סדרה 3 — לקראת הבגרות · בעיות ערך קיצון · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלת הקיצון של הבגרות, מחולקות לסעיפים א, ב, ג ו-ד. לכל סעיף תרגיל משלו, עם אותו נוסח פתיחה: מלבן בין גרף לאסימפטוטות, משיק עם פרמטר, וטרפז עם אלכסון קצר ביותר.

בבחינה כל סעיף נשען על הקודם. כתבו את הפונקציה פעם אחת, בדקו את סוג הקיצון, ורק אז ענו על «האם ייתכן».

תרגילים

תרגיל 1

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. א. מהן האסימפטוטות של $f$ ?

$x=-2$ ו- $y=1$
$x=-2$ ו- $y=0$
$x=2$ ו- $y=1$
$x=-2$ ו- $y=16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x=-2$ ו- $y=1$

הפתרון:

\begin{aligned}x+2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס

\frac{16}{x+2} \to 0 \ \Rightarrow \ y=1

אסימפטוטה אופקית

הנכונה: $x=-2$ ו- $y=1$ . $y=0$ שוכח את התוספת $1$ , ו- $x=2$ טועה בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ב. מצאו את שיעור ה- $x$ של $P$ שעבורו היקף המלבן הקטן ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

L(x)=2(x+2)+\frac{32}{x+2}

הצלעות $x+2$ ו- $\frac{16}{x+2}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{32}{(x+2)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x+2)^2 \\ &= 16\end{aligned}

$x+2>0$

\begin{aligned}x+2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

מי שעונה $4$ נתן את $x+2$ , כלומר את אורך הצלע, ולא את שיעור ה- $x$ של $P$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ג. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ x+2 \\ &= 4 \\ \quad \frac{16}{4} &= 4\end{aligned}

המלבן ריבוע

\begin{aligned}L(2) &= 8+8 \\ &= 16\end{aligned}

ההיקף

$P=(2,\,5)$ . השטח קבוע ( $16$ ), וההיקף הקטן ביותר מתקבל בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

f(x) = 1 + 16/(x + 2) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=1+\frac{16}{x+2}$ בתחום $x>-2$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות של $f$ , ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות, כמו בשרטוט. ד. הוכיחו או הפריכו: יש מלבן כזה שהיקפו $15$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

L_{\min}=16

מסעיף ג

15<16

קטן מהמינימום

הטענה לא נכונה. כל היקף מעל $16$ מתקבל פעמיים, משני הצדדים של $x=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

נתונה $f(x)=a-3x^2$ , כאשר $a$ פרמטר חיובי. המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,\,39)$ . הנקודה $P=(t,\,f(t))$ נמצאת על הגרף ברביע הראשון, והמשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= a-3 \\ \qquad f'(x) &= -6x \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

\begin{aligned}y &= -6(x-1)+a-3 \\ &= -6x+a+3\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}a+3 &= 39 \ \Rightarrow \ a \\ &= 36\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $y$

מי שמציב את $(0,\,39)$ ב- $f$ עצמה מקבל $a=39$ . הנקודה נמצאת על המשיק, לא על הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$
$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{6t}$
$S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12}$
$S(t)=\frac{(36-3t^2)^2}{12t}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $S(t)=\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$

הפתרון:

\begin{aligned}y &= -6t(x-t)+36-3t^2 \\ &= -6tx+3t^2+36\end{aligned}

המשיק ב- $P$

\begin{aligned}y_0 &= 3t^2+36 \\ \qquad x_0 &= \frac{3t^2+36}{6t}\end{aligned}

החיתוכים

\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2}\cdot\frac{3t^2+36}{6t}\cdot(3t^2+36) \\ &= \frac{(3t^2+36)^2}{12t}\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

הנכונה: $\frac{(3t^2+36)^2}{12t}$ . $6t$ במכנה שוכח את החצי. $36-3t^2$ הוא $f(t)$ , לא החיתוך של המשיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

S'(t)=\frac{2(3t^2+36)\cdot 6t\cdot 12t-12(3t^2+36)^2}{144t^2}

נגזרת של מנה

S'(t)=\frac{(3t^2+36)(9t^2-36)}{12t^2}

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}9t^2 &= 36 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום, ובתוך התחום $0<t<\sqrt{12}$

רק הגורם $9t^2-36$ משנה סימן. $t=-2$ נפסל: $P$ ברביע הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המשיק לגרף f(x) = a − 3x² והצירים

P = (t, f(t)) ברביע הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

\begin{aligned}3t^2+36 &= 12+36 \\ &= 48\end{aligned}

מציבים $t=2$

\begin{aligned}S(2) &= \frac{48^2}{24} \\ &= 96\end{aligned}

השטח

המשיק ב- $(2,\,24)$ הוא $y=-12x+48$ , והחיתוכים $(4,\,0)$ ו- $(0,\,48)$ : $\frac{4\cdot 48}{2}=96$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 3AD, ושטח הטרפז 32 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=3AD$ , ושטח הטרפז $32$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. א. הביעו את $AB$ באמצעות $x$ .

$AB=\frac{64}{x}$
$AB=\frac{16}{x}$
$AB=\frac{32}{x}$
$AB=\frac{8}{x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $AB=\frac{16}{x}$

הפתרון:

\frac{(x+3x)\cdot AB}{2}=32

שטח טרפז

\begin{aligned}2x\cdot AB &= 32 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{16}{x}\end{aligned}

$AB$ הוא הגובה

הנכונה: $\frac{16}{x}$ . $\frac{32}{x}$ שוכח שסכום הבסיסים $4x$ ולא $x$ , ו- $\frac{8}{x}$ שוכח את החלוקה ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 3AD, ושטח הטרפז 32 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=3AD$ , ושטח הטרפז $32$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. ב. מהו האורך הקטן ביותר של האלכסון $BD$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.66

הפתרון:

\begin{aligned}BD^2 &= AB^2+AD^2 \\ &= \frac{256}{x^2}+x^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABD$ : הזווית $A$ ישרה, כי $AD \parallel BC$ ו- $AB \perp BC$

\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{512}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 256 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}BD^2 &= 16+16 \\ &= 32 \ \Rightarrow \ BD \\ &= \sqrt{32}\approx 5.66\end{aligned}

האורך

האלכסון $BD$ יוצא מ- $B$ אל $D$ , ולכן הניצבים שלו הם $AB$ ו- $AD$ , לא $BC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev