המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים · בעיות ערך קיצון · כיתה י״א

בכל נקודה על הגרף של $f(x)=12-x^2$ ברביע הראשון אפשר להעביר משיק. המשיק חותך את שני הצירים, ויחד איתם הוא סוגר משולש. כשנקודת ההשקה זזה, גם המשולש משתנה: משיק תלול יוצר משולש גבוה וצר, ומשיק מתון משולש נמוך ורחב. מתי הוא הקטן ביותר?

המשיק בנקודה P והצירים

המשיק ב-P חותך את שני הצירים, ויחד איתם סוגר משולש.

בשרטוט המשיק בנקודה $P(2,\,8)$ . מהי משוואתו, ומה שטח המשולש שהוא יוצר עם הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x)=-2x$ , ולכן $m=f'(2)=-4$ ו- $y=-4x+16$ . החיתוכים הם $(0,\,16)$ ו- $(4,\,0)$ , והשטח $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 16=32$ .

המשיק בנקודה כללית $(t,\,f(t))$

כדי להשוות בין כל המשיקים, מסמנים את נקודת ההשקה באות $t$ . במשוואת המשיק $x$ ו- $y$ הם המשתנים של הישר, ו- $t$ הוא המשתנה של הבעיה: לפיו גוזרים בסוף.

y-f(t)=f'(t)\,(x-t)

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x_0 \\ &= t-\frac{f(t)}{f'(t)}\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y_0 \\ &= f(t)-t\cdot f'(t)\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $y$

S(t)=\tfrac{1}{2}\,x_0\cdot y_0

משולש ישר זווית: שני הניצבים על הצירים

המשולש הקטן ביותר עבור $f(x)=12-x^2$

$P=(t,\,12-t^2)$ ו- $0<t<\sqrt{12}$ . מצאו את השטח הקטן ביותר של המשולש.

\begin{aligned}y &= -2t(x-t)+12-t^2 \\ &= -2tx+t^2+12\end{aligned}

המשיק: $f'(t)=-2t$

\begin{aligned}y_0 &= t^2+12 \\ \qquad x_0 &= \frac{t^2+12}{2t}\end{aligned}

החיתוכים עם הצירים

\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2}\cdot\frac{t^2+12}{2t}\cdot(t^2+12) \\ &= \frac{(t^2+12)^2}{4t}\end{aligned}

שטח המשולש

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{2(t^2+12)\cdot 2t\cdot 4t-4(t^2+12)^2}{16t^2} \\ &= \frac{(t^2+12)(3t^2-12)}{4t^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ומוציאים גורם משותף

\begin{aligned}3t^2-12 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2 \\ \qquad S(2) &= \frac{16^2}{8} \\ &= 32\end{aligned}

המינימום

למה לא מספיק למצוא את המשיק ב- $(2,\,8)$ ולחשב שטח אחד?

להציג את התשובה והפתרון

כי שטח אחד הוא מספר, ולא פונקציה. כדי לדעת שהוא הקטן ביותר צריך להשוות אותו לכל המשיקים. לכן כותבים את השטח כפונקציה של $t$ וגוזרים.

כשהשטח קבוע, וכשהמינימום בקצה

לא כל בעיה מסתיימת בנקודה פנימית. בהיפרבולה $y=\frac{k}{x}$ המשיק תמיד יוצר עם הצירים משולש ששטחו $2k$ , בלי קשר ל- $t$ . ובבעיה עם תחום סגור הקיצון יכול להיות בקצה.

פעילות אינטראקטיבית

המשיק לגרף $f(x)=\frac{4}{x+1}$

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)=\frac{4}{x+1}$ , כאשר $x\ge 0$ . המשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

$2$

$8$

$4$

אין שטח קטן ביותר

$P=(t,\,\frac{4}{t+1})$ . מהו שיפוע המשיק?

$\frac{4}{(t+1)^2}$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את המינוס: הפונקציה יורדת.

$-\frac{4}{(t+1)^2}$

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת של $\frac{a}{x+1}$ היא $-\frac{a}{(x+1)^2}$ .

f'(t)=-\frac{4}{(t+1)^2}

המשיק יורד, ולכן הוא חותך את שני הצירים בחלק החיובי

איפה המשיק חותך את הצירים?

$x_0=2t+1$ ו- $y_0=\frac{4(2t+1)}{(t+1)^2}$

להציג את התשובה והפתרון

מציבים $y=0$ , ואחר כך $x=0$ , במשוואת המשיק.

$x_0=t$ ו- $y_0=\frac{4}{t+1}$

להציג את התשובה והפתרון

אלה השיעורים של $P$ עצמה, לא החיתוכים של המשיק.

\begin{aligned}x_0 &= 2t+1 \\ \qquad y_0 &= \frac{4(2t+1)}{(t+1)^2}\end{aligned}

מתוך $y=-\frac{4}{(t+1)^2}(x-t)+\frac{4}{t+1}$

מהי פונקציית השטח, ומה הסימן של הנגזרת שלה?

$S(t)=\frac{2(2t+1)^2}{(t+1)^2}$ , והנגזרת מתאפסת ב- $t=-\frac{1}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$t=-\frac{1}{2}$ מחוץ לתחום $t\ge 0$ .

$S(t)=\frac{2(2t+1)^2}{(t+1)^2}$ , והנגזרת חיובית לכל $t>0$

להציג את התשובה והפתרון

השטח עולה כל הזמן.

S'(t)=\frac{4(2t+1)}{(t+1)^3}>0

אין נקודה חשודה בתחום

אז איפה המינימום?

בקצה $t=0$

להציג את התשובה והפתרון

השטח עולה, ולכן הוא הקטן ביותר בתחילת התחום.

אין מינימום, כי הנגזרת לא מתאפסת

להציג את התשובה והפתרון

הקצה $t=0$ שייך לתחום, ושם מתקבל הערך הקטן ביותר.

\begin{aligned}S(0) &= \frac{2\cdot 1^2}{1^2} \\ &= 2\end{aligned}

המשיק ב- $(0,\,4)$ הוא $y=-4x+4$

להציג את התשובה והפתרון

השטח הקטן ביותר הוא $2$ , בקצה $t=0$ . «אין שטח קטן ביותר» היה נכון אילו התחום היה $t>0$ . $8$ הוא הערך שהשטח מתקרב אליו כש- $t$ גדל, והוא לא מגיע אליו לעולם.

לעשות את הפעילות ב-elev

הראו שלכל משיק לגרף $y=\frac{1}{x}$ ברביע הראשון, שטח המשולש עם הצירים הוא $2$ .

להציג את התשובה והפתרון

$m=-\frac{1}{t^2}$ , והמשיק $y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$ . החיתוכים $x_0=2t$ ו- $y_0=\frac{2}{t}$ , והשטח $\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{2}{t}=2$ : $t$ מצטמצם.

סדר קבוע: נקודה $(t,\,f(t))$ , שיפוע $f'(t)$ , משוואת משיק, חיתוכים עם הצירים, ורק אז שטח וגזירה לפי $t$ .

הטעויות במשיק הכללי.

y-f(t)=f'(x)(x-t)

y-f(t)=f'(t)(x-t)

השיפוע הוא מספר שתלוי ב- $t$ , לא פונקציה של $x$ . מציבים $t$ בנגזרת.

S(t)=x_0\cdot y_0

S(t)=\tfrac{1}{2}\,x_0\cdot y_0

זה משולש ישר זווית, לא מלבן.

t=\pm 2

t=2

$t$ שלילי מוציא את $P$ מהרביע הראשון.

תרגילים

תרגיל 1

המשיק לגרף y = 12 − x² בנקודה P

P = (t, 12 − t²) ברביע הראשון.

הנקודה $P=(t,\,12-t^2)$ נמצאת על הגרף $f(x)=12-x^2$ , כמו בשרטוט. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה $P$ ?

$y=-2t(x-t)$
$y=-2tx+t^2+12$
$y=-2tx+12-t^2$
$y=-2x+12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y=-2tx+t^2+12$

הפתרון:

f'(t)=-2t

השיפוע בנקודה

y-(12-t^2)=-2t(x-t)

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y &= -2tx+2t^2+12-t^2 \\ &= -2tx+t^2+12\end{aligned}

פותחים סוגריים

הנכונה: $y=-2tx+t^2+12$ . $12-t^2$ שוכח את $+2t^2$ שיוצא מ- $-2t\cdot(-t)$ . $y=-2x+12$ שוכח להציב $t$ בשיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשיק לגרף y = 12 − x² בנקודה שבה x = 1

המשיק בנקודה שבה x = 1.

המשיק לגרף $f(x)=12-x^2$ בנקודה שבה $x=1$ חותך את ציר ה- $y$ , כמו בשרטוט. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= 11 \\ \qquad f'(1) &= -2\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

\begin{aligned}y &= -2(x-1)+11 \\ &= -2x+13\end{aligned}

משוואת המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 13\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

בדיקה בנוסחה הכללית: $y_0=t^2+12=13$ . מי שעונה $11$ נתן את גובה הנקודה $P$ , לא את החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשיק לגרף y = 48 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $f(x)=48-x^2$ ברביע הראשון. המשיק לגרף ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 256

הפתרון:

y=-2tx+t^2+48

המשיק ב- $(t,\,48-t^2)$

\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2}\cdot\frac{t^2+48}{2t}\cdot(t^2+48) \\ &= \frac{(t^2+48)^2}{4t}\end{aligned}

החיתוכים והשטח

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+48)(3t^2-48)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}S(4) &= \frac{64^2}{16} \\ &= 256\end{aligned}

השטח

המשולש הקטן ביותר מתקבל ב- $t=4$ , כלומר ב- $t^2=\frac{48}{3}$ . מי שפותר $t^2+48=0$ לא ימצא פתרון: הגורם הזה חיובי תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשיק לגרף y = 75 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P=(t,\,75-t^2)$ נמצאת על הגרף $f(x)=75-x^2$ ברביע הראשון. המשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מצאו את $t$ שעבורו שטח המשולש הקטן ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}S(t) &= \frac{(t^2+75)^2}{4t} \\ \quad 0<t<\sqrt{75}\end{aligned}

אותה דרך כמו עבור $12-x^2$

S'(t)=\frac{(t^2+75)(3t^2-75)}{4t^2}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}3t^2 &= 75 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

שאלו על $t$ , לא על השטח ( $S(5)=500$ ). ו- $t=-5$ נפסל: $P$ ברביע הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשיק לגרף y = 6/x והצירים

P = (t, 6/t) ברביע הראשון.

הוכיחו או הפריכו: כל משיק לגרף $y=\frac{6}{x}$ ברביע הראשון יוצר עם הצירים משולש ששטחו $12$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f'(t)=-\frac{6}{t^2}

השיפוע

y=-\frac{6}{t^2}x+\frac{12}{t}

המשיק ב- $(t,\,\frac{6}{t})$

\begin{aligned}x_0 &= 2t \\ \qquad y_0 &= \frac{12}{t}\end{aligned}

החיתוכים

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{12}{t} \\ &= 12\end{aligned}

$t$ מצטמצם

הטענה נכונה. השטח קבוע, ולכן לשאלה «מתי השטח הקטן ביותר» אין כאן תשובה אחת: כל המשיקים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשיק לגרף y = 6/x בנקודה שבה x = 3

המשיק בנקודה P, שבה x = 3.

המשיק לגרף $y=\frac{6}{x}$ בנקודה שבה $x=3$ חותך את ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= 2 \\ \qquad f'(3) &= -\frac{6}{9} \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y=-\frac{2}{3}(x-3)+2

המשיק

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x-3 \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

בהיפרבולה $y=\frac{k}{x}$ החיתוך עם ציר ה- $x$ תמיד ב- $2t$ , כלומר פעמיים שיעור ה- $x$ של נקודת ההשקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף y = x³ והמשיק בנקודה (1, 1)

A על הגרף ו-B על המשיק, באותו x, כש-−2 ≤ x ≤ 1.

המשיק לגרף $f(x)=x^3$ בנקודה $(1,\,1)$ הוא $y=3x-2$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את הגרף ב- $A$ ואת המשיק ב- $B$ , כאשר $-2\le x\le 1$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}AB(x) &= x^3-(3x-2) \\ &= x^3-3x+2\end{aligned}

בתחום הזה הגרף מעל המשיק

x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)

הקצוות $x=-2$ ו- $x=1$ הם נקודות המפגש

\begin{aligned}AB'(x) &= 3x^2-3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 1\end{aligned}

$x=1$ הוא קצה

\begin{aligned}AB(-1) &= -1+3+2 \\ &= 4 \\ \qquad AB(-2) &= AB(1) \\ &= 0\end{aligned}

משווים עם הקצוות

המשיק נוגע בגרף ב- $x=1$ , ושם האורך $0$ . המקסימום בנקודה הפנימית $x=-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המשיק לגרף f(x) = 9/(x + 1) והצירים

P על הגרף, ו-x ≥ 0.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $f(x)=\frac{9}{x+1}$ , כאשר $x\ge 0$ . המשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.5

הפתרון:

f'(t)=-\frac{9}{(t+1)^2}

השיפוע ב- $P=(t,\,\frac{9}{t+1})$

\begin{aligned}x_0 &= 2t+1 \\ \qquad y_0 &= \frac{9(2t+1)}{(t+1)^2}\end{aligned}

החיתוכים עם הצירים

\begin{aligned}S(t) &= \frac{9(2t+1)^2}{2(t+1)^2} \\ \qquad S'(t) &= \frac{9(2t+1)}{(t+1)^3}>0\end{aligned}

השטח עולה בכל התחום

\begin{aligned}S(0) &= \frac{9}{2} \\ &= 4.5\end{aligned}

המינימום בקצה $t=0$

הנגזרת לא מתאפסת בתחום, ובכל זאת יש מינימום: בקצה $t=0$ . מי שעונה «אין מינימום» שכח שהקצה שייך לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף f(x) = −x² + 6x והמשיק בנקודה שבה x = 4

A על המשיק ו-B על הגרף, באותו x, כש-0 ≤ x ≤ 3.

המשיק לגרף $f(x)=-x^2+6x$ בנקודה שבה $x=4$ הוא $y=-2x+16$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את המשיק ב- $A$ ואת הגרף ב- $B$ , כאשר $0\le x\le 3$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}AB(x) &= (-2x+16)-(-x^2+6x) \\ &= x^2-8x+16 \\ &= (x-4)^2\end{aligned}

המשיק מעל הפרבולה

\begin{aligned}AB'(x) &= 2x-8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מחוץ לתחום $0\le x\le 3$

AB'(x)<0 ,\quad 0\le x\le 3

האורך יורד בכל התחום

\begin{aligned}AB(0) &= 16 \\ \qquad AB(3) &= 1\end{aligned}

המקסימום בקצה $x=0$

בתחום הזה הנקודה החשודה $x=4$ לא שייכת לבעיה. שני הקצוות נותנים את הגדול ביותר ( $16$ ) ואת הקטן ביותר ( $1$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המשיק לגרף y = 8/x והצירים

P = (t, 8/t) ברביע הראשון.

מחשבים את שטח המשולש שיוצר עם הצירים המשיק לגרף $y=\frac{8}{x}$ בנקודה $(t,\,\frac{8}{t})$ , כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

f'(t)=-\frac{8}{t^2}

\begin{aligned}y &= -\frac{8}{t^2}(x-t)+\frac{8}{t} \\ &= -\frac{8}{t^2}x+\frac{16}{t}\end{aligned}

\begin{aligned}x_0 &= 2t \\ \qquad y_0 &= \frac{16}{t}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 2t\cdot\frac{16}{t} \\ &= 32\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S=2t\cdot\frac{16}{t}=32$ → $S=\tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{16}{t}=16$

הפתרון:

S=\tfrac{1}{2}\,x_0\cdot y_0

משולש ישר זווית

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{16}{t} \\ &= 16\end{aligned}

השטח קבוע

השורה האחרונה חישבה שטח של מלבן. בדיקה: עבור $y=\frac{k}{x}$ השטח תמיד $2k=16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המשיק בנקודה כללית (t, f(t))(t,\,f(t))(t,f(t))

כשהשטח קבוע, וכשהמינימום בקצה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

המשיק בנקודה כללית $(t,\,f(t))$