% מהשחקנים, עם זמני התגובה הארוכים ביותר, מקבלים אימון נוסף. מהו הזמן הקצר ביותר שמקבל אימון? נתון: Φ(1.645)=0.95\Phi(1.645)=0.95. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 144.68

הפתרון:

P(X<x)=0.95 ⇒ z=1.645\begin{aligned}P(X<x) &= 0.95 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.645\end{aligned}

הזמנים הארוכים: זנב ימני

x=120+1.645⋅15≈144.68x=120+1.645 \cdot 15 \approx 144.68

הסף

כאן הזמנים הארוכים הם הזנב, ולכן zz חיובי. מי שהחסיר חיפש את הזנב הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

משקל אבטיחים מתפלג נורמלית עם ממוצע 88 ק״ג וסטיית תקן 1.51.5 ק״ג. נתון: Φ(1.33)=0.9082\Phi(1.33)=0.9082. השלימו.

א. אחוז האבטיחים ששוקלים יותר מ-1010 ק״ג: ____% ; ב. מתוך 500500 אבטיחים, כמה שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול: ____ ; ג. בוחרים שני אבטיחים באופן בלתי תלוי. ההסתברות ששניהם שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול לארבע ספרות אחרי הנקודה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א. אחוז האבטיחים ששוקלים יותר מ-1010 ק״ג: 9.18% ; ב. מתוך 500500 אבטיחים, כמה שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול: 46 ; ג. בוחרים שני אבטיחים באופן בלתי תלוי. ההסתברות ששניהם שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול לארבע ספרות אחרי הנקודה: 0.0084

הפתרון:

z=10−81.5≈1.33z=\frac{10-8}{1.5}\approx 1.33

מתרגמים ל-zz, בעיגול לשתי ספרות

P(X>10)=1−0.9082=0.0918\begin{aligned}P(X>10) &= 1-0.9082 \\ &= 0.0918\end{aligned}

השטח מימין

500⋅0.0918=45.9500 \cdot 0.0918=45.9

מאחוז לכמות

0.09182≈0.00840.0918^2 \approx 0.0084

שני אבטיחים, בלתי תלויים: כופלים

בסעיף ג כופלים את ההסתברות, לא את האחוז: 9.18⋅9.189.18 \cdot 9.18 נותן מספר גדול מ-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

אורך גבעולים מתפלג נורמלית. החציון 3030 ס״מ, ו-15.87%15.87\% מהגבעולים ארוכים מ-3333 ס״מ. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. השלימו.

סטיית התקן: ____ ס״מ ; אחוז הגבעולים הקצרים מ-2727 ס״מ: ____%

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סטיית התקן: 3 ס״מ ; אחוז הגבעולים הקצרים מ-2727 ס״מ: 15.87%

הפתרון:

μ=30\mu=30

בפעמון החציון שווה לממוצע

P(X<33)=0.8413 ⇒ z=1\begin{aligned}P(X<33) &= 0.8413 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1\end{aligned}

השטח משמאל

1=33−30σ ⇒ σ=3\begin{aligned}1 &= \frac{33-30}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 3\end{aligned}

סטיית התקן

27=30−3 ⇒ z=−1\begin{aligned}27 &= 30-3 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1\end{aligned}

הסימטריה: אותו זנב בצד השני

הצעד הראשון הוא הממוצע, ובשאלה הוא מסתתר מאחורי המילה חציון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשחייה ובריצה, זמן קצר יותר הוא תוצאה טובה יותר. שחקן א שחה 5757 שניות, בקבוצה שבה הממוצע 6060 וסטיית התקן 22. שחקן ב רץ 12.412.4 שניות, בקבוצה שבה הממוצע 1313 וסטיית התקן 0.50.5. מי הצליח יותר ביחס לקבוצה שלו?

  1. שחקן א
  2. שחקן ב
  3. אי אפשר להשוות שני ענפים
  4. שניהם באותו מקום יחסי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שחקן א

הפתרון:

zA=57−602=−1.5\begin{aligned}z_A &= \frac{57-60}{2} \\ &= -1.5\end{aligned}

שחקן א

zB=12.4−130.5=−1.2\begin{aligned}z_B &= \frac{12.4-13}{0.5} \\ &= -1.2\end{aligned}

שחקן ב

−1.5<−1.2-1.5<-1.2

זמן: ככל ש-zz קטן יותר, התוצאה טובה יותר

הנכונה: שחקן א. מי שבחר בשחקן ב בחר ב-zz הגדול, אבל כאן זמן ארוך הוא חיסרון: מחפשים את zz השלילי יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגובה של מתגייסים מתפלג נורמלית עם ממוצע 170170 ס״מ וסטיית תקן 1010 ס״מ. מתוך המתגייסים שגבוהים מ-160160 ס״מ, איזה אחוז גבוהים מ-180180 ס״מ? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.86

הפתרון:

P(X>180)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}P(X>180) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

מי שגבוה מ-180180 בוודאי גבוה מ-160160

P(X>160)=0.8413P(X>160)=0.8413

הסימטריה: z=−1z=-1

0.15870.8413≈0.1886\frac{0.1587}{0.8413}\approx 0.1886

מחלקים בגודל הקבוצה

«מתוך אלה ש…» מחלקים ב-0.84130.8413. מי שענה 15.87%15.87\% ענה על השאלה בלי ה«מתוך».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

היבול של עץ דובדבן מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 ק״ג וסטיית תקן 1010 ק״ג. בשנה יבשה היבול של כל עץ קטן ב-20%20\%. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. השלימו.

הממוצע החדש: ____ ק״ג ; סטיית התקן החדשה: ____ ק״ג ; אחוז העצים שהיבול שלהם עכשיו גדול מ-4040 ק״ג: ____%

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע החדש: 32 ק״ג ; סטיית התקן החדשה: 8 ק״ג ; אחוז העצים שהיבול שלהם עכשיו גדול מ-4040 ק״ג: 15.87%

הפתרון:

x→0.8xx \to 0.8x

כל יבול מוכפל ב-0.80.8

μ=0.8⋅40=32σ=0.8⋅10=8\begin{aligned}\mu &= 0.8 \cdot 40 \\ &= 32 \qquad \sigma \\ &= 0.8 \cdot 10 \\ &= 8\end{aligned}

גם הממוצע וגם סטיית התקן

z=40−328=1 ⇒ 1−0.8413=0.1587\begin{aligned}z &= \frac{40-32}{8} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

השטח מימין

הכפלה משנה גם את סטיית התקן. מי שהשאיר σ=10\sigma=10 קיבל z=0.8z=0.8 ותשובה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת