סדרה 1 — קל · בעיות ערך קיצון · כיתה י״א

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: מלבן על הצירים ומתחת לגרף, מרחק מהיפרבולה, משולש של משיק, חלקה ליד קיר, מלבן במשולש וקטע אנכי. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים אחרי שהפונקציה כתובה.

לפני כל שאלה: מה המשתנה ( $x$ או $t$ ), מה הקשר שנותן את האורך השני, ומה התחום?

תרגילים

תרגיל 1

מלבן בין הצירים לגרף y = 16/x

P על הגרף ברביע הראשון. A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{16}{x}$ ברביע הראשון, ו- $OAPB$ מלבן ששתי צלעותיו על הצירים, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

L(x)=2x+\frac{32}{x}

היקף: $2x+2\cdot\frac{16}{x}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{32}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}L(4) &= 8+8 \\ &= 16\end{aligned}

ריבוע $4 \times 4$

מי שכותב $x+\frac{16}{x}$ מחשב חצי היקף ועונה $8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מלבן מתחת לגרף f(x) = 10/(x² + 1)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x. P = (x, f(x)).

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{10}{x^2+1}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. $P=(x,\,f(x))$ ו- $x>0$ . מהי פונקציית השטח?

$S(x)=\frac{10x}{x^2+1}$
$S(x)=\frac{20x}{x^2+1}$
$S(x)=\frac{20x}{2x+1}$
$S(x)=\frac{20}{x^2+1}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $S(x)=\frac{20x}{x^2+1}$

הפתרון:

S(x)=2x\cdot\frac{10}{x^2+1}

בסיס $2x$ כפול גובה $f(x)$

=\frac{20x}{x^2+1}

מכפילים את המונה

הנכונה: $\frac{20x}{x^2+1}$ . $\frac{10x}{x^2+1}$ לוקח בסיס $x$ בלבד, ו- $\frac{20}{x^2+1}$ שכח את $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מלבן מתחת לגרף f(x) = 10/(x² + 1)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x. P = (x, f(x)).

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{10}{x^2+1}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= \frac{20x}{x^2+1} \\ \quad x>0\end{aligned}

פונקציית השטח

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{20(1-x^2)}{(x^2+1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}S(1) &= \frac{20}{2} \\ &= 10\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

השטח הגדול ביותר $10$ , והמלבן $2 \times 5$ . $x=-1$ נפסל: $x$ הוא חצי בסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המרחק מ-O לנקודה P על y = 2/x

P נקודה כללית על הגרף ברביע הראשון.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{2}{x}$ ברביע הראשון, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין $P$ לבין ראשית הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

D(x)=x^2+\frac{4}{x^2}

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{8}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2\end{aligned}

$x>0$

\begin{aligned}D &= 2+2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ d \\ &= 2\end{aligned}

מינימום

גוזרים את $d^2$ , ובסוף מוציאים שורש. מי שעונה $4$ עצר בריבוע המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשיק לגרף y = 4/x בנקודה שבה x = 1

המשיק בנקודה (1, 4).

המשיק לגרף $y=\frac{4}{x}$ בנקודה שבה $x=1$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו שטח המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= 4 \\ \qquad f'(1) &= -4\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y=-4x+8

המשיק

\begin{aligned}x_0 &= 2 \\ \qquad y_0 &= 8 \ \Rightarrow \ S \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 8 \\ &= 8\end{aligned}

החיתוכים והשטח

בכל נקודה על $y=\frac{4}{x}$ יוצא אותו שטח: $2\cdot 4=8$ . בלי החצי יוצא $16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 50 מ״ר, ו-AB = CD = x.

חלקה מלבנית $ABCD$ צמודה לקיר $AD$ , ושטחה $50$ מ״ר. גודרים את שלוש הצלעות האחרות, ו- $AB=CD=x$ , כמו בשרטוט. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

L(x)=2x+\frac{50}{x}

$BC=\frac{50}{x}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{50}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}L(5) &= 10+10 \\ &= 20\end{aligned}

$BC=10$

הגדר המינימלית: $5+10+5$ . הצלע המקבילה לקיר יוצאת כפולה מהניצבת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

CA = 8, CB = 4, CD = x. E על היתר AB.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $CA=8$ ו- $CB=4$ . המלבן $CDEF$ בנוי כך ש- $E$ על היתר $AB$ , כמו בשרטוט, ו- $CD=x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}DE &= \frac{4(8-x)}{8} \\ &= \frac{8-x}{2}\end{aligned}

דמיון המשולשים $ADE$ ו- $ACB$ (ז.ז)

\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(8-x)}{2} \\ \qquad S'(x) &= 4-x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(4) &= \frac{4\cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

חצי משטח המשולש

שטח המשולש $16$ , והמלבן הגדול ביותר חצי ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הקטע האנכי AB בין y = 10 − x לבין y = 9/x

A על הישר g, ו-B על הגרף של f, באותו x.

נתונים $f(x)=\frac{9}{x}$ ו- $g(x)=10-x$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $g$ ב- $A$ ואת $f$ ב- $B$ , בין שתי נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{9}{x} &= 10-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 9\end{aligned}

נקודות החיתוך

\begin{aligned}AB(x) &= 10-x-\frac{9}{x} \\ \qquad AB'(x) &= -1+\frac{9}{x^2}\end{aligned}

העליון פחות התחתון

\begin{aligned}x &= 3 \ \Rightarrow \ AB \\ &= 10-3-3 \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

בין נקודות החיתוך הישר מעל ההיפרבולה, ולכן $g-f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המשיק לגרף y = 3 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $f(x)=3-x^2$ ברביע הראשון. המשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

y=-2tx+t^2+3

המשיק ב- $(t,\,3-t^2)$

\begin{aligned}S(t) &= \frac{(t^2+3)^2}{4t} \\ \qquad S'(t) &= \frac{(t^2+3)(3t^2-3)}{4t^2}\end{aligned}

השטח ונגזרתו

\begin{aligned}S(1) &= \frac{16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

$t=1$ : מינימום

המשיק ב- $(1,\,2)$ הוא $y=-2x+4$ , והמשולש $2 \times 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את שלבי הפתרון של בעיית קיצון שבה קודקוד נע על גרף.

בודקים את סוג הקיצון בטבלת סימנים, ובתחום סגור גם את הקצוות
גוזרים ומשווים לאפס
כותבים את הנקודה על הגרף: $P=(x,\,f(x))$
מבטאים את הגודל המבוקש כפונקציה של $x$
עונים על מה שנשאל: הנקודה, $x$ או הערך
קובעים את התחום של $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כותבים את הנקודה על הגרף: $P=(x,\,f(x))$ · מבטאים את הגודל המבוקש כפונקציה של $x$ · קובעים את התחום של $x$ · גוזרים ומשווים לאפס · בודקים את סוג הקיצון בטבלת סימנים, ובתחום סגור גם את הקצוות · עונים על מה שנשאל: הנקודה, $x$ או הערך

הפתרון:

\begin{aligned}P &= (x,\,f(x)) \ \to \ S(x) \ \to \ S'(x) \\ &= 0\end{aligned}

מהצורה לפונקציה, ומהפונקציה לנגזרת

התחום בא לפני הגזירה: הוא קובע אילו פתרונות של המשוואה נשארים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev