תרגול · בעיות ערך קיצון · כיתה י״א

עשרה תרגילים על כל הפרק: נקודה על גרף, משיק והצירים, מרחק מנקודה לגרף וצורות במישור. מתחילים בקל ומסיימים באתגר: תחום סגור והיקף מקסימלי.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מלבן בין הצירים לגרף y = 25/x

P על הגרף ברביע הראשון. A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{25}{x}$ ברביע הראשון, ו- $OAPB$ מלבן ששתי צלעותיו על הצירים, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}L(x) &= 2x+\frac{50}{x} \\ \qquad L'(x) &= 2-\frac{50}{x^2}\end{aligned}

ההיקף ונגזרתו

\begin{aligned}x &= 5 \ \Rightarrow \ L(5) \\ &= 10+10 \\ &= 20\end{aligned}

מינימום

המלבן הוא ריבוע $5 \times 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 72 מ״ר, ו-AB = CD = x.

חלקה מלבנית $ABCD$ צמודה לקיר $AD$ , ושטחה $72$ מ״ר. גודרים את שלוש הצלעות האחרות, ו- $AB=CD=x$ , כמו בשרטוט. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

L(x)=2x+\frac{72}{x}

$BC=\frac{72}{x}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{72}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}L(6) &= 12+12 \\ &= 24\end{aligned}

$BC=12$

לאורך הקיר לא גודרים, ולכן $BC$ מופיעה פעם אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

CA = 10, CB = 6, CD = x. E על היתר AB.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $CA=10$ ו- $CB=6$ . המלבן $CDEF$ בנוי כך ש- $E$ על היתר $AB$ , כמו בשרטוט, ו- $CD=x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

DE=\frac{6(10-x)}{10}

דמיון המשולשים $ADE$ ו- $ACB$ (ז.ז)

\begin{aligned}S(x) &= 0.6x(10-x) \\ \qquad S'(x) &= 6-1.2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(5) &= 0.6\cdot 25 \\ &= 15\end{aligned}

חצי משטח המשולש

שטח המשולש $30$ . המלבן הגדול ביותר תמיד חצי ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

המשולש OAP מתחת לגרף y = 48 − x²

P על הגרף ברביע הראשון, ו-A ההיטל שלה על ציר ה-x.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=48-x^2$ ברביע הראשון, ו- $A$ ההיטל שלה על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $OAP$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

S(x)=\frac{x(48-x^2)}{2}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{48-3x^2}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(4) &= \frac{4\cdot 32}{2} \\ &= 64\end{aligned}

$P=(4,\,32)$

בלי החצי יוצא $128$ , השטח של מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המרחק מ-O לנקודה P על y = 18/x

P נקודה כללית על הגרף ברביע הראשון.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{18}{x}$ ברביע הראשון, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין $P$ לבין ראשית הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

D(x)=x^2+\frac{324}{x^2}

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{648}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 324 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 18\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}D &= 18+18 \\ &= 36 \ \Rightarrow \ d \\ &= 6\end{aligned}

המרחק

עבור $y=\frac{k}{x}$ המרחק הקטן ביותר מהראשית הוא $\sqrt{2k}$ : כאן $\sqrt{36}=6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשיק לגרף y = 10/x והצירים

P = (t, 10/t) ברביע הראשון.

המשיק לגרף $y=\frac{10}{x}$ בנקודה כלשהי ברביע הראשון יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו שטח המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

y=-\frac{10}{t^2}x+\frac{20}{t}

המשיק ב- $(t,\,\frac{10}{t})$

\begin{aligned}x_0 &= 2t \\ \qquad y_0 &= \frac{20}{t}\end{aligned}

החיתוכים

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{20}{t} \\ &= 20\end{aligned}

$t$ מצטמצם

השאלה אומרת «בנקודה כלשהי», וזה רמז: השטח לא תלוי בנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף y = x³ והמשיק בנקודה (2, 8)

A על הגרף ו-B על המשיק, באותו x, כש-−4 ≤ x ≤ 2.

המשיק לגרף $f(x)=x^3$ בנקודה $(2,\,8)$ הוא $y=12x-16$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את הגרף ב- $A$ ואת המשיק ב- $B$ , כאשר $-4\le x\le 2$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\begin{aligned}AB(x) &= x^3-12x+16 \\ &= (x-2)^2(x+4)\end{aligned}

בתחום הזה הגרף מעל המשיק

\begin{aligned}AB'(x) &= 3x^2-12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= 2\end{aligned}

$x=2$ הוא קצה

\begin{aligned}AB(-2) &= -8+24+16 \\ &= 32 \\ \qquad AB(-4) &= AB(2) \\ &= 0\end{aligned}

משווים עם הקצוות

הקצוות $-4$ ו- $2$ הם נקודות המפגש של הגרף והמשיק, ושם האורך $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מלבן מתחת לגרף f(x) = 48/(x² + 16)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x.

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{48}{x^2+16}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

S(x)=\frac{96x}{x^2+16}

בסיס $2x$ כפול גובה

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{96(16-x^2)}{(x^2+16)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(4) &= \frac{384}{32} \\ &= 12\end{aligned}

השטח

המלבן $8 \times 1.5$ . בהצבה, $x^2+16=32$ ולא $16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המרחק מ-O לנקודה P על y = 8/x, כש-3 ≤ x ≤ 5

P על הגרף, ושיעור ה-x שלה בין 3 ל-5.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{8}{x}$ , ו- $3\le x\le 5$ , כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין $P$ לבין ראשית הצירים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.01

הפתרון:

\begin{aligned}D(x) &= x^2+\frac{64}{x^2} \\ \qquad D'(x) &= 2x-\frac{128}{x^3}\end{aligned}

ריבוע המרחק

x^2=8 \ \Rightarrow \ x\approx 2.83

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

D'(3)=6-\frac{128}{27}>0

ריבוע המרחק עולה בכל התחום

\begin{aligned}D(3) &= 9+\frac{64}{9} \\ &= \frac{145}{9} \ \Rightarrow \ d\approx 4.01\end{aligned}

המינימום בקצה $x=3$

מי שעונה $4$ השתמש בנקודה החשודה, שאינה בתחום. כאן הקצה $x=3$ הוא התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מלבן בין הצירים לגרף y = 12 − x²

P על הגרף ברביע הראשון.

הקודקוד $P$ של מלבן נמצא על הגרף $y=12-x^2$ ברביע הראשון, ושתי צלעות של המלבן על הצירים, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הגדול ביותר של המלבן? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24.5

הפתרון:

\begin{aligned}L(x) &= 2x+2(12-x^2) \\ &= -2x^2+2x+24\end{aligned}

היקף

\begin{aligned}L'(x) &= -4x+2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0.5\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}L(0.5) &= -0.5+1+24 \\ &= 24.5\end{aligned}

ההיקף

השטח והיקף מקבלים מקסימום בנקודות שונות: השטח ב- $x=2$ , וההיקף ב- $x=0.5$ . לא מעבירים תשובה מבעיה אחת לאחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev