סדרה 3 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח שאלת ההתפלגות הנורמלית בבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו פתיח. הסעיפים נבנים זה על זה, כמו בבחינה.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: הציבו ב-zz, ציינו את ערך הטבלה שבו השתמשתם, שרטטו את השטח, ועגלו רק בסוף.

תרגילים

שאלה 1 — זמן הנסיעה לעבודה

תרגיל 1

זמן הנסיעה לעבודה של עובדי חברה בפתח תקווה מתפלג נורמלית עם ממוצע 3535 דקות וסטיית תקן 88 דקות. נתון: Φ(0.84)=0.7995\Phi(0.84)=0.7995, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944. א. איזה אחוז מהעובדים נוסעים יותר מ-4545 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.56

הפתרון:

z=45−358=1.25\begin{aligned}z &= \frac{45-35}{8} \\ &= 1.25\end{aligned}

ציון התקן

1−0.8944=0.10561-0.8944=0.1056

זנב ימני

10.56%10.56\%. «יותר מ-» הוא השטח מימין, ולכן משלימים ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

זמן הנסיעה לעבודה של עובדי חברה בפתח תקווה מתפלג נורמלית עם ממוצע 3535 דקות וסטיית תקן 88 דקות. נתון: Φ(0.84)=0.7995\Phi(0.84)=0.7995, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944. ב. 20%20\% מהעובדים, בעלי זמני הנסיעה הקצרים ביותר, נוסעים פחות מ-tt דקות. מצאו את tt. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28.28

הפתרון:

P(X<t)=0.20 ⇒ Φ(−z)=0.80 ⇒ z≈−0.84\begin{aligned}P(X<t) &= 0.20 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.80 \ \Rightarrow \ z \approx -0.84\end{aligned}

זנב שמאלי

t=35−0.84⋅8=28.28\begin{aligned}t &= 35-0.84 \cdot 8 \\ &= 28.28\end{aligned}

הערך

הקצרים ביותר נמצאים משמאל, ולכן zz שלילי. 41.7241.72 הוא הסף של 20%20\% הארוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

זמן הנסיעה לעבודה של עובדי חברה בפתח תקווה מתפלג נורמלית עם ממוצע 3535 דקות וסטיית תקן 88 דקות. נתון: Φ(0.84)=0.7995\Phi(0.84)=0.7995, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944. ג. בחברה 600600 עובדים. כמה מהם, בקירוב, נוסעים בין 2727 ל-4545 דקות? עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 441

הפתרון:

z1=27−358=−1z2=1.25\begin{aligned}z_1 &= \frac{27-35}{8} \\ &= -1 \qquad z_2 \\ &= 1.25\end{aligned}

שני הגבולות

0.8944−0.1587=0.73570.8944-0.1587=0.7357

השטח ביניהם

600⋅0.7357=441.42600 \cdot 0.7357=441.42

מאחוז לכמות

בערך 441441 עובדים. Φ(−1)=1−0.8413=0.1587\Phi(-1)=1-0.8413=0.1587, ולא 0.84130.8413.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

זמן הנסיעה לעבודה של עובדי חברה בפתח תקווה מתפלג נורמלית עם ממוצע 3535 דקות וסטיית תקן 88 דקות. נתון: Φ(0.84)=0.7995\Phi(0.84)=0.7995, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944. ד. בוחרים באקראי שני עובדים, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם נוסע יותר מ-4545 דקות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1889

הפתרון:

p=0.10561−p=0.8944\begin{aligned}p &= 0.1056 \qquad 1-p \\ &= 0.8944\end{aligned}

מסעיף א

2⋅0.1056⋅0.8944≈0.192 \cdot 0.1056 \cdot 0.8944 \approx 0.19

שני סדרים

בערך 0.190.19. בלי הכפל ב-22 מקבלים רק את הסדר «הראשון נוסע יותר והשני לא».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — משקל אבטיחים

תרגיל 5

משקל האבטיחים במטע מתפלג נורמלית. ידוע ש-50%50\% מהאבטיחים שוקלים פחות מ-66 ק״ג, ו-9.68%9.68\% מהאבטיחים שוקלים יותר מ-7.37.3 ק״ג. נתון: Φ(1.3)=0.9032\Phi(1.3)=0.9032. א. מהו הממוצע של משקל האבטיחים (בק״ג)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

P(X<6)=0.5P(X<6)=0.5

חצי מהאבטיחים מתחת ל-66

μ=6\mu=6

בפעמון, החציון שווה לממוצע

הנתון «50%50\%» הוא הממוצע עצמו. לא צריך טבלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

משקל האבטיחים במטע מתפלג נורמלית. ידוע ש-50%50\% מהאבטיחים שוקלים פחות מ-66 ק״ג, ו-9.68%9.68\% מהאבטיחים שוקלים יותר מ-7.37.3 ק״ג. נתון: Φ(1.3)=0.9032\Phi(1.3)=0.9032. ב. מהי סטיית התקן (בק״ג)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

P(X<7.3)=1−0.0968=0.9032 ⇒ z=1.3\begin{aligned}P(X<7.3) &= 1-0.0968 \\ &= 0.9032 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.3\end{aligned}

השטח משמאל

1.3=7.3−6σ ⇒ σ=1\begin{aligned}1.3 &= \frac{7.3-6}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 1\end{aligned}

פותרים

סטיית התקן היא 11 ק״ג. מי שחיפש 0.09680.0968 בטבלה לא מצא: קודם משלימים ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

משקל האבטיחים במטע מתפלג נורמלית. ידוע ש-50%50\% מהאבטיחים שוקלים פחות מ-66 ק״ג, ו-9.68%9.68\% מהאבטיחים שוקלים יותר מ-7.37.3 ק״ג. נתון: Φ(1.3)=0.9032\Phi(1.3)=0.9032. ג. מתוך האבטיחים ששוקלים יותר מ-66 ק״ג, איזה אחוז שוקלים יותר מ-7.37.3 ק״ג? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19.36

הפתרון:

P(X>7.3)P(X>6)=0.09680.5\frac{P(X>7.3)}{P(X>6)}=\frac{0.0968}{0.5}

חיתוך חלקי תנאי

=0.1936=0.1936

19.36%19.36\%

פי 22 מהאחוז בכל המטע: הקבוצה שבה מסתכלים היא חצי מהאבטיחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — שני מבחני כניסה

תרגיל 8

הציונים במבחן כניסה א מתפלגים נורמלית עם ממוצע 540540 וסטיית תקן 8080. הציונים במבחן כניסה ב מתפלגים נורמלית עם ממוצע 100100. נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. א. כדי להתקבל למסלול מסוים, צריך להיות בין 30.85%30.85\% מהנבחנים עם הציונים הגבוהים ביותר במבחן א. מהו הציון הנמוך ביותר שמתקבל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 580

הפתרון:

P(X<x)=1−0.3085=0.6915 ⇒ z=0.5\begin{aligned}P(X<x) &= 1-0.3085 \\ &= 0.6915 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.5\end{aligned}

השטח משמאל לסף

x=540+0.5⋅80=580\begin{aligned}x &= 540+0.5 \cdot 80 \\ &= 580\end{aligned}

הסף

הסף מעל הממוצע, כי פחות מחצי מתקבלים. מי שקיבל 500500 לקח z=−0.5z=-0.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הציונים במבחן כניסה א מתפלגים נורמלית עם ממוצע 540540 וסטיית תקן 8080. הציונים במבחן כניסה ב מתפלגים נורמלית עם ממוצע 100100. נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. ב. הציון 118118 במבחן ב הוא בעל אותו ציון תקן כמו הציון 620620 במבחן א. מהי סטיית התקן במבחן ב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

z=620−54080=1\begin{aligned}z &= \frac{620-540}{80} \\ &= 1\end{aligned}

במבחן א

1=118−100σ ⇒ σ=18\begin{aligned}1 &= \frac{118-100}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 18\end{aligned}

במבחן ב

אותו ציון תקן: 118118 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע במבחן ב, כמו 620620 במבחן א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הציונים במבחן כניסה א מתפלגים נורמלית עם ממוצע 540540 וסטיית תקן 8080. הציונים במבחן כניסה ב מתפלגים נורמלית עם ממוצע 100100. נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. ג. מאיה קיבלה 596596 במבחן א ו-112112 במבחן ב. באיזה מבחן הצליחה יותר ביחס לנבחנים האחרים? (השתמשו בסטיית התקן שמצאתם בסעיף ב.)

  1. במבחן א
  2. אי אפשר לדעת בלי הטבלה
  3. באותה מידה בשניהם
  4. במבחן ב
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א במבחן א

הפתרון:

zA=596−54080=0.7\begin{aligned}z_A &= \frac{596-540}{80} \\ &= 0.7\end{aligned}

מבחן א

zB=112−10018≈0.67z_B=\frac{112-100}{18} \approx 0.67

מבחן ב

0.7>0.670.7>0.67

משווים

הנכונה: במבחן א, בהפרש קטן. ההשוואה נעשית בציוני תקן; הטבלה לא נחוצה, כי Φ\Phi עולה: zz גדול יותר ← אחוז גדול יותר מתחתיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת