סדרה 3 — לקראת הבגרות · הסתברות · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלת ההסתברות של שאלון 35471, מחולקות לסעיפים: עץ עם בייס וטענה של עיתון (א–ד), טבלה דו-ממדית עם בדיקת תלות (א–ג), והוצאה בלי החזרה עם נעלם $x$ (א–ג). כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו פתיח.

כתבו כמו בבחינה: עץ או טבלה לפני הסעיף הראשון, ובכל סעיף אמרו מהו העולם. תשובה של סעיף קודם היא בדרך כלל המכנה של הסעיף הבא.

תרגילים

תרגיל 1

מבין הנבחנים במבחן התיאוריה בנהיגה, 40% התכוננו באפליקציה והשאר התכוננו בספר. מבין אלה שהתכוננו באפליקציה 85% עברו את המבחן, ומבין אלה שהתכוננו בספר 70% עברו. בוחרים נבחן באקראי. א. מה ההסתברות שהנבחן עבר את המבחן? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.76

הפתרון:

0.4 \cdot 0.85=0.34

אפליקציה ועבר

0.6 \cdot 0.7=0.42

ספר ועבר

0.34+0.42=0.76

הסתברות שלמה

הממוצע $\frac{0.85+0.7}{2}=0.775$ שגוי: יש יותר נבחנים שהתכוננו בספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מבין הנבחנים במבחן התיאוריה בנהיגה, 40% התכוננו באפליקציה והשאר התכוננו בספר. מבין אלה שהתכוננו באפליקציה 85% עברו את המבחן, ומבין אלה שהתכוננו בספר 70% עברו. בוחרים נבחן באקראי. ב. ידוע שהנבחן עבר את המבחן. מה ההסתברות שהוא התכונן באפליקציה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.45

הפתרון:

P(\text{אפליקציה} \cap \text{עבר})=0.34

מסעיף א

\frac{0.34}{0.76} \approx 0.45

העולם: מי שעבר

$0.85$ הוא $P(\text{עבר} \mid \text{אפליקציה})$ , הכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מבין הנבחנים במבחן התיאוריה בנהיגה, 40% התכוננו באפליקציה והשאר התכוננו בספר. מבין אלה שהתכוננו באפליקציה 85% עברו את המבחן, ומבין אלה שהתכוננו בספר 70% עברו. בוחרים נבחן באקראי. ג. ידוע שהנבחן לא עבר את המבחן. מה ההסתברות שהוא התכונן בספר? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\begin{aligned}P(\overline{\text{עבר}}) &= 1-0.76 \\ &= 0.24\end{aligned}

המשלים של סעיף א

\begin{aligned}P(\text{ספר} \cap \overline{\text{עבר}}) &= 0.6 \cdot 0.3 \\ &= 0.18\end{aligned}

המסלול

\frac{0.18}{0.24}=0.75

העולם: מי שלא עבר

המכנה הוא $0.24$ , לא $0.3$ : $0.3$ הוא אחוז הנכשלים מתוך המתכוננים בספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מבין הנבחנים במבחן התיאוריה בנהיגה, 40% התכוננו באפליקציה והשאר התכוננו בספר. מבין אלה שהתכוננו באפליקציה 85% עברו את המבחן, ומבין אלה שהתכוננו בספר 70% עברו. בוחרים נבחן באקראי. ד. עיתון כתב: «רוב מי שעברו את המבחן התכוננו באפליקציה». הטענה נכונה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P(\text{אפליקציה} \mid \text{עבר}) \approx 0.45

מסעיף ב

0.45<0.5

פחות ממחצית

באפליקציה אחוז ההצלחה גבוה יותר (85% מול 70%), אבל רוב מי שעברו התכוננו בספר, כי בספר התכוננו יותר נבחנים. אל תבלבלו בין $P(\text{עבר} \mid \text{אפליקציה})$ לבין $P(\text{אפליקציה} \mid \text{עבר})$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אמצעי התחבורה המועדף (500 תושבים)

	אוטובוס	רכבת	רכב פרטי	סך הכול
עד גיל 40	80	70	50	200
מעל גיל 40	60	40	200	300
סך הכול	140	110	250	500

בסקר נשאלו 500 תושבים של עיר מהו אמצעי התחבורה המועדף עליהם. התוצאות בטבלה. בוחרים תושב באקראי. א. מה ההסתברות שהתושב מעדיף רכבת? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.22

הפתרון:

70+40=110

סכום העמודה «רכבת»

\frac{110}{500}=0.22

העולם: כל 500 התושבים

אין «ידוע ש...»: המכנה הוא 500. $\frac{70}{200}$ הוא רק אחוז מעדיפי הרכבת עד גיל 40.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אמצעי התחבורה המועדף (500 תושבים)

	אוטובוס	רכבת	רכב פרטי	סך הכול
עד גיל 40	80	70	50	200
מעל גיל 40	60	40	200	300
סך הכול	140	110	250	500

בסקר נשאלו 500 תושבים של עיר מהו אמצעי התחבורה המועדף עליהם. התוצאות בטבלה. בוחרים תושב באקראי. ב. ידוע שהתושב מעדיף אוטובוס. מה ההסתברות שהוא מעל גיל 40? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.43

הפתרון:

80+60=140

העולם: עמודת «אוטובוס»

\frac{60}{140} \approx 0.43

מעל גיל 40 בתוך העמודה

$\frac{60}{300}=0.2$ עונה על השאלה ההפוכה: מי שמעל 40 ומעדיף אוטובוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

אמצעי התחבורה המועדף (500 תושבים)

	אוטובוס	רכבת	רכב פרטי	סך הכול
עד גיל 40	80	70	50	200
מעל גיל 40	60	40	200	300
סך הכול	140	110	250	500

בסקר נשאלו 500 תושבים של עיר מהו אמצעי התחבורה המועדף עליהם. התוצאות בטבלה. בוחרים תושב באקראי. ג. האם המאורעות «התושב עד גיל 40» ו«התושב מעדיף רכבת» בלתי תלויים?

לא, כי $0.4+0.22 \neq 1$
לא, כי $0.4 \cdot 0.22 \neq 0.14$
כן, כי שני המאורעות יכולים לקרות יחד
כן, כי $0.4 \cdot 0.22=0.088$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא, כי $0.4 \cdot 0.22 \neq 0.14$

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{עד 40}) &= \frac{200}{500} \\ &= 0.4 \qquad P(\text{רכבת}) \\ &= 0.22\end{aligned}

ההסתברויות הבודדות

\begin{aligned}P(\text{עד 40} \cap \text{רכבת}) &= \frac{70}{500} \\ &= 0.14\end{aligned}

המשבצת

0.4 \cdot 0.22=0.088 \neq 0.14

תלויים

המבחן הוא השוואה בין המכפלה לבין החיתוך. המכפלה לבדה לא אומרת כלום, ומאורעות שיכולים לקרות יחד יכולים להיות תלויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בקערה 5 תפוזים ו- $x$ קלמנטינות. מוציאים שני פירות בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הפירות תפוזים היא $\frac{2}{9}$ . א. מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\frac{5}{x+5} \cdot \frac{4}{x+4}=\frac{2}{9}

בלי החזרה

\begin{aligned}(x+5)(x+4) &= 90 \ \Rightarrow \ x^2+9x-70 \\ &= 0\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}x &= 5 \\ \ x &= -14\end{aligned}

$x=-14$ נפסל

בשליפה השנייה נשארו 4 תפוזים מתוך $x+4$ פירות. עם החזרה המשוואה הייתה אחרת לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בקערה 5 תפוזים ו- $x$ קלמנטינות. מוציאים שני פירות בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הפירות תפוזים היא $\frac{2}{9}$ . ב. מה ההסתברות שיוצאים פרי אחד מכל סוג? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.56

הפתרון:

x=5: \ 10 \ \text{פירות}

מסעיף א

\frac{5}{10} \cdot \frac{5}{9}+\frac{5}{10} \cdot \frac{5}{9}=\frac{50}{90}

תפוז-קלמנטינה או קלמנטינה-תפוז

=\frac{5}{9} \approx 0.56

התשובה

שני סדרים. בדיקה: שני תפוזים $\frac{2}{9}$ , שתי קלמנטינות $\frac{2}{9}$ , אחד מכל סוג $\frac{5}{9}$ . הסכום $1$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בקערה 5 תפוזים ו- $x$ קלמנטינות. מוציאים שני פירות בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הפירות תפוזים היא $\frac{2}{9}$ . ג. ידוע ששני הפירות מאותו סוג. מה ההסתברות ששניהם תפוזים? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}

שני תפוזים או שתי קלמנטינות

\frac{2/9}{4/9}=\frac{1}{2}

העולם: אותו סוג

התשובה אינה $\frac{2}{9}$ : הידיעה «אותו סוג» מצמצמת את העולם. עם 5 מכל סוג, שני הסוגים שווים בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev