סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בינוניות, כל אחת עם שניים או שלושה צעדים: שטח בין שני ערכים, חישוב הפוך של סף, של סטיית התקן ושל הממוצע, הסתברות מותנית, שני אנשים, השוואה בציוני תקן, ושינוי של כל הנתונים.

בכל חישוב הפוך: בדקו את הסימן של zz לפני שמציבים. בכל «מתוך אלה ש…»: כתבו מה המונה ומה המכנה.

תרגילים

תרגיל 1

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7070 וסטיית תקן 1010. איזה אחוז מהתלמידים קיבלו בין 6262 ל-8585? נתון: Φ(0.8)=0.7881\Phi(0.8)=0.7881, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72.13

הפתרון:

z1=−0.8 ⇒ Φ(−0.8)=0.2119\begin{aligned}z_1 &= -0.8 \ \Rightarrow \ \Phi(-0.8) \\ &= 0.2119\end{aligned}

הגבול התחתון

z2=1.5 ⇒ Φ(1.5)=0.9332\begin{aligned}z_2 &= 1.5 \ \Rightarrow \ \Phi(1.5) \\ &= 0.9332\end{aligned}

הגבול העליון

0.9332−0.2119=0.72130.9332-0.2119=0.7213

ההפרש

מי שחיסר 0.9332−0.78810.9332-0.7881 שכח שהגבול התחתון מתחת לממוצע: צריך Φ(−0.8)\Phi(-0.8), לא Φ(0.8)\Phi(0.8).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ציוני מבחן מיון מתפלגים נורמלית עם ממוצע 500500 וסטיית תקן 100100. 15%15\% מהנבחנים, בעלי הציונים הגבוהים, מתקבלים. מהו ציון הקבלה הנמוך ביותר? נתון: Φ(1.04)=0.8508\Phi(1.04)=0.8508. עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 604

הפתרון:

P(X<x)=0.85 ⇒ z≈1.04P(X<x)=0.85 \ \Rightarrow \ z \approx 1.04

הערך הקרוב ביותר בטבלה

x=500+1.04⋅100=604\begin{aligned}x &= 500+1.04 \cdot 100 \\ &= 604\end{aligned}

הסף

מחפשים בטבלה את 0.850.85 — השטח משמאל לסף — ולא את 0.150.15.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

זמן ההכנה של מנה במסעדה מתפלג נורמלית עם ממוצע 2424 דקות. 9.68%9.68\% מהמנות מוכנות אחרי יותר מ-3030 דקות. מהי סטיית התקן (בדקות)? נתון: Φ(1.3)=0.9032\Phi(1.3)=0.9032. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.615

הפתרון:

P(X<30)=1−0.0968=0.9032 ⇒ z=1.3\begin{aligned}P(X<30) &= 1-0.0968 \\ &= 0.9032 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.3\end{aligned}

השטח משמאל

1.3=30−24σ ⇒ σ=61.3≈4.62\begin{aligned}1.3 &= \frac{30-24}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= \frac{6}{1.3} \approx 4.62\end{aligned}

פותרים

סטיית התקן לא חייבת לצאת מספר שלם. מי שכפל 6⋅1.36 \cdot 1.3 הפך את המשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

אורך עלים של צמח מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 0.80.8 ס״מ. 72.57%72.57\% מהעלים קצרים מ-55 ס״מ. מהו הממוצע (בס״מ)? נתון: Φ(0.6)=0.7257\Phi(0.6)=0.7257. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.52

הפתרון:

Φ(z)=0.7257 ⇒ z=0.6\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.7257 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.6\end{aligned}

יותר מחצי משמאל: zz חיובי

5=μ+0.6⋅0.8 ⇒ μ=4.52\begin{aligned}5 &= \mu+0.6 \cdot 0.8 \ \Rightarrow \ \mu \\ &= 4.52\end{aligned}

פותרים

55 מעל הממוצע, ולכן הממוצע קטן מ-55. מי שקיבל 5.485.48 טעה בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7070 וסטיית תקן 1010. מתוך התלמידים שקיבלו פחות מ-7070, איזה אחוז קיבלו פחות מ-6262? נתון: Φ(0.8)=0.7881\Phi(0.8)=0.7881. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 42.38

הפתרון:

P(X<62)=1−0.7881=0.2119\begin{aligned}P(X<62) &= 1-0.7881 \\ &= 0.2119\end{aligned}

החיתוך

P(X<70)=0.5P(X<70)=0.5

התנאי

0.21190.5=0.4238\frac{0.2119}{0.5}=0.4238

מחלקים

42.38%42.38\%. המונה הוא P(X<62)P(X<62) כי כל מי שמתחת ל-6262 הוא גם מתחת ל-7070.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

משקל תיקי גב של תלמידים מתפלג נורמלית עם ממוצע 77 ק״ג וסטיית תקן 0.80.8 ק״ג. בוחרים באקראי שני תלמידים, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שלפחות אחד מהם סוחב יותר מ-88 ק״ג? נתון: Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

z=8−70.8=1.25 ⇒ P(X<8)=0.8944\begin{aligned}z &= \frac{8-7}{0.8} \\ &= 1.25 \ \Rightarrow \ P(X<8) \\ &= 0.8944\end{aligned}

תלמיד אחד

1−0.89442≈0.201-0.8944^2 \approx 0.20

המשלים של «שניהם לא»

בערך 0.200.20. מי שחיבר 0.1056+0.10560.1056+0.1056 ספר פעמיים את המקרה ששניהם סוחבים יותר מ-88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שלושה ספורטאים באותה אגודה. אביב קפץ לרוחק 6.26.2 מ׳ (ממוצע האגודה 5.85.8, סטיית תקן 0.250.25). בר קפץ לגובה 1.851.85 מ׳ (ממוצע 1.701.70, סטיית תקן 0.10.1). גל רץ 100100 מ׳ ב-11.911.9 שניות (ממוצע 12.512.5, סטיית תקן 0.40.4). מי השיג את התוצאה הטובה ביותר ביחס לאגודה?

  1. בר
  2. לבר ולגל אותה תוצאה יחסית, והיא הטובה ביותר
  3. אביב
  4. גל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אביב

הפתרון:

zA=6.2−5.80.25=1.6\begin{aligned}z_A &= \frac{6.2-5.8}{0.25} \\ &= 1.6\end{aligned}

אביב

zB=1.85−1.700.1=1.5\begin{aligned}z_B &= \frac{1.85-1.70}{0.1} \\ &= 1.5\end{aligned}

בר

zG=11.9−12.50.4=−1.5\begin{aligned}z_G &= \frac{11.9-12.5}{0.4} \\ &= -1.5\end{aligned}

גל: זמן קצר הוא תוצאה טובה

הנכונה: אביב. בריצה zz שלילי הוא טוב, ולכן גל שקול ל-1.51.5 — כמו בר, פחות מאביב. מי שבחר «גל» השווה את המספרים הגולמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

משקל כבשים בחווה מתפלג נורמלית עם ממוצע 8080 ק״ג וסטיית תקן 66 ק״ג. אחרי חודש, המשקל של כל כבשה גדל ב-5%5\%. השלימו.

הממוצע החדש: ____ ; סטיית התקן החדשה: ____ ; אחוז הכבשים בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעליו: ____ %

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע החדש: 84 ; סטיית התקן החדשה: 6.3 ; אחוז הכבשים בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעליו: 34.13 %

הפתרון:

μ=1.05⋅80=84\begin{aligned}\mu &= 1.05 \cdot 80 \\ &= 84\end{aligned}

כפל ב-1.051.05

σ=1.05⋅6=6.3\begin{aligned}\sigma &= 1.05 \cdot 6 \\ &= 6.3\end{aligned}

גם סטיית התקן מוכפלת

34.13%34.13\%

ציוני התקן לא משתנים

בכפל גם סטיית התקן משתנה (לא כמו בתוספת), אבל האחוז בין μ\mu ל-μ+σ\mu+\sigma נשאר תמיד 34.13%34.13\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בעיר 1,2001{,}200 מתנדבים. הגובה שלהם מתפלג נורמלית עם ממוצע 165165 ס״מ וסטיית תקן 1010 ס״מ. כמה מתנדבים, בקירוב, גובהם בין 150150 ל-175175 ס״מ? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 929

הפתרון:

Φ(1)−Φ(−1.5)=0.8413−0.0668=0.7745\begin{aligned}\Phi(1)-\Phi(-1.5) &= 0.8413-0.0668 \\ &= 0.7745\end{aligned}

השטח בין z=−1.5z=-1.5 ל-z=1z=1

1200⋅0.7745=929.41200 \cdot 0.7745=929.4

מאחוז לכמות

בערך 929929. עיגול של כמות נעשה בסוף, לא באמצע החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לשתי קבוצות אותו ממוצע 6060, ובקבוצה ב סטיית התקן גדולה יותר. אז בקבוצה ב אחוז גדול יותר של תצפיות גדולות מ-7070.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

z=70−60σz=\frac{70-60}{\sigma}

סטיית תקן גדולה יותר ← zz קטן יותר

1−Φ(z)1-\Phi(z)

ו-zz קטן יותר ← זנב ימני גדול יותר

נכון. בפעמון רחב, 7070 קרוב יותר לממוצע בסטיות תקן, ולכן יותר תצפיות עוברות אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת