סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: בייס, איחוד וחיתוך, בלי החזרה עם הסתברות מותנית, טבלה להשלמה, נעלם pp, והעברה משקית לשקית.

כשהנתונים באחוזים, בנו עץ. כשהם מספרים של אנשים, בנו טבלה. ובכל «ידוע ש...»: חשבו קודם את המכנה, ורק אחר כך את המונה.

תרגילים

תרגיל 1

במפעל שתי מכונות. מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, ו-2% מהם פגומים. מכונה ב מייצרת את השאר, ו-5% מהם פגומים. בוחרים מוצר באקראי. מה ההסתברות שהמוצר פגום? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.032

הפתרון:

0.6⋅0.02=0.0120.6 \cdot 0.02=0.012

מכונה א ופגום

0.4⋅0.05=0.020.4 \cdot 0.05=0.02

מכונה ב ופגום

0.012+0.02=0.0320.012+0.02=0.032

הסתברות שלמה

ממוצע פשוט של 2% ו-5% (3.5%) מתעלם מכך שמכונה א מייצרת יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במפעל שתי מכונות. מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, ו-2% מהם פגומים. מכונה ב מייצרת את השאר, ו-5% מהם פגומים. בוחרים מוצר באקראי. ידוע שהמוצר פגום. מה ההסתברות שהוא ממכונה א? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

P(א∩פגום)=0.012P(\text{א} \cap \text{פגום})=0.012

המונה

0.0120.032=0.375\frac{0.012}{0.032}=0.375

המכנה: כל הפגומים

מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, אבל רק 37.5% מהפגומים: אחוז הפגומים שלה נמוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. מהו P(B∣A)P(B \mid A)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

P(A∩B)=0.5+0.4−0.7=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5+0.4-0.7 \\ &= 0.2\end{aligned}

מנוסחת האיחוד

P(B∣A)=0.20.5=0.4\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{0.2}{0.5} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה: P(A)P(A)

בהינתן AA המכנה הוא P(A)=0.5P(A)=0.5. 0.20.4\frac{0.2}{0.4} הוא P(A∣B)P(A \mid B).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. האם AA ו-BB בלתי תלויים?

  1. לא, כי P(A∩B)≠0P(A \cap B) \neq 0
  2. כן, כי P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
  3. לא, כי P(A)+P(B)≠P(A∪B)P(A)+P(B) \neq P(A \cup B)
  4. אי אפשר לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כן, כי P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

הפתרון:

P(A∩B)=0.2P(A \cap B)=0.2

מנוסחת האיחוד

P(A)⋅P(B)=0.5⋅0.4=0.2\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}

שווה: בלתי תלויים

P(B∣A)=0.4=P(B)\begin{aligned}P(B \mid A) &= 0.4 \\ &= P(B)\end{aligned}

ובדיקה נוספת

P(A)+P(B)≠P(A∪B)P(A)+P(B) \neq P(A \cup B) אומר רק שהמאורעות אינם זרים. זה לא מבחן לאי-תלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשקית 3 סוכריות ירוקות ו-5 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. מה ההסתברות שהסוכריות בצבעים שונים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.54

הפתרון:

38⋅57=1556\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{56}

ירוקה ואחר כך צהובה

58⋅37=1556\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}=\frac{15}{56}

צהובה ואחר כך ירוקה

3056≈0.54\frac{30}{56} \approx 0.54

שני סדרים

«צבעים שונים» הם שני מסלולים. מי שענה 0.270.27 חישב סדר אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בשקית 3 סוכריות ירוקות ו-5 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. ידוע שהסוכריות בצבעים שונים. מה ההסתברות שהראשונה ירוקה? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

38⋅57=1556\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{56}

המסלול ירוקה-צהובה

15/5630/56=0.5\frac{15/56}{30/56}=0.5

המכנה מהשאלה הקודמת

התשובה אינה 38\frac{3}{8}: הידיעה «צבעים שונים» משנה את העולם, ושני הסדרים שווים בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשכבה 200 תלמידים, מהם 120 בנים. ל-45% מכל התלמידים יש חיית מחמד, ול-40% מהבנים יש חיית מחמד. השלימו: כמה בנות עם חיית מחמד, ומה ההסתברות שלבת שנבחרה באקראי יש חיית מחמד.

בנות עם חיית מחמד: ____ ; P(חיה∣בת)=P(\text{חיה} \mid \text{בת})= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בנות עם חיית מחמד: 42 ; P(חיה∣בת)=P(\text{חיה} \mid \text{בת})= 0.525

הפתרון:

0.45⋅200=900.45 \cdot 200=90

כל בעלי החיות

0.4⋅120=480.4 \cdot 120=48

בנים עם חיה

90−48=4290-48=42

בנות עם חיה

4280=0.525\frac{42}{80}=0.525

העולם: 80 הבנות

40% הוא מתוך הבנים (120), לא מתוך כל השכבה. ובסוף המכנה הוא 80, לא 200.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון P(A)=0.3P(A)=0.3, P(B)=0.6P(B)=0.6 ו-P(A∩B)=0.12P(A \cap B)=0.12. לכן P(B∣A)=2⋅P(A∣B)P(B \mid A)=2 \cdot P(A \mid B).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(A∣B)=0.120.6=0.2\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.12}{0.6} \\ &= 0.2\end{aligned}

המכנה P(B)P(B)

P(B∣A)=0.120.3=0.4\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{0.12}{0.3} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה P(A)P(A)

0.4=2⋅0.20.4=2 \cdot 0.2

נכון

אותו מונה, מכנים שונים. P(A∣B)P(A \mid B) ו-P(B∣A)P(B \mid A) שווים רק כש-P(A)=P(B)P(A)=P(B).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שני צלמים מצלמים ציפור נדירה, כל אחד באופן בלתי תלוי. הראשון מצליח בהסתברות 0.80.8 והשני בהסתברות pp. ההסתברות שבדיוק אחד מהם מצליח היא 0.50.5. מצאו את pp. (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

0.8(1−p)+0.2p=0.50.8(1-p)+0.2p=0.5

שני מסלולים: רק הראשון, רק השני

0.8−0.6p=0.5 ⇒ p=0.5\begin{aligned}0.8-0.6p &= 0.5 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים

«בדיוק אחד» הם שני מסלולים. מי שכתב רק 0.8(1−p)=0.50.8(1-p)=0.5 קיבל p=0.375p=0.375.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשקית א 2 כדורים אדומים ו-3 כחולים. בשקית ב כדור אדום אחד וכדור כחול אחד. מוציאים כדור משקית א ומעבירים אותו לשקית ב, ואז מוציאים כדור משקית ב. מה ההסתברות שהכדור השני אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.47

הפתרון:

25⋅23\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}

הועבר אדום: בשקית ב 2 אדומים מתוך 3

35⋅13\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}

הועבר כחול: בשקית ב אדום אחד מתוך 3

415+315=715≈0.47\frac{4}{15}+\frac{3}{15}=\frac{7}{15} \approx 0.47

מחברים

אחרי ההעברה בשקית ב שלושה כדורים. מי שחישב מתוך 2 שכח את הכדור שהועבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת