סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: נוסחת ההסתברות המותנית, עץ בשני שלבים, טבלה דו-ממדית, הוצאה בלי החזרה, «לפחות אחד» ומבחן אי-התלות. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לאורך ענף כופלים, בין ענפים מחברים. ובהסתברות מותנית: המכנה הוא ההסתברות של מה שידוע.

תרגילים

תרגיל 1

נתון P(A∩B)=0.12P(A \cap B)=0.12 ו-P(B)=0.3P(B)=0.3. מהו P(A∣B)P(A \mid B)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

הנוסחה

=0.120.3=0.4=\frac{0.12}{0.3}=0.4

מציבים

המכנה הוא P(B)P(B), המאורע שידוע שקרה. 0.12⋅0.30.12 \cdot 0.3 הוא לא שום דבר בשאלה הזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ההסתברות שיירד גשם ביום המשחק היא 0.30.3. אם יורד גשם, המשחק נדחה בהסתברות 0.80.8. אם לא יורד גשם, המשחק נדחה בהסתברות 0.10.1. מה ההסתברות שהמשחק נדחה? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.31

הפתרון:

0.3⋅0.8=0.240.3 \cdot 0.8=0.24

גשם ונדחה

0.7⋅0.1=0.070.7 \cdot 0.1=0.07

בלי גשם ונדחה

0.24+0.07=0.310.24+0.07=0.31

מחברים את שני המסלולים

מסלול «בלי גשם» מתחיל ב-0.70.7, המשלים של 0.30.3. מי שחיבר רק 0.240.24 שכח שמשחק נדחה גם בלי גשם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ההסתברות שיירד גשם ביום המשחק היא 0.30.3. אם יורד גשם, המשחק נדחה בהסתברות 0.80.8. אם לא יורד גשם, המשחק נדחה בהסתברות 0.10.1. ידוע שהמשחק נדחה. מה ההסתברות שירד גשם? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.77

הפתרון:

P(גשם∩נדחה)=0.24P(\text{גשם} \cap \text{נדחה})=0.24

מהעץ

0.240.31≈0.77\frac{0.24}{0.31} \approx 0.77

העולם: ימים שבהם המשחק נדחה

0.80.8 הוא P(נדחה∣גשם)P(\text{נדחה} \mid \text{גשם}), השאלה ההפוכה. כאן המכנה הוא 0.310.31.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המאורעות AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.5P(A)=0.5 ו-P(B)=0.4P(B)=0.4. לכן P(A∩B)=0.2P(A \cap B)=0.2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

הגדרת אי-תלות

=0.5⋅0.4=0.2=0.5 \cdot 0.4=0.2

מציבים

הכפל P(A)⋅P(B)P(A) \cdot P(B) מותר רק כשהמאורעות בלתי תלויים. בלי הנתון הזה אי אפשר לחשב את החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

איזה שוויון אומר ש-AA ו-BB בלתי תלויים?

  1. P(A∣B)=P(A)P(A \mid B)=P(A)
  2. P(A∣B)=P(B∣A)P(A \mid B)=P(B \mid A)
  3. P(A)+P(B)=1P(A)+P(B)=1
  4. P(A∩B)=0P(A \cap B)=0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א P(A∣B)=P(A)P(A \mid B)=P(A)

הפתרון:

P(A∣B)=P(A)P(A \mid B)=P(A)

הידיעה ש-BB קרה לא משנה את הסיכוי של AA

⇔ P(A∩B)=P(A)⋅P(B)\Leftrightarrow \ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

אותו דבר, בצורת מכפלה

P(A∩B)=0P(A \cap B)=0 אומר ש-AA ו-BB זרים, וזו תלות חזקה: אם AA קרה, BB בוודאות לא קרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איפה נעדיף את הטיול השנתי? (60 תלמידים)
יםהריםסך הכול
בנים181230
בנות141630
סך הכול322860

הטבלה מתארת את התשובות של 60 תלמידים. בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא מעדיף טיול לים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.53

הפתרון:

18+14=3218+14=32

סכום העמודה «ים»

3260≈0.53\frac{32}{60} \approx 0.53

העולם: כל 60 התלמידים

אין כאן «ידוע ש...», ולכן העולם הוא כל התלמידים. 1830\frac{18}{30} הוא רק אחוז הבנים שמעדיפים ים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איפה נעדיף את הטיול השנתי? (60 תלמידים)
יםהריםסך הכול
בנים181230
בנות141630
סך הכול322860

הטבלה מתארת את התשובות של 60 תלמידים. בוחרים באקראי תלמיד שמעדיף טיול להרים. מה ההסתברות שזו בת? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.57

הפתרון:

12+16=2812+16=28

העולם: עמודת «הרים»

1628≈0.57\frac{16}{28} \approx 0.57

בנות בתוך העמודה

המכנה הוא 28, מספר המעדיפים הרים. 1630\frac{16}{30} עונה על שאלה אחרת: בת שמעדיפה הרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חמישה כרטיסים ממוספרים 1 עד 5. מוציאים שני כרטיסים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות ששני המספרים זוגיים? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1

הפתרון:

25\frac{2}{5}

שני זוגיים (2 ו-4) מתוך חמישה

25⋅14=220=0.1\begin{aligned}\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} &= \frac{2}{20} \\ &= 0.1\end{aligned}

נשאר זוגי אחד מתוך ארבעה

עם החזרה היה יוצא 25⋅25=0.16\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=0.16. בלי החזרה גם המונה וגם המכנה קטנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שתי מדפסות במשרד מתקלקלות ביום נתון, כל אחת בהסתברות 0.20.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שלפחות אחת מתקלקלת? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.36

הפתרון:

0.8⋅0.8=0.640.8 \cdot 0.8=0.64

אף אחת לא מתקלקלת

1−0.64=0.361-0.64=0.36

המשלים

0.2+0.2=0.40.2+0.2=0.4 סופר פעמיים את היום שבו שתיהן מתקלקלות (0.040.04).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: תלויים או בלתי תלויים?

  • בלתי תלויים
  • תלויים
  • P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
  • P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(A∣B)=0.5P(A \mid B)=0.5
  • שני מאורעות זרים, כל אחד בהסתברות חיובית
  • שתי הטלות של מטבע
  • שתי שליפות של כדור, עם החזרה
  • שתי שליפות של קלף, בלי החזרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי הטלות של מטבע — בלתי תלויים · שתי שליפות של כדור, עם החזרה — בלתי תלויים · P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) — בלתי תלויים · שתי שליפות של קלף, בלי החזרה — תלויים · שני מאורעות זרים, כל אחד בהסתברות חיובית — תלויים · P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(A∣B)=0.5P(A \mid B)=0.5 — תלויים

הפתרון:

P(A∣B)=P(A)P(A \mid B)=P(A)

המבחן: האם הידיעה משנה?

0.5≠0.30.5 \neq 0.3

בפריט האחרון הידיעה משנה: תלויים

המלכודת: מאורעות זרים אינם בלתי תלויים. אם אחד קרה, השני בוודאות לא קרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת