סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: ציון תקן בשני הכיוונים, האחוזים של חצאי סטיית התקן, קריאה ישירה מהטבלה, סימטריה, ומאחוז לכמות. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה: תרגמו ל-zz, שרטטו פעמון, והחליטו אם התשובה גדולה או קטנה מ-50%50\%.

תרגילים

תרגיל 1

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 5050 וסטיית תקן 44. מהו ציון התקן של הערך 5757?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.75

הפתרון:

z=57−504=74=1.75\begin{aligned}z &= \frac{57-50}{4} \\ &= \frac{7}{4} \\ &= 1.75\end{aligned}

הערך פחות הממוצע, חלקי סטיית התקן

מי שחילק ב-1616 השתמש בשונות. מחלקים בסטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 1212 וסטיית תקן 2.52.5. איזה ערך מתאים לציון התקן z=−2z=-2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x=12+(−2)⋅2.5=7\begin{aligned}x &= 12+(-2) \cdot 2.5 \\ &= 7\end{aligned}

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

ציון שלילי: מתחת לממוצע. מי שקיבל 1717 התעלם מהמינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

משקל עגבניות מתפלג נורמלית עם ממוצע 120120 גרם וסטיית תקן 1515 גרם. איזה אחוז מהעגבניות שוקלות פחות מ-105105 גרם? היעזרו באחוזים של חצאי סטיית התקן. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15.87

הפתרון:

z=105−12015=−1\begin{aligned}z &= \frac{105-120}{15} \\ &= -1\end{aligned}

סטיית תקן אחת מתחת לממוצע

9.19%+4.40%+1.66%+0.49%+0.13%=15.87%9.19\%+4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%=15.87\%

הזנב מעבר ל-−1-1

אפשר גם: 50%−34.13%=15.87%50\%-34.13\%=15.87\%. מי שענה 34.13%34.13\% לקח את השטח בין הממוצע ל-105105, לא מתחת ל-105105.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

אורך מלפפונים מתפלג נורמלית עם ממוצע 3030 ס״מ וסטיית תקן 55 ס״מ. איזה אחוז מהמלפפונים קצרים מ-3636 ס״מ? נתון: Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 88.49

הפתרון:

z=36−305=1.2\begin{aligned}z &= \frac{36-30}{5} \\ &= 1.2\end{aligned}

ציון התקן

Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849

שטח משמאל

«קצרים מ-» הוא השטח משמאל, ישר מהטבלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אורך מלפפונים מתפלג נורמלית עם ממוצע 3030 ס״מ וסטיית תקן 55 ס״מ. איזה אחוז מהמלפפונים ארוכים מ-3636 ס״מ? נתון: Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.51

הפתרון:

z=1.2z=1.2

כמו קודם

1−0.8849=0.11511-0.8849=0.1151

שטח מימין

הטבלה נותנת את השטח משמאל. «ארוכים מ-» דורש השלמה ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

משתנה XX מתפלג נורמלית עם ממוצע μ\mu וסטיית תקן σ\sigma. מה נכון לגבי P(X<μ+σ)P(X<\mu+\sigma) ו-P(X>μ−σ)P(X>\mu-\sigma)?

  1. הן שוות
  2. זה תלוי בגודל של σ\sigma
  3. הראשונה גדולה יותר
  4. השנייה גדולה יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הן שוות

הפתרון:

P(X<μ+σ)=Φ(1)P(X<\mu+\sigma)=\Phi(1)

שטח משמאל ל-z=1z=1

P(X>μ−σ)=1−Φ(−1)=Φ(1)\begin{aligned}P(X>\mu-\sigma) &= 1-\Phi(-1) \\ &= \Phi(1)\end{aligned}

שטח מימין ל-z=−1z=-1, בסימטריה

הנכונה: הן שוות, שתיהן 84.13%84.13\%. הפעמון סימטרי, ו-σ\sigma לא משנה אחוזים שנמדדים בסטיות תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בהתפלגות נורמלית, כ-95%95\% מהתצפיות נמצאות במרחק של עד שתי סטיות תקן מהממוצע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2⋅(34.13%+13.59%)=95.44%2 \cdot (34.13\%+13.59\%)=95.44\%

מ-z=−2z=-2 עד z=2z=2

נכון: 95.44%95.44\%. זה ה-9595 של כלל 6868–9595–99.799.7. שימו לב: שתי סטיות תקן לכל צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשכבה 800800 תלמידים. הגובה שלהם מתפלג נורמלית. כמה תלמידים, בקירוב, גבוהים מהממוצע ביותר מסטיית תקן אחת? עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 127

הפתרון:

P(X>μ+σ)=15.87%P(X>\mu+\sigma)=15.87\%

הזנב מעבר ל-z=1z=1

800⋅0.1587=126.96800 \cdot 0.1587=126.96

מאחוז לכמות

בערך 127127 תלמידים. מי שענה 273273 לקח את 34.13%34.13\%, השטח בין הממוצע ל-μ+σ\mu+\sigma ולא מעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהי P(Z<−0.5)P(Z<-0.5), כאשר ZZ הוא ציון תקן? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30.85

הפתרון:

Φ(−0.5)=1−Φ(0.5)\Phi(-0.5)=1-\Phi(0.5)

הסימטריה

=1−0.6915=0.3085=1-0.6915=0.3085

השטח

30.85%30.85\%: פחות מחצי, כמו שצריך ל-zz שלילי. 69.15%69.15\% הוא השטח מימין ל-−0.5-0.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

משתנה מתפלג נורמלית. 2.28%2.28\% מהערכים קטנים מ-4040, ו-2.28%2.28\% מהערכים גדולים מ-6060. השלימו.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: μ=\mu= 50 , σ=\sigma= 5

הפתרון:

μ=40+602=50\begin{aligned}\mu &= \frac{40+60}{2} \\ &= 50\end{aligned}

שני זנבות שווים

2.28%=1.66%+0.49%+0.13% ⇒ z=2\begin{aligned}2.28\% &= 1.66\%+0.49\%+0.13\% \ \Rightarrow \ z \\ &= 2\end{aligned}

הזנב מעבר לשתי סטיות תקן

60=50+2σ ⇒ σ=5\begin{aligned}60 &= 50+2\sigma \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 5\end{aligned}

סטיית התקן

מי שענה σ=10\sigma=10 שכח שהמרחק 1010 הוא שתי סטיות תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת