צורות במישור: מלבן במשולש, חלקה וחלון · בעיות ערך קיצון · כיתה י״א

בתוך משולש ישר זווית בונים מלבן: קודקוד אחד בזווית הישרה, והקודקוד שמולו על היתר. מלבן רחב הוא נמוך, ומלבן צר הוא גבוה. הזיזו את $x$ ותראו מתי השטח הגדול ביותר.

לפי המעבדה: באיזה $x$ השטח הגדול ביותר, ומה היחס בינו לבין שטח המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=5$ , והשטח $20$ . שטח המשולש $\frac{10\cdot 8}{2}=40$ : המלבן הגדול ביותר הוא חצי מהמשולש, והקודקוד שעל היתר הוא אמצע היתר.

הקשר בין שני האורכים: דמיון, פיתגורס או נתון

CA = 15, CB = 10, CD = x. E על היתר AB.

בצורה במישור צריך קודם קשר בין שני האורכים. הוא בא ממשפט: דמיון משולשים (כשיש צלעות מקבילות), משפט פיתגורס (כשיש זווית ישרה), או מנתון של שטח או של היקף. בעזרתו כותבים את הגודל כפונקציה של משתנה אחד.

המלבן הגדול ביותר במשולש שניצביו $15$ ו- $10$

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $CA=15$ ו- $CB=10$ . המלבן $CDEF$ בנוי כמו בשרטוט, ו- $CD=x$ . מצאו את השטח הגדול ביותר.

\triangle ADE \sim \triangle ACB

דמיון משולשים (ז.ז): זווית $A$ משותפת, ו- $\angle ADE=\angle ACB=90^\circ$

\begin{aligned}\frac{DE}{CB} &= \frac{AD}{AC} \ \Rightarrow \ DE \\ &= \frac{10(15-x)}{15} \\ &= \frac{2(15-x)}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}S(x) &= x\cdot\frac{2(15-x)}{3} \\ &= 10x-\frac{2}{3}x^2 \\ \quad 0<x<15\end{aligned}

שטח המלבן והתחום

\begin{aligned}S'(x) &= 10-\frac{4}{3}x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7.5\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(7.5) &= 7.5\cdot 5 \\ &= 37.5\end{aligned}

חצי משטח המשולש ( $75$ )

בדקו את הנוסחה $DE=\frac{2(15-x)}{3}$ בשני הקצוות, $x=0$ ו- $x=15$ . מה יוצא, והאם זה הגיוני?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=0$ יוצא $DE=10=CB$ : המלבן נהיה הצלע $CB$ . ב- $x=15$ יוצא $DE=0$ : $D$ הגיעה ל- $A$ . בשני הקצוות אין מלבן, ולכן התחום פתוח.

שטח נתון: הגדר הקצרה ביותר

הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

כשהשטח נתון והגדר משתנה, האורך השני הוא השטח חלקי $x$ . לכן הפונקציה היא מנה: $L(x)=2x+\frac{k}{x}$ . זו פונקציה רציונלית, והתחום $x>0$ פתוח.

חלקה של $162$ מ״ר ליד קיר

חלקה מלבנית $ABCD$ צמודה לקיר $AD$ , ושטחה $162$ מ״ר. גודרים את שלוש הצלעות האחרות, ו- $AB=CD=x$ . מהו אורך הגדר הקטן ביותר?

BC=\frac{162}{x}

שטח חלקי צלע

\begin{aligned}L(x) &= 2x+\frac{162}{x} \\ \quad x>0\end{aligned}

שתי צלעות ניצבות לקיר ואחת מקבילה לו

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{162}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 81 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

$x>0$

\begin{aligned}L(9) &= 18+18 \\ &= 36\end{aligned}

$BC=18$ : הצלע המקבילה לקיר כפולה מהניצבת

האם אפשר לגדר את החלקה ב- $35$ מ׳ של גדר? וב- $50$ מ׳?

להציג את התשובה והפתרון

$35$ — לא: $36$ מ׳ הוא המינימום. $50$ — כן: $L(x)$ גדלה ללא גבול כש- $x$ מתקרב ל- $0$ וכש- $x$ גדל, ולכן היא מקבלת כל ערך מעל $36$ .

בתחום סגור, למשל כשהקיר קצר או כשהצורה חייבת להישאר בתוך משהו, משווים את הנקודה החשודה עם הקצוות. אם הנקודה החשודה מחוץ לתחום, הקיצון בקצה.

שלוש הטעויות בצורות במישור.

\frac{DE}{CB}=\frac{x}{AC}

\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}

במשולש הקטן $ADE$ הצלע שמתאימה ל- $AC$ היא $AD=15-x$ , לא $CD$ . בדיקה: ב- $x=15$ חייב לצאת $DE=0$ .

L(x)=2x+\frac{162}{2x}

L(x)=2x+\frac{162}{x}

יש צלע אחת בלבד המקבילה לקיר: $BC=\frac{162}{x}$ .

S(x)=x(18-3x)

S(x)=x\cdot\frac{18-3x}{2}

בחלון עם מוט באמצע נשארים $18-3x$ לשתי צלעות אנכיות, ולכן הגובה הוא חצי מזה.

תרגילים

תרגיל 1

CA = 12, CB = 6, CD = x. E על היתר AB.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $CA=12$ ו- $CB=6$ . המלבן $CDEF$ בנוי כך ש- $D$ על $CA$ , $F$ על $CB$ ו- $E$ על היתר $AB$ , כמו בשרטוט. $CD=x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ACB

דמיון משולשים (ז.ז): זווית $A$ משותפת, $\angle ADE=\angle ACB=90^\circ$

\begin{aligned}DE &= \frac{6(12-x)}{12} \\ &= \frac{12-x}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון $\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$

\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(12-x)}{2} \\ \qquad S'(x) &= 6-x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(6) &= \frac{6\cdot 6}{2} \\ &= 18\end{aligned}

השטח

$18$ הוא בדיוק חצי משטח המשולש ( $36$ ). מי שכותב $DE=\frac{6x}{12}$ לקח את $CD$ במקום $AD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

AB = AC, BC = 12, AH = 9 הגובה. HE = x.

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) הבסיס $BC=12$ והגובה $AH=9$ . המלבן $DEFG$ בנוי כך ש- $DE$ על $BC$ , $F$ על $AC$ ו- $G$ על $AB$ , כמו בשרטוט. $HE=x$ . מהי פונקציית השטח של המלבן?

$S(x)=2x(9-x)$
$S(x)=\frac{3x(12-x)}{4}$
$S(x)=1.5x(6-x)$
$S(x)=3x(6-x)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $S(x)=3x(6-x)$

הפתרון:

\triangle FEC \sim \triangle AHC

דמיון משולשים (ז.ז): זווית $C$ משותפת, $\angle FEC=\angle AHC=90^\circ$

\begin{aligned}\frac{EF}{AH} &= \frac{EC}{HC} \ \Rightarrow \ EF \\ &= \frac{9(6-x)}{6} \\ &= 1.5(6-x)\end{aligned}

$HC=6$ ו- $EC=6-x$

\begin{aligned}S(x) &= DE\cdot EF \\ &= 2x\cdot 1.5(6-x) \\ &= 3x(6-x)\end{aligned}

$DE=2x$

הנכונה: $3x(6-x)$ . $1.5x(6-x)$ לוקח בסיס $x$ במקום $2x$ . $2x(9-x)$ מניח שהגובה יורד ב- $1$ לכל יחידה של $x$ , בלי דמיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

AB = AC, BC = 12, AH = 9 הגובה. HE = x.

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) הבסיס $BC=12$ והגובה $AH=9$ . המלבן $DEFG$ בנוי כך ש- $DE$ על $BC$ , $F$ על $AC$ ו- $G$ על $AB$ , כמו בשרטוט. $HE=x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= 3x(6-x) \\ &= 18x-3x^2 \\ \quad 0<x<6\end{aligned}

מדמיון המשולשים $FEC$ ו- $AHC$

\begin{aligned}S'(x) &= 18-6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= 9\cdot 3 \\ &= 27\end{aligned}

המלבן $6 \times 4.5$

התחום $0<x<6$ בא מ- $HC=6$ : ב- $x=6$ הקודקוד $E$ מגיע ל- $C$ והמלבן נעלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

AB = AC, BC = 12, AH = 9 הגובה. HE = x.

במשולש שבשרטוט הבסיס $BC=12$ והגובה $AH=9$ , והמלבן $DEFG$ בנוי עליו כמו בשרטוט. הוכיחו או הפריכו: המלבן הגדול ביותר תופס בדיוק חצי משטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}S_{\triangle ABC} &= \frac{12\cdot 9}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח המשולש

\begin{aligned}S_{\max} &= S(3) \\ &= 27\end{aligned}

מהפונקציה $S(x)=3x(6-x)$

\frac{27}{54}=\frac{1}{2}

היחס

הטענה נכונה. במלבן הגדול ביותר הגובה הוא חצי מגובה המשולש ( $4.5$ ), והבסיס חצי מהבסיס ( $6$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 200 מ״ר, ו-AB = CD = x.

חלקה מלבנית $ABCD$ צמודה לקיר $AD$ , ושטחה $200$ מ״ר. גודרים את שלוש הצלעות האחרות, ו- $AB=CD=x$ , כמו בשרטוט. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= \frac{200}{x} \\ \qquad L(x) &= 2x+\frac{200}{x}\end{aligned}

שטח חלקי צלע

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{200}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

$x>0$

L'(5)<0 ,\qquad L'(20)>0

מינימום

\begin{aligned}L(10) &= 20+20 \\ &= 40\end{aligned}

$BC=20$

מי שגודר גם את הקיר כותב $2x+\frac{400}{x}$ ומקבל $40\sqrt{2}$ . לאורך הקיר לא גודרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שטח המגרש ABCD הוא 600 מ״ר. EF ∥ AB, ו-AB = x.

מגרש מלבני $ABCD$ ששטחו $600$ מ״ר מחולק לשתי חלקות בגדר $EF$ המקבילה ל- $AB$ , כמו בשרטוט. גודרים את ארבע הצלעות ואת $EF$ . $AB=x$ . מהו אורך הגדר הכולל הקטן ביותר (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

BC=\frac{600}{x}

שטח חלקי צלע

L(x)=3x+\frac{1200}{x}

שלושה קטעים באורך $x$ ( $AB$ , $CD$ , $EF$ ) ושניים באורך $BC$

\begin{aligned}L'(x) &= 3-\frac{1200}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 400 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}L(20) &= 60+60 \\ &= 120\end{aligned}

$BC=30$

הגדר $EF$ מקבילה ל- $AB$ , ולכן גם היא באורך $x$ . מי שסופר רק שני קטעים באורך $x$ מקבל $2x+\frac{1200}{x}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המסגרת: AB, BC, CD, DA והמוט EF ∥ AB. אורך כל המוטות יחד 18 מ׳. AB = x.

מסגרת של חלון מלבני $ABCD$ עשויה ממוטות שאורכם יחד $18$ מ׳: ארבע הצלעות ועוד מוט $EF$ המקביל ל- $AB$ , כמו בשרטוט. $AB=x$ . מהו השטח הגדול ביותר של החלון (במ״ר)? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.5

הפתרון:

\begin{aligned}3x+2\cdot BC &= 18 \ \Rightarrow \ BC \\ &= \frac{18-3x}{2}\end{aligned}

שלושה מוטות באורך $x$ ושניים באורך $BC$

\begin{aligned}S(x) &= x\cdot\frac{18-3x}{2} \\ &= 9x-1.5x^2 \\ \quad 0<x<6\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(x) &= 9-3x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= 3\cdot 4.5 \\ &= 13.5\end{aligned}

$BC=4.5$

החלון הגדול ביותר אינו ריבוע: המוט האמצעי «מבזבז» אורך בכיוון של $x$ , ולכן $x$ יוצא קצר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD ריבוע שצלעו 6. M על AB, ו-AM = x.

$ABCD$ ריבוע שצלעו $6$ . הנקודה $M$ על הצלע $AB$ , ו- $AM=x$ , כמו בשרטוט. מהו הערך הקטן ביותר של $MC^2+MD^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

\begin{aligned}MD^2 &= x^2+36 \\ \qquad MC^2 &= (6-x)^2+36\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולשים $MAD$ ו- $MBC$ (זוויות $A$ ו- $B$ ישרות)

\begin{aligned}F(x) &= 2x^2-12x+108 \\ \quad 0\le x\le 6\end{aligned}

מחברים ופותחים סוגריים

\begin{aligned}F'(x) &= 4x-12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתוך התחום

\begin{aligned}F(3) &= 90 \\ \qquad F(0) &= F(6) \\ &= 108\end{aligned}

משווים עם הקצוות

המינימום כש- $M$ אמצע $AB$ . כאן אין צורך בשורש: הגודל המבוקש כבר סכום של ריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

CA = 12, CB = 6, CD = x ו-0 < x ≤ 4. E על היתר AB.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $CA=12$ ו- $CB=6$ . המלבן $CDEF$ בנוי כך ש- $E$ על היתר $AB$ , כמו בשרטוט, ו- $CD=x$ . בגלל מגבלה של המקום, $0<x\le 4$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(12-x)}{2} \\ \quad 0<x\le 4\end{aligned}

מדמיון המשולשים $ADE$ ו- $ACB$

\begin{aligned}S'(x) &= 6-x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מחוץ לתחום

S'(x)>0 ,\quad 0<x\le 4

השטח עולה בכל התחום

\begin{aligned}S(4) &= \frac{4\cdot 8}{2} \\ &= 16\end{aligned}

המקסימום בקצה

מי שעונה $18$ השתמש ב- $x=6$ , שאינו מותר כאן. בתחום סגור בודקים את הקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 128 מ״ר, ו-AB = CD = x.

חלקה מלבנית $ABCD$ צמודה לקיר $AD$ , ושטחה $128$ מ״ר. גודרים את שלוש הצלעות האחרות, ו- $AB=CD=x$ , כמו בשרטוט. מחפשים את אורך הגדר הקטן ביותר. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

BC=\frac{128}{x}

L(x)=2x+\frac{128}{x}

L'(x)=2+\frac{128}{x^2}

\begin{aligned}L'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}L(8) &= 16+16 \\ &= 32\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $L'(x)=2+\frac{128}{x^2}$ → $L'(x)=2-\frac{128}{x^2}$

הפתרון:

\left(\frac{128}{x}\right)'=-\frac{128}{x^2}

נגזרת של $\frac{a}{x}$

\begin{aligned}2-\frac{128}{x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

ורק אז יוצא $x=8$

עם הפלוס, $L'(x)$ חיובית תמיד ואין לה אפס. המינוס בנגזרת של $\frac{a}{x}$ הוא מה שיוצר את המינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הקשר בין שני האורכים: דמיון, פיתגורס או נתון

שטח נתון: הגדר הקצרה ביותר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev