פותרים יחד · בעיות ערך קיצון · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת בעיות הקיצון של הבגרות: מלבן בין גרף לאסימפטוטות, משולש של משיק עם הצירים, משולש שקודקודיו על פרבולה, וטרפז עם אלכסון קצר ביותר. בכל אחת מופיעה גם השאלה «האם ייתכן». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ושאלה תאומה מחכה לכם למטה.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — מלבן בין הגרף לאסימפטוטות

f(x) = 2 + 9/(x − 1) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=2+\frac{9}{x-1}$ בתחום $x>1$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות, ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות. א. מצאו את האסימפטוטות. ב. מצאו את $P$ שעבורה היקף המלבן הקטן ביותר, ואת ההיקף. ג. האם ייתכן מלבן כזה שהיקפו $11$ ?

\begin{aligned}f(x) &= 2+\frac{9}{x-1} \\ \quad x>1\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הצלעות של המלבן הן המרחקים מ- $P$ לאסימפטוטות.

א.

\begin{aligned}x &= 1 \\ \qquad y &= 2\end{aligned}

אנכית: המכנה מתאפס. אופקית: $\frac{9}{x-1}$ מתקרב ל- $0$ .

ב. צלעות

\begin{aligned}x-1 \\ \qquad f(x)-2 &= \frac{9}{x-1}\end{aligned}

המרחק מ- $P$ לישר $x=1$ , והמרחק מ- $P$ לישר $y=2$ .

ב. היקף

L(x)=2(x-1)+\frac{18}{x-1}

כל צלע פעמיים.

ב. נגזרת

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{18}{(x-1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x-1)^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

$x-1>0$ , ולכן $x-1=3$ .

ב. סימן

\begin{aligned}L'(2) &= 2-18<0 \\ \qquad L'(7) &= 2-\tfrac{1}{2}>0\end{aligned}

מינימום. $P=(4,\,5)$ .

ב. היקף

\begin{aligned}L(4) &= 6+6 \\ &= 12\end{aligned}

המלבן הוא ריבוע $3 \times 3$ .

ג.

11<12

לא ייתכן: $12$ הוא ההיקף הקטן ביותר.

שטח המלבן קבוע: $(x-1)\cdot\frac{9}{x-1}=9$ . רק ההיקף משתנה.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם ייתכן מלבן כזה שהיקפו $20$ ? כמה מלבנים כאלה יש?

להציג את התשובה והפתרון

כן, ושניים. $L(x)$ יורדת עד $12$ ב- $x=4$ , ואז עולה ללא גבול. לכן הערך $20$ מתקבל פעם אחת משמאל ל- $x=4$ ופעם אחת מימין: $x-1=1$ או $x-1=9$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משולש של משיק עם הצירים

המשיק לגרף f(x) = 27 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

פעילות אינטראקטיבית

המשיק לגרף $f(x)=27-x^2$

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)=27-x^2$ ברביע הראשון. המשיק לגרף ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים. מצאו את שיעור ה- $x$ של $P$ שעבורו שטח המשולש הקטן ביותר, ואת השטח.

$x=3$ , שטח $108$

$x=3$ , שטח $216$

$x=\sqrt{27}$ , שטח $0$

$x=9$ , שטח $108$

$P=(t,\,27-t^2)$ . מהי משוואת המשיק?

$y=-2x+27$

להציג את התשובה והפתרון

זה $f'(x)$ בלי להציב $t$ . השיפוע תלוי בנקודה.

$y=-2tx+t^2+27$

להציג את התשובה והפתרון

$y-(27-t^2)=-2t(x-t)$ , ופותחים סוגריים.

y=-2tx+t^2+27

השיפוע $f'(t)=-2t$

מהם החיתוכים עם הצירים?

$x_0=\frac{t^2+27}{2t}$ ו- $y_0=t^2+27$

להציג את התשובה והפתרון

מציבים $y=0$ , ואחר כך $x=0$ .

$x_0=t$ ו- $y_0=27-t^2$

להציג את התשובה והפתרון

אלה השיעורים של $P$ , לא החיתוכים.

\begin{aligned}S(t) &= \frac{(t^2+27)^2}{4t} \\ \quad 0<t<\sqrt{27}\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

מתי $S'(t)=0$ ?

$t^2+27=0$

להציג את התשובה והפתרון

לביטוי הזה אין פתרון: הוא חיובי תמיד.

$3t^2=27$ , כלומר $t=3$

להציג את התשובה והפתרון

רק הגורם $3t^2-27$ משנה סימן.

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+27)(3t^2-27)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

מהו השטח הקטן ביותר?

$\frac{36^2}{12}=108$

להציג את התשובה והפתרון

$4t=12$ .

$\frac{36^2}{6}=216$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את החצי של שטח משולש.

\begin{aligned}S(3) &= \frac{(9+27)^2}{12} \\ &= 108\end{aligned}

המשיק: $y=-6x+36$

להציג את התשובה והפתרון

$x=3$ , שטח $108$ . $216$ שוכח את החצי של שטח משולש. $x=\sqrt{27}$ הוא החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ , ושם אין משולש בכלל. $x=9$ מחוץ לתחום.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם ייתכן משולש כזה ששטחו $100$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $108$ הוא השטח הקטן ביותר, וכל משולש אחר גדול ממנו.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משולש שקודקודיו על פרבולה

המשולש ABC: B ו-C על f(x) = 9 − x²

BC מקביל לציר ה-x, B ו-C מעל ציר ה-x, ו-A = (0, −3).

פעילות אינטראקטיבית

הנקודות $B$ ו- $C$ נמצאות על הגרף $f(x)=9-x^2$ , מעל ציר ה- $x$ , ו- $BC$ מקביל לציר ה- $x$ . $A=(0,\,-3)$ , ו- $C=(t,\,9-t^2)$ כאשר $t>0$ . א. הביעו את שטח המשולש $ABC$ באמצעות $t$ . ב. מצאו את השטח הגדול ביותר. ג. האם ייתכן משולש כזה ששטחו $20$ ?

\begin{aligned}f(x) &= 9-x^2 \\ \quad A(0,-3) \\ \quad C(t,\,9-t^2)\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $B$ היא השיקוף של $C$ בציר ה- $y$ .

א. אורכים

\begin{aligned}BC &= 2t \\ \qquad h &= (9-t^2)-(-3) \\ &= 12-t^2\end{aligned}

הבסיס בין $B(-t,\,9-t^2)$ ל- $C$ , והגובה מ- $A$ אל הישר $BC$ .

א. שטח

\begin{aligned}S(t) &= \tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot(12-t^2) \\ &= 12t-t^3 \\ \quad 0<t<3\end{aligned}

$B$ ו- $C$ מעל ציר ה- $x$ : $9-t^2>0$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}S'(t) &= 12-3t^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

בתוך התחום.

ב. סימן

\begin{aligned}S'(1) &= 9>0 \\ \qquad S'(2.5) &= -6.75<0\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

ב. שטח

\begin{aligned}S(2) &= 24-8 \\ &= 16\end{aligned}

$C=(2,\,5)$ .

ג.

20>16

לא ייתכן.

הגובה נמדד מ- $A$ עד הישר $BC$ , ולכן מחסרים את שיעור ה- $y$ של $A$ : $5-(-3)=8$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה התחום הוא $0<t<3$ ולא כל $t>0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

הנתון אומר ש- $B$ ו- $C$ מעל ציר ה- $x$ , כלומר $9-t^2>0$ . בלי הנתון, הנוסחה $12t-t^3$ הייתה נותנת שטח שלילי כש- $t>\sqrt{12}$ , וזה סימן שהיא כבר לא מתארת את הצורה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — טרפז ישר זווית: האלכסון הקצר ביותר

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 24 סמ״ר. AD = x.

פעילות אינטראקטיבית

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $24$ סמ״ר. $AD=x$ . א. הביעו את $AB$ באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו האלכסון $AC$ הקצר ביותר, ואת אורכו. ג. האם ייתכן ש- $AC=7.9$ ?

\begin{aligned}AD &= x \\ \quad BC &= 2x \\ \quad S_{ABCD} &= 24\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $AB$ הוא הגובה של הטרפז.

א.

\begin{aligned}\frac{(x+2x)\cdot AB}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{16}{x}\end{aligned}

שטח טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2.

ב. פיתגורס

\begin{aligned}AC^2 &= AB^2+BC^2 \\ &= \frac{256}{x^2}+4x^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ , שבו הזווית $B$ ישרה.

ב. נגזרת

\begin{aligned}D(x) &= 4x^2+\frac{256}{x^2} \\ \qquad D'(x) &= 8x-\frac{512}{x^3} \\ &= 0\end{aligned}

ממזערים את $AC^2$ .

ב. חשודה

\begin{aligned}x^4 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

$x>0$ . $D'(2)=-48<0$ ו- $D'(4)=24>0$ : מינימום.

ב. אורך

\begin{aligned}AC^2 &= 32+32 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 8\end{aligned}

$AD=2\sqrt{2}$ , $BC=4\sqrt{2}$ ו- $AB=4\sqrt{2}$ .

ג.

7.9<8

לא ייתכן: $8$ הוא האורך הקטן ביותר.

את $x^4=64$ פותרים בשני שלבים: $x^2=8$ , ואז $x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

ב- $x=2\sqrt{2}$ יוצא $AB=BC$ . מה זה אומר על המשולש $ABC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$AB=BC=4\sqrt{2}$ , ולכן $ABC$ משולש ישר זווית שווה שוקיים, והאלכסון $AC$ הוא היתר: $AC=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8$ .

השאלות התאומות: שאלות 4 ו-5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

f(x) = 3 + 4/(x + 1) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=3+\frac{4}{x+1}$ בתחום $x>-1$ . $P$ נקודה על הגרף, ומ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות, כמו בשרטוט. מצאו את $P$ שעבורה היקף המלבן שנוצר הקטן ביותר, ואת ההיקף.

שיעור ה- $x$ של $P$ : ____ , ההיקף הקטן ביותר: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שיעור ה- $x$ של $P$ : 1 , ההיקף הקטן ביותר: 8

הפתרון:

\begin{aligned}x &= -1 \\ \qquad y &= 3\end{aligned}

האסימפטוטות

L(x)=2(x+1)+\frac{8}{x+1}

הצלעות $x+1$ ו- $\frac{4}{x+1}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{8}{(x+1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x+1 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}L(1) &= 4+4 \\ &= 8\end{aligned}

ריבוע $2 \times 2$ , ו- $P=(1,\,5)$

המרחק מ- $P$ לאסימפטוטה $x=-1$ הוא $x+1$ , לא $x$ . מי שכותב $x$ מקבל $P$ אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשיק לגרף f(x) = 108 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)=108-x^2$ ברביע הראשון. המשיק לגרף ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 864

הפתרון:

y=-2tx+t^2+108

המשיק ב- $(t,\,108-t^2)$

S(t)=\frac{(t^2+108)^2}{4t}

החיתוכים $\frac{t^2+108}{2t}$ ו- $t^2+108$

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+108)(3t^2-108)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 6\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}S(6) &= \frac{144^2}{24} \\ &= 864\end{aligned}

השטח

אותו מבנה כמו ב- $27-x^2$ : המינימום ב- $t^2=\frac{c}{3}$ . בלי החצי יוצא $1728$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשולש ABC: B ו-C על f(x) = 20 − x²

BC מקביל לציר ה-x, B ו-C מעל ציר ה-x, ו-A = (0, −7).

הנקודות $B$ ו- $C$ נמצאות על הגרף $f(x)=20-x^2$ , מעל ציר ה- $x$ , ו- $BC$ מקביל לציר ה- $x$ . $A=(0,\,-7)$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $ABC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 2t \\ \qquad h &= (20-t^2)-(-7) \\ &= 27-t^2\end{aligned}

$C=(t,\,20-t^2)$

\begin{aligned}S(t) &= t(27-t^2) \\ &= 27t-t^3 \\ \quad 0<t<\sqrt{20}\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(t) &= 27-3t^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= 3\cdot 18 \\ &= 54\end{aligned}

השטח

מי שלוקח גובה $20-t^2$ שכח ש- $A$ מתחת לציר ה- $x$ . הגובה נמדד עד $A$ , ולכן מוסיפים $7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 54 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $54$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הקטן ביותר של האלכסון $AC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{3x\cdot AB}{2} &= 54 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{36}{x}\end{aligned}

שטח טרפז

AC^2=\frac{1296}{x^2}+4x^2

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}D'(x) &= 8x-\frac{2592}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 324 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 18\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}AC^2 &= 72+72 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 12\end{aligned}

האורך

שוב $AB=BC$ במינימום: $AB=\frac{36}{\sqrt{18}}=\sqrt{72}=BC$ . מי שעונה $144$ שכח להוציא שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 54 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $54$ סמ״ר, כמו בשרטוט. הוכיחו או הפריכו: ייתכן ש- $AC=11$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AC^2 &= \frac{1296}{x^2}+4x^2 \ \Rightarrow \ AC^2_{\min} \\ &= 144\end{aligned}

המינימום ב- $x^2=18$

AC_{\min}=12

האלכסון הקצר ביותר

11<12

קטן מהמינימום

הטענה לא נכונה. כל אורך מעל $12$ כן מתקבל, ואפילו בשני טרפזים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — מלבן בין הגרף לאסימפטוטות

2 — משולש של משיק עם הצירים

3 — משולש שקודקודיו על פרבולה

4 — טרפז ישר זווית: האלכסון הקצר ביותר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev