המרחק מנקודה לגרף · בעיות ערך קיצון · כיתה י״א

על הגרף של $y=\frac{4}{x}$ ברביע הראשון נעה נקודה $P$ . המרחק שלה מראשית הצירים $O$ משתנה: כש- $P$ קרובה לציר ה- $y$ היא גבוהה ורחוקה, וכש- $P$ נעה ימינה היא נמוכה, אבל שוב רחוקה. איפה המרחק הקטן ביותר?

המרחק מ-O לנקודה P על y = 4/x

P = (1, 4). הקו המקווקו הוא OP.

חשבו את $OP$ כש- $P=(1,\,4)$ וכש- $P=(2,\,2)$ . איזו נקודה קרובה יותר?

להציג את התשובה והפתרון

$OP=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\approx 4.12$ , ו- $OP=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\approx 2.83$ . הנקודה $(2,\,2)$ קרובה יותר, והיא גם הקרובה ביותר: נראה את זה מיד.

למה $d^2$ ולא $d$

d^2=(x-a)^2+\big(f(x)-b\big)^2

המרחק בין $P=(x,\,f(x))$ לבין $A=(a,\,b)$ הוא שורש, וגזירת שורש מסבכת. אבל $d$ אינו שלילי, ולכן $d$ ו- $d^2$ קטנים ביותר באותו $x$ . גוזרים את $D(x)=d^2$ , שהיא פולינום או מנה, ובסוף מוציאים שורש פעם אחת.

הנקודה על $y=\frac{4}{x}$ הקרובה ביותר לראשית

$P=(x,\,\frac{4}{x})$ ו- $x>0$ . מצאו את $P$ ואת המרחק הקטן ביותר.

\begin{aligned}D(x) &= x^2+\left(\frac{4}{x}\right)^2 \\ &= x^2+\frac{16}{x^2}\end{aligned}

ריבוע המרחק מ- $O(0,\,0)$

\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{32}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

$x>0$

\begin{aligned}D(2) &= 4+4 \\ &= 8 \ \Rightarrow \ d \\ &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

רק בסוף מוציאים שורש. $P=(2,\,2)$

האם יש על הגרף נקודה שמרחקה מ- $O$ הוא $2.5$ ? ו- $3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$2.5$ — לא: $2\sqrt{2}\approx 2.83$ הוא המרחק הקטן ביותר. $3$ — כן: המרחק גדל ללא גבול משני הצדדים של $x=2$ , ולכן מקבל כל ערך מעל $2\sqrt{2}$ , ואפילו בשתי נקודות.

פרבולה ונקודה על ציר הסימטריה

$y=\frac{x^2}{2}$ והנקודה $A(0,\,5)$

מצאו את המרחק הקטן ביותר בין $A$ לבין הגרף.

\begin{aligned}D(x) &= x^2+\left(\frac{x^2}{2}-5\right)^2 \\ &= \frac{x^4}{4}-4x^2+25\end{aligned}

פותחים סוגריים: $x^2-5x^2=-4x^2$

\begin{aligned}D'(x) &= x^3-8x \\ &= x(x^2-8) \\ &= 0\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

\begin{aligned}x &= 0 \\ \qquad x &= \pm 2\sqrt{2}\end{aligned}

כאן $x$ יכול להיות שלילי: אין הגבלה על התחום

\begin{aligned}D(0) &= 25 \\ \qquad D(\pm 2\sqrt{2}) &= 16-32+25 \\ &= 9\end{aligned}

$x=0$ מקסימום מקומי, $\pm 2\sqrt{2}$ מינימום

\begin{aligned}d_{\min} &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

שתי נקודות קרובות ביותר, סימטריות: $(\pm 2\sqrt{2},\,4)$

למה הקודקוד $(0,\,0)$ אינו הנקודה הקרובה ביותר ל- $A(0,\,5)$ , אף שהוא ישר מתחתיה?

להציג את התשובה והפתרון

המרחק מהקודקוד הוא $5$ . אבל $(2\sqrt{2},\,4)$ רחוקה רק $\sqrt{8+1}=3$ : הפרבולה «מתקרבת» ל- $A$ מהצדדים. הקודקוד הוא הקרוב ביותר רק כש- $A$ נמוכה מספיק.

מבקשים נקודה? עונים בשני השיעורים. מבקשים מרחק? עונים $\sqrt{D_{\min}}$ , ולא $D_{\min}$ .

שלוש הטעויות במרחק.

D(x)=(x-3)^2+x^2

D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2

עבור $y=x^2$ מעלים בריבוע את כל שיעור ה- $y$ : $(x^2)^2=x^4$ .

d_{\min}=8

d_{\min}=\sqrt{8}

$8$ הוא ריבוע המרחק.

\begin{aligned}x^4 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

\begin{aligned}x^4 &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

על $y=\frac{4}{x}$ ברביע הראשון $x>0$ . בפרבולה, לעומת זאת, אין הגבלה, ושני הפתרונות נשארים.

תרגילים

תרגיל 1

המרחק מ-O לנקודה P על y = 8/x

P נקודה כללית על הגרף ברביע הראשון. הקו המקווקו הוא OP.

הנקודה $P=(x,\,\frac{8}{x})$ נמצאת על הגרף $y=\frac{8}{x}$ ברביע הראשון, כמו בשרטוט. מהו ריבוע המרחק $D(x)=OP^2$ בין $P$ לראשית הצירים?

$x+\frac{8}{x}$
$x^2+\frac{64}{x}$
$x^2+\frac{64}{x^2}$
$x^2+\frac{8}{x^2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x^2+\frac{64}{x^2}$

הפתרון:

D(x)=(x-0)^2+\left(\frac{8}{x}-0\right)^2

נוסחת המרחק בריבוע

\left(\frac{8}{x}\right)^2=\frac{64}{x^2}

מעלים בריבוע גם את המונה וגם את המכנה

הנכונה: $x^2+\frac{64}{x^2}$ . $\frac{8}{x^2}$ לא העלה את המונה בריבוע, ו- $\frac{64}{x}$ לא העלה את המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרחק מ-O לנקודה P על y = 8/x

P נקודה כללית על הגרף ברביע הראשון. הקו המקווקו הוא OP.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{8}{x}$ ברביע הראשון, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין $P$ לבין ראשית הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

D(x)=x^2+\frac{64}{x^2}

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{128}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 8\end{aligned}

$x>0$

\begin{aligned}D &= 8+\frac{64}{8} \\ &= 16\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}d &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

המרחק

הנקודה עצמה היא $(2\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$ , אבל את $x$ לא צריך לחשב עד הסוף: מספיק $x^2=8$ . מי שעונה $16$ עצר בריבוע המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המרחק מ-A(0, 5) לנקודה P על y = x²/4

P נקודה כללית על הפרבולה.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה $A(0,\,5)$ לבין הגרף $y=\frac{x^2}{4}$ , כמו בשרטוט?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}D(x) &= x^2+\left(\frac{x^2}{4}-5\right)^2 \\ &= \frac{x^4}{16}-\frac{3}{2}x^2+25\end{aligned}

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= \frac{x^3}{4}-3x \\ &= \frac{x(x^2-12)}{4} \\ &= 0\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

\begin{aligned}D(0) &= 25 \\ \qquad D(\pm 2\sqrt{3}) &= 9-18+25 \\ &= 16\end{aligned}

$x^2=12$ נותן מינימום

\begin{aligned}d_{\min} &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

המרחק

מי שבודק רק את $x=0$ עונה $5$ : זה המרחק מהקודקוד, והוא מקסימום מקומי של $D$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המרחק מ-A(3, 0) לנקודה P על y = x²

P נקודה כללית על הפרבולה.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=x^2$ , ו- $A=(3,\,0)$ , כמו בשרטוט. מצאו את שיעור ה- $x$ של הנקודה $P$ הקרובה ביותר ל- $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

D(x)=(x-3)^2+x^4

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= 2(x-3)+4x^3 \\ &= 4x^3+2x-6\end{aligned}

גזירה

4x^3+2x-6=2(x-1)(2x^2+2x+3)

$x=1$ פותר: $4+2-6=0$

2x^2+2x+3>0

דיסקרימיננטה $4-24<0$ : אין עוד פתרונות

את $x=1$ מוצאים בניחוש, ומפרקים כדי לוודא שאין אחרים. $D$ יורדת לפני $x=1$ ועולה אחריו: מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המרחק מ-A(3, 0) לנקודה P על y = x²

P נקודה כללית על הפרבולה.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=x^2$ , ו- $A=(3,\,0)$ , כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין $A$ לבין הגרף? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.24

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ P \\ &= (1,\,1)\end{aligned}

הפתרון היחיד של $D'(x)=0$

\begin{aligned}D(1) &= (1-3)^2+1^4 \\ &= 5\end{aligned}

ריבוע המרחק

d=\sqrt{5}\approx 2.24

המרחק

מי שעונה $5$ שכח להוציא שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המרחק מ-A(0, 0.25) לנקודה P על y = x²

P נקודה כללית על הפרבולה.

הוכיחו או הפריכו: הנקודה על הגרף $y=x^2$ הקרובה ביותר לנקודה $A(0,\,0.25)$ היא הקודקוד $(0,\,0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}D(x) &= x^2+(x^2-0.25)^2 \\ &= x^4+0.5x^2+0.0625\end{aligned}

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= 4x^3+x \\ &= x(4x^2+1)\end{aligned}

$4x^2+1>0$

x=0

הנקודה החשודה היחידה, ובה $D$ עוברת מירידה לעלייה

הטענה נכונה. כאן $A$ נמוכה, ולכן הקודקוד הוא הקרוב ביותר. כשהנקודה גבוהה יותר, כמו $A(0,\,5)$ , מופיעות שתי נקודות קרובות יותר מהצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המרחק מ-O לנקודה P על y = 8/x, כש-1 ≤ x ≤ 2

P על הגרף, ושיעור ה-x שלה בין 1 ל-2.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{8}{x}$ , ו- $1\le x\le 2$ , כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין $P$ לבין ראשית הצירים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.47

הפתרון:

\begin{aligned}D(x) &= x^2+\frac{64}{x^2} \\ \qquad D'(x) &= 2x-\frac{128}{x^3}\end{aligned}

ריבוע המרחק ונגזרתו

\begin{aligned}x^2 &= 8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{2}\approx 2.83\end{aligned}

מחוץ לתחום $1\le x\le 2$

D'(x)<0 ,\quad 1\le x\le 2

ריבוע המרחק יורד בכל התחום

\begin{aligned}D(2) &= 4+16 \\ &= 20 \ \Rightarrow \ d \\ &= \sqrt{20}\approx 4.47\end{aligned}

המינימום בקצה $x=2$

מי שעונה $4$ השתמש בנקודה החשודה, אבל $x=2\sqrt{2}$ לא בתחום. בתחום סגור בודקים קודם אם הנקודה החשודה בפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המרחק מ-O לנקודה P על y = 8/x

P נקודה כללית על הגרף ברביע הראשון. הקו המקווקו הוא OP.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{8}{x}$ ברביע הראשון, כמו בשרטוט. הוכיחו או הפריכו: ייתכן ש- $OP=3.9$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}D_{\min} &= 16 \ \Rightarrow \ d_{\min} \\ &= 4\end{aligned}

המרחק הקטן ביותר

3.9<4

קטן מהמינימום

הטענה לא נכונה. אין על הגרף נקודה שקרובה ל- $O$ יותר מ- $4$ . כל מרחק מעל $4$ כן מתקבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המרחק מ-A(0, 3) לנקודה P על y = x²

P נקודה כללית על הפרבולה.

מחפשים את המרחק הקטן ביותר בין $A(0,\,3)$ לבין הגרף $y=x^2$ , כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

\begin{aligned}D(x) &= x^2+(x^2-3)^2 \\ &= x^4-5x^2+9\end{aligned}

\begin{aligned}D'(x) &= 4x^3-10x \\ &= 2x(2x^2-5)\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \\ \qquad x^2 &= 2.5\end{aligned}

\begin{aligned}D_{\min} &= D(0) \\ &= 9\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D_{\min}=D(0)=9$ → $D_{\min}=D(\pm\sqrt{2.5})=6.25-12.5+9=2.75$

הפתרון:

\begin{aligned}D(0) &= 9 \\ \qquad D(\pm\sqrt{2.5}) &= 2.75\end{aligned}

משווים את כל הנקודות החשודות

d_{\min}=\sqrt{2.75}\approx 1.66

המרחק

ב- $x=0$ יש מקסימום מקומי של $D$ : הנגזרת עוברת שם מ- $+$ ל- $-$ . לא בוחרים את הנקודה החשודה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המרחק מ-A(0, 4.5) לנקודה P על y = x²

P נקודה כללית על הפרבולה.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה $A(0,\,4.5)$ לבין הגרף $y=x^2$ , כמו בשרטוט? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.06

הפתרון:

\begin{aligned}D(x) &= x^2+(x^2-4.5)^2 \\ &= x^4-8x^2+20.25\end{aligned}

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= 4x^3-16x \\ &= 4x(x^2-4) \\ &= 0\end{aligned}

$x=0$ או $x=\pm 2$

\begin{aligned}D(0) &= 20.25 \\ \qquad D(\pm 2) &= 16-32+20.25 \\ &= 4.25\end{aligned}

מינימום ב- $x=\pm 2$

d=\sqrt{4.25}\approx 2.06

המרחק

שתי נקודות קרובות ביותר: $(2,\,4)$ ו- $(-2,\,4)$ . $4.25$ הוא ריבוע המרחק, לא המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

למה d2d^2d2 ולא ddd

פרבולה ונקודה על ציר הסימטריה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

למה $d^2$ ולא $d$