תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: ציון תקן, האחוזים של הפעמון, קריאה בטבלה, כמויות, חישוב הפוך והסתברות מותנית. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 150150 וסטיית תקן 2020. מהו ציון התקן של 125125?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.25

הפתרון:

z=125−15020=−1.25\begin{aligned}z &= \frac{125-150}{20} \\ &= -1.25\end{aligned}

הערך פחות הממוצע

ציון שלילי: הערך מתחת לממוצע. 1.251.25 בלי מינוס מאבד את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה אחוז מהתצפיות בהתפלגות נורמלית נמצאות במרחק של עד סטיית תקן אחת מהממוצע (לשני הצדדים)? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 68.26

הפתרון:

2⋅(19.15%+14.98%)=68.26%2 \cdot (19.15\%+14.98\%)=68.26\%

שני חצאים לכל צד

68.26%68.26\% — ה-6868 של הכלל. 34.13%34.13\% הוא צד אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזו הסתברות שווה ל-Φ(1)\Phi(1)?

  1. P(Z>1)P(Z>1)
  2. P(−1<Z<1)P(-1<Z<1)
  3. P(Z<1)P(Z<1)
  4. P(Z<−1)P(Z<-1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג P(Z<1)P(Z<1)

הפתרון:

Φ(z)=P(Z<z)\Phi(z)=P(Z<z)

ההגדרה

הנכונה: P(Z<1)P(Z<1). Φ\Phi הוא תמיד השטח משמאל. P(Z>1)P(Z>1) ו-P(Z<−1)P(Z<-1) שווים שניהם ל-1−Φ(1)1-\Phi(1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

משך טעינה של טלפון מתפלג נורמלית עם ממוצע 1212 דקות וסטיית תקן 33 דקות. איזה אחוז מהטעינות נמשכות יותר מ-16.516.5 דקות? נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.68

הפתרון:

z=16.5−123=1.5\begin{aligned}z &= \frac{16.5-12}{3} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון התקן

1−0.9332=0.06681-0.9332=0.0668

זנב ימני

6.68%6.68\%. מי שענה 93.32%93.32\% קרא את השטח בצד הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במפעל ממלאים 5,0005{,}000 שקיות אורז ביום. המשקל מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם וסטיית תקן 55 גרם. כמה שקיות, בקירוב, שוקלות בין 993993 ל-10081008 גרם? נתון: Φ(1.4)=0.9192\Phi(1.4)=0.9192, Φ(1.6)=0.9452\Phi(1.6)=0.9452. עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4322

הפתרון:

z1=−1.4z2=1.6\begin{aligned}z_1 &= -1.4 \qquad z_2 \\ &= 1.6\end{aligned}

שני הגבולות

0.9452−(1−0.9192)=0.86440.9452-(1-0.9192)=0.8644

השטח ביניהם

5000⋅0.8644=43225000 \cdot 0.8644=4322

מאחוז לכמות

הגבול התחתון נותן Φ(−1.4)=0.0808\Phi(-1.4)=0.0808, לא 0.91920.9192.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 וסטיית תקן 1010. 59.87%59.87\% מהערכים קטנים מ-xx. מצאו את xx. נתון: Φ(0.25)=0.5987\Phi(0.25)=0.5987. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 42.5

הפתרון:

Φ(z)=0.5987 ⇒ z=0.25\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.5987 \ \Rightarrow \ z \\ &= 0.25\end{aligned}

קצת יותר מחצי: zz חיובי וקטן

x=40+0.25⋅10=42.5\begin{aligned}x &= 40+0.25 \cdot 10 \\ &= 42.5\end{aligned}

הערך

xx קרוב לממוצע, כי האחוז קרוב ל-50%50\%. מי שקיבל 37.537.5 טעה בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הדופק במנוחה של אצנים מתפלג נורמלית עם ממוצע 6060 פעימות בדקה. 2.28%2.28\% מהאצנים עם דופק גבוה מ-7272. מהי סטיית התקן? נתון: Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

P(X<72)=0.9772 ⇒ z=2\begin{aligned}P(X<72) &= 0.9772 \ \Rightarrow \ z \\ &= 2\end{aligned}

השטח משמאל

2=72−60σ ⇒ σ=6\begin{aligned}2 &= \frac{72-60}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 6\end{aligned}

פותרים

2.28%2.28\% הוא הזנב מעבר ל-z=2z=2: מספר שכדאי לזהות מיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

משתנה מתפלג נורמלית. 30.85%30.85\% מהערכים קטנים מ-4444, ו-6.68%6.68\% מהערכים גדולים מ-6262. נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. השלימו.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: μ=\mu= 48.5 , σ=\sigma= 9

הפתרון:

P(X<44)=0.3085 ⇒ z=−0.5 ⇒ μ−0.5σ=44\begin{aligned}P(X<44) &= 0.3085 \ \Rightarrow \ z \\ &= -0.5 \ \Rightarrow \ \mu-0.5\sigma \\ &= 44\end{aligned}

משוואה ראשונה

P(X>62)=0.0668 ⇒ z=1.5 ⇒ μ+1.5σ=62\begin{aligned}P(X>62) &= 0.0668 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.5 \ \Rightarrow \ \mu+1.5\sigma \\ &= 62\end{aligned}

משוואה שנייה

2σ=18 ⇒ σ=9μ=48.5\begin{aligned}2\sigma &= 18 \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 9 \\ \quad \mu &= 48.5\end{aligned}

מחסירים

האחוזים שונים, ולכן הממוצע איננו האמצע 5353. שני zz, שתי משוואות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע μ\mu וסטיית תקן σ\sigma. מתוך הערכים שגדולים מ-μ−0.5σ\mu-0.5\sigma, איזה אחוז קטנים מ-μ+σ\mu+\sigma? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 77.05

הפתרון:

P(μ−0.5σ<X<μ+σ)=0.8413−0.3085=0.5328\begin{aligned}P(\mu-0.5\sigma<X<\mu+\sigma) &= 0.8413-0.3085 \\ &= 0.5328\end{aligned}

החיתוך

P(X>μ−0.5σ)=0.6915P(X>\mu-0.5\sigma)=0.6915

התנאי

0.53280.6915≈0.7705\frac{0.5328}{0.6915} \approx 0.7705

חיתוך חלקי תנאי

אין צורך במספרים של μ\mu ו-σ\sigma: הכול נמדד בציוני תקן. המונה הוא החיתוך, לא Φ(1)\Phi(1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מכונה ממלאת בקבוקי מיץ. הכמות מתפלגת נורמלית עם ממוצע 500500 מ״ל. מה צריכה להיות סטיית התקן, כדי ש-95%95\% מהבקבוקים יכילו יותר מ-495495 מ״ל? נתון: Φ(1.645)=0.95\Phi(1.645)=0.95. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.04

הפתרון:

P(X<495)=0.05 ⇒ z=−1.645\begin{aligned}P(X<495) &= 0.05 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.645\end{aligned}

זנב שמאלי של 5%5\%

−1.645=495−500σ-1.645=\frac{495-500}{\sigma}

מציבים

σ=51.645≈3.04\sigma=\frac{5}{1.645} \approx 3.04

סטיית התקן

סטיית תקן קטנה יותר = מכונה מדויקת יותר. 95%95\% מעל 495495 פירושו 5%5\% מתחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת