סדרה 3 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ארבע שאלות בנוסח שאלון 35471, מחולקות לסעיפים א, ב, ג. לכל סעיף תרגיל משלו, עם אותו נתון בהתחלה. כך נראה הנושא בבחינה: סעיף על 1f\frac{1}{f}, על −f+k-f+k או על ∣f∣|f| בתוך שאלה על פונקציה.

כתבו כמו בבחינה: תחום ואסימפטוטות קודם, אחר כך קודקוד וקיצון, ובסוף הטרנספורמציה. תשובה של סעיף ב נשענת בדרך כלל על סעיף א.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=1x2−2x−8f(x)=\frac{1}{x^2-2x-8}. א. מצאו את האסימפטוטות של ff המקבילות לצירים.

אנכיות: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות: x=x= -2 ו-x=x= 4 (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: y=y= 0

הפתרון:

x2−2x−8=(x−4)(x+2)x^2-2x-8=(x-4)(x+2)

האפסים של המכנה

x=−2 x=4\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

אנכיות

y=0y=0

המכנה גדל מאוד רחוק מהראשית

בבחינה כותבים את שלוש האסימפטוטות. האופקית y=0y=0 נשכחת הכי הרבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=1x2−2x−8f(x)=\frac{1}{x^2-2x-8}. ב. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה.

  1. מינימום (1, −19)\left(1,\,-\frac{1}{9}\right)
  2. מינימום (1, −9)(1,\,-9)
  3. מקסימום (1, 19)\left(1,\,\frac{1}{9}\right)
  4. מקסימום (1, −19)\left(1,\,-\frac{1}{9}\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום (1, −19)\left(1,\,-\frac{1}{9}\right)

הפתרון:

xv=1 1−2−8=−9\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ 1-2-8 &= -9\end{aligned}

קודקוד המכנה: מינימום (1,−9)(1,-9)

f(1)=−19f(1)=-\frac{1}{9}

ההופכי

min⁡→max⁡\min \to \max

הסוג מתחלף

הנכונה: מקסימום (1,−19)\left(1,-\frac{1}{9}\right). (1,−9)(1,-9) היא נקודה של המכנה, לא של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=1x2−2x−8f(x)=\frac{1}{x^2-2x-8}. ג. נגדיר g(x)=−f(x)+kg(x)=-f(x)+k. לגרף של gg אסימפטוטה אופקית y=3y=3. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

−f: y=0-f: \ y=0

השיקוף משאיר את y=0y=0

g: y=k=3\begin{aligned}g: \ y &= k \\ &= 3\end{aligned}

הזזה אנכית

kk שווה לאסימפטוטה האופקית החדשה, כי של −f-f היא y=0y=0. האסימפטוטות האנכיות של gg נשארות x=−2x=-2 ו-x=4x=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפרבולה p(x)=x2−4xp(x)=x^2-4x, ו-h(x)=∣p(x)∣h(x)=|p(x)|. א. מצאו את נקודת המקסימום של hh בתחום 0<x<40<x<4.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 2 , y=y= 4

הפתרון:

p(x)=x(x−4) xv=2 p(2)=−4\begin{aligned}p(x) &= x(x-4) \\ \ x_v &= 2 \\ \ p(2) &= -4\end{aligned}

הקודקוד מתחת לציר

h(2)=∣−4∣=4\begin{aligned}h(2) &= |{-4}| \\ &= 4\end{aligned}

משתקף למעלה

בין האפסים 00 ו-44 הפרבולה שלילית, ו-hh היא השיקוף שלה: הקודקוד (2,−4)(2,-4) נעשה מקסימום (2,4)(2,4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפרבולה p(x)=x2−4xp(x)=x^2-4x, ו-h(x)=∣p(x)∣h(x)=|p(x)|. ב. כמה פתרונות יש למשוואה h(x)=3h(x)=3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

0<3<40<3<4

הישר y=3y=3 מתחת לקצה הכיפה

x2−4x=3⇒x=2±7\begin{aligned}x^2-4x &= 3 \Rightarrow x \\ &= 2\pm\sqrt{7}\end{aligned}

שניים בענפים

x2−4x=−3⇒x=1 x=3\begin{aligned}x^2-4x &= -3 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שניים בכיפה

ארבעה פתרונות. מי שפותר רק x2−4x=3x^2-4x=3 מאבד את שני הפתרונות שבכיפה שהשתקפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפרבולה p(x)=x2−4xp(x)=x^2-4x, ו-h(x)=∣p(x)∣h(x)=|p(x)|. ג. נגדיר q(x)=1p(x)q(x)=\frac{1}{p(x)}. מהו המרחק בין שתי האסימפטוטות האנכיות של qq?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

p(x)=0⇒x=0 x=4\begin{aligned}p(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

האפסים של pp

4−0=44-0=4

המרחק

האסימפטוטות האנכיות של 1p\frac{1}{p} הן בדיוק האפסים של pp, אותן נקודות שבהן hh נוגעת בציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה g(x)=2x−1+kg(x)=\frac{2}{x-1}+k, וידוע שהגרף של gg עובר בנקודה (3, 4)(3,\,4). א. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4=23−1+k4=\frac{2}{3-1}+k

מציבים את הנקודה

4=1+k⇒k=3\begin{aligned}4 &= 1+k \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

מציבים את שני שיעורי הנקודה. k=3k=3 הוא גם האסימפטוטה האופקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה g(x)=2x−1+kg(x)=\frac{2}{x-1}+k, וידוע שהגרף של gg עובר בנקודה (3, 4)(3,\,4). ב. מצאו את האסימפטוטות של gg ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yy.

אנכית: x=x= ____ ; אופקית: y=y= ____ ; חיתוך עם ציר yy: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכית: x=x= 1 ; אופקית: y=y= 3 ; חיתוך עם ציר yy: y=y= 1

הפתרון:

g(x)=2x−1+3g(x)=\frac{2}{x-1}+3

עם k=3k=3

x=1 y=3\begin{aligned}x &= 1 \\ \ y &= 3\end{aligned}

האסימפטוטות

g(0)=2−1+3=1\begin{aligned}g(0) &= \frac{2}{-1}+3 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים x=0x=0

בחיתוך עם ציר ה-yy המכנה הוא 0−1=−10-1=-1, שלילי. מי שמקבל 55 איבד את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−6x+cg(x)=\frac{1}{x^2-6x+c}, וידוע שלגרף של gg יש בדיוק אסימפטוטה אנכית אחת. א. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

Δ=36−4c=0\begin{aligned}\Delta &= 36-4c \\ &= 0\end{aligned}

המכנה נוגע בציר

c=9c=9

ואז (x−3)2(x-3)^2

«אסימפטוטה אנכית אחת» פירושה אפס אחד למכנה: דיסקרימיננטה אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה g(x)=1x2−6x+cg(x)=\frac{1}{x^2-6x+c}, וידוע שלגרף של gg יש בדיוק אסימפטוטה אנכית אחת. ב. מה עושה הגרף של gg ליד האסימפטוטה האנכית?

  1. משמאל ל-x=3x=3 הערכים שליליים, ומימין חיוביים
  2. משני צדי x=3x=3, gg מקבלת ערכים שליליים גדולים בערכם המוחלט
  3. משני צדי x=3x=3, gg מקבלת ערכים חיוביים גדולים מאוד
  4. gg חותכת את ציר ה-xx ב-x=3x=3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג משני צדי x=3x=3, gg מקבלת ערכים חיוביים גדולים מאוד

הפתרון:

g(x)=1(x−3)2g(x)=\frac{1}{(x-3)^2}

עם c=9c=9

(x−3)2>0, x≠3(x-3)^2>0 ,\ x \neq 3

המכנה חיובי וקטן ליד 33

הנכונה: חיוביים גדולים משני הצדדים. המכנה ריבוע, ולכן אינו מחליף סימן. וב-x=3x=3 הפונקציה לא מוגדרת, אז אין שם חיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת