תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: עץ ההסתברויות, הסתברות מותנית, ותלות ואי-תלות — עם החזרה ובלי. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

ברמזור מסוים האור אדום בהסתברות 0.30.3. נהג עובר שני רמזורים כאלה, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שבשניהם לא יהיה אדום? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.49

הפתרון:

1−0.3=0.71 - 0.3 = 0.7

לא אדום ברמזור אחד

0.7⋅0.7=0.490.7 \cdot 0.7 = 0.49

לאורך ענף — כופלים

מסלול אחד בעץ: לא אדום ואז לא אדום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון P(A∩B)=0.12P(A \cap B) = 0.12 ו-P(B)=0.4P(B) = 0.4. מהו P(A∣B)P(A \mid B)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

המכנה הוא העולם החדש

=0.120.4=0.3= \frac{0.12}{0.4} = 0.3

מחלקים בהסתברות של מה שנתון, לא של מה שמחפשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון P(A)=0.6 , P(B)=0.3P(A) = 0.6 \ , \ P(B) = 0.3 ו-P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2. המאורעות A ו-B בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P(A)⋅P(B)=0.6⋅0.3=0.18\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.6 \cdot 0.3 \\ &= 0.18\end{aligned}
0.18≠0.20.18 \ne 0.2

המכפלה שונה מהחיתוך

המאורעות תלויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

בשקית 4 סוכריות ירוקות ו-6 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. מה ההסתברות ששתיהן צהובות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.33

הפתרון:

610⋅59\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}

בענף השני נשארו 9 סוכריות, 5 מהן צהובות

=3090=13≈0.33= \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \approx 0.33

עם החזרה היה יוצא 0.360.36 — בלי החזרה העולם משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מטילים קובייה הוגנת. בהינתן שיצא מספר גדול מ-3, מה ההסתברות שיצא מספר זוגי? (עשרוני, שתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.67

הפתרון:

{4,5,6}\{4, 5, 6\}

העולם החדש

{4,6}⇒23≈0.67\{4, 6\} \Rightarrow \frac{2}{3} \approx 0.67

הזוגיים בתוכו

בלי התנאי ההסתברות הייתה 0.50.5; התנאי מוציא את 2 מהעולם ומשנה את התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

רון נוסע לעבודה באוטובוס ואחר כך ברכבת. האוטובוס מאחר בהסתברות 0.20.2 והרכבת מאחרת בהסתברות 0.10.1, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם יאחר? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.26

הפתרון:

0.2⋅0.9=0.180.2 \cdot 0.9 = 0.18

האוטובוס מאחר והרכבת לא

0.8⋅0.1=0.080.8 \cdot 0.1 = 0.08

הרכבת מאחרת והאוטובוס לא

0.18+0.08=0.260.18 + 0.08 = 0.26

בין ענפים — מחברים

שני מסלולים שאינם יכולים לקרות יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון P(A)=0.5 , P(B)=0.4P(A) = 0.5 \ , \ P(B) = 0.4 ו-P(A∣B)=0.5P(A \mid B) = 0.5. מה נכון?

  1. A ו-B זרים
  2. אי אפשר לדעת בלי P(A∩B)P(A \cap B)
  3. A ו-B בלתי תלויים, כי P(A∣B)=P(A)P(A \mid B) = P(A)
  4. A ו-B תלויים, כי P(A∣B)≠P(B)P(A \mid B) \ne P(B)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג A ו-B בלתי תלויים, כי P(A∣B)=P(A)P(A \mid B) = P(A)

הפתרון:

P(A∣B)=0.5=P(A)\begin{aligned}P(A \mid B) &= 0.5 \\ &= P(A)\end{aligned}

הידיעה ש-B קרה לא שינתה דבר

P(A∩B)=0.4⋅0.5=0.2=P(A)⋅P(B)\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.5 \\ &= 0.2 \\ &= P(A) \cdot P(B)\end{aligned}

גם המבחן המעשי מסכים

משווים את המותנית ל-P(A)P(A), לא ל-P(B)P(B). והחיתוך 0.20.2 אינו אפס — הם לא זרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מבין הנוסעים לאילת, 40%40\% טסים ו-60%60\% נוסעים ברכב. מי שטס מאחר לפגישה בהסתברות 0.10.1, ומי שנוסע ברכב — בהסתברות 0.250.25. מה ההסתברות שנוסע אקראי יאחר? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.19

הפתרון:

0.4⋅0.1=0.040.4 \cdot 0.1 = 0.04

טס ומאחר

0.6⋅0.25=0.150.6 \cdot 0.25 = 0.15

ברכב ומאחר

0.04+0.15=0.190.04 + 0.15 = 0.19

שני ענפים מובילים לאיחור — מחברים את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מבין הנוסעים לאילת, 40%40\% טסים ו-60%60\% נוסעים ברכב. מי שטס מאחר לפגישה בהסתברות 0.10.1, ומי שנוסע ברכב — בהסתברות 0.250.25. נוסע אקראי איחר לפגישה. מה ההסתברות שהוא טס? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.21

הפתרון:

P(T∩L)=0.04P(T \cap L) = 0.04

TT — טס, LL — איחר

P(L)=0.19P(L) = 0.19

העולם החדש

P(T∣L)=0.040.19≈0.21P(T \mid L) = \frac{0.04}{0.19} \approx 0.21

0.10.1 היא ההסתברות בכיוון ההפוך — בהינתן שטס, שיאחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון P(A)=0.6 , P(B)=0.5P(A) = 0.6 \ , \ P(B) = 0.5 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B) = 0.7. בהינתן ש-B לא קרה, מה ההסתברות ש-A קרה? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

P(A∩B)=0.6+0.5−0.7=0.4\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.6 + 0.5 - 0.7 \\ &= 0.4\end{aligned}
0.6−0.4=0.20.6 - 0.4 = 0.2

A קרה ו-B לא

1−0.5=0.51 - 0.5 = 0.5

B לא קרה

0.20.5=0.4\frac{0.2}{0.5} = 0.4

התשובה קטנה מ-P(A)=0.6P(A) = 0.6: הידיעה ש-BB לא קרה משנה את ההסתברות, כי המאורעות תלויים (0.6⋅0.5=0.3≠0.40.6 \cdot 0.5 = 0.3 \ne 0.4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת