פותרים יחד · הסתברות · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת ההסתברות של שאלון 35471: עץ עם הסתברות מותנית «הפוכה», טבלה דו-ממדית, הוצאה בלי החזרה עם נעלם $x$ , ואי-תלות עם «לפחות אחד». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל סעיף שאלו: מהו העולם (המכנה)? «מבין ה...», «בהינתן ש...», «ידוע ש...» מצמצמים את העולם. בלי מילים כאלה העולם הוא כל האוכלוסייה.

1 — עץ, הסתברות שלמה ובייס

פעילות אינטראקטיבית

בספרייה עירונית 60% מהמנויים הם תלמידים והשאר מבוגרים. 70% מהתלמידים ו-20% מהמבוגרים שאלו החודש ספר דיגיטלי. בוחרים מנוי באקראי. א. מה ההסתברות שהוא שאל ספר דיגיטלי? ב. ידוע שהמנוי שאל ספר דיגיטלי. מה ההסתברות שהוא תלמיד? ג. ידוע שהמנוי לא שאל ספר דיגיטלי. מה ההסתברות שהוא מבוגר? ד. בוחרים שני מנויים. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם שאל ספר דיגיטלי?

\begin{aligned}P(T) &= 0.6 \\ \quad P(D \mid T) &= 0.7 \\ \quad P(D \mid \bar{T}) &= 0.2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». העץ: בשלב הראשון תלמיד או מבוגר, בשלב השני דיגיטלי או לא.

עץ

\begin{aligned}P(\bar{T}) &= 0.4 \\ \quad P(\bar{D} \mid T) &= 0.3 \\ \quad P(\bar{D} \mid \bar{T}) &= 0.8\end{aligned}

משלימים כל נקודת פיצול ל-1.

א.

\begin{aligned}P(D) &= 0.6 \cdot 0.7+0.4 \cdot 0.2 \\ &= 0.42+0.08 \\ &= 0.5\end{aligned}

שני מסלולים מגיעים ל«דיגיטלי»: מחברים.

ב.

\begin{aligned}P(T \mid D) &= \frac{P(T \cap D)}{P(D)} \\ &= \frac{0.42}{0.5} \\ &= 0.84\end{aligned}

העולם החדש: מי ששאל ספר דיגיטלי.

ג.

\begin{aligned}P(\bar{T} \mid \bar{D}) &= \frac{0.4 \cdot 0.8}{1-0.5} \\ &= \frac{0.32}{0.5} \\ &= 0.64\end{aligned}

העולם: מי שלא שאל, $P(\bar{D})=0.5$ .

ד.

2 \cdot 0.5 \cdot 0.5=0.5

«בדיוק אחד»: הראשון כן והשני לא, או להפך. שני סדרים.

בסעיף ב הנתון $0.7$ הוא $P(D \mid T)$ , והשאלה על $P(T \mid D)$ . אלה שני מספרים שונים: $0.7$ ו- $0.84$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם המאורעות «המנוי תלמיד» ו«המנוי שאל ספר דיגיטלי» בלתי תלויים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $P(T)=0.6$ אבל $P(T \mid D)=0.84$ : הידיעה שהמנוי שאל ספר דיגיטלי משנה את הסיכוי שהוא תלמיד. אפשר לבדוק גם במכפלה: $0.6 \cdot 0.5=0.3 \neq 0.42$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה, ושאלה 5 בודקת טענה על אותם נתונים.

2 — טבלה דו-ממדית

איך מגיעים לבית הספר (200 תלמידים)

	אוטובוס	אופניים	ברגל	סך הכול
בנים	40	30	30	100
בנות	50	10	40	100
סך הכול	90	40	70	200

פעילות אינטראקטיבית

מי מגיע ברגל?

הטבלה מתארת איך מגיעים 200 תלמידי שכבה לבית הספר. בוחרים באקראי תלמיד שמגיע ברגל. מה ההסתברות שהוא בן?

$\frac{3}{10}$

$0.15$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{7}$

מהו העולם בשאלה הזאת?

כל 200 התלמידים

להציג את התשובה והפתרון

«תלמיד שמגיע ברגל» כבר ידוע. העולם הצטמצם.

70 התלמידים שמגיעים ברגל

להציג את התשובה והפתרון

העמודה «ברגל» היא המכנה.

100 הבנים

להציג את התשובה והפתרון

זה העולם של $P(\text{ברגל} \mid \text{בן})$ , השאלה ההפוכה.

30+40=70

סכום העמודה «ברגל».

כמה מתוכם בנים?

להציג את התשובה והפתרון

המשבצת בשורה «בנים» ובעמודה «ברגל».

להציג את התשובה והפתרון

זה מספר הבנים בכל השכבה, לא בתוך העמודה.

\begin{aligned}P(\text{בן} \mid \text{ברגל}) &= \frac{30}{70} \\ &= \frac{3}{7}\end{aligned}

המשבצת חלקי סכום העמודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{3}{7}$ . $\frac{3}{10}$ הוא $\frac{30}{100}$ : ההסתברות שבן מגיע ברגל. $0.15$ הוא $\frac{30}{200}$ : ההסתברות לבן וגם ברגל. $\frac{1}{2}$ הוא אחוז הבנים בכל השכבה.

לעשות את הפעילות ב-elev

לפי הטבלה, האם המאורעות «התלמיד בן» ו«התלמיד מגיע באופניים» בלתי תלויים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $P(\text{בן})=\frac{100}{200}=0.5$ ו- $P(\text{אופניים})=\frac{40}{200}=0.2$ . המכפלה $0.1$ , אבל $P(\text{בן} \cap \text{אופניים})=\frac{30}{200}=0.15$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — בלי החזרה, עם נעלם $x$

פעילות אינטראקטיבית

בקופסה 3 כדורים לבנים ו- $x$ כדורים שחורים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הכדורים לבנים היא $\frac{1}{5}$ . א. מצאו את $x$ . ב. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג. ידוע ששני הכדורים באותו צבע. מה ההסתברות שהם לבנים?

\begin{aligned}P(\text{2 לבנים}) &= \frac{3}{x+3} \cdot \frac{2}{x+2} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בשליפה השנייה בקופסה כדור אחד פחות: גם המונה וגם המכנה קטנים.

א. משוואה

\begin{aligned}\frac{6}{(x+3)(x+2)} &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ (x+3)(x+2) \\ &= 30\end{aligned}

כפל בהצלבה.

א.

\begin{aligned}x^2+5x-24 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -8\end{aligned}

$x$ הוא מספר כדורים, ולכן $x=3$ . בקופסה 6 כדורים.

ב.

\begin{aligned}\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}+\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} &= \frac{6}{30}+\frac{6}{30} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

לבן-לבן או שחור-שחור.

ג.

\frac{6/30}{12/30}=\frac{1}{2}

המונה: לבן-לבן. המכנה: התשובה של סעיף ב.

המשוואה הריבועית היא הצעד שחוזר בבגרות: הסתברות נתונה, ומספר הכדורים נעלם.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם היו מוציאים את שני הכדורים עם החזרה, מה הייתה ההסתברות לשני לבנים (עם $x=3$ )?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{4}$ . עם החזרה העולם לא משתנה, והשליפות בלתי תלויות. בלי החזרה יוצא $\frac{1}{5}$ , פחות: הלבן הראשון חסר בשליפה השנייה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — אי-תלות ו«לפחות אחד»

פעילות אינטראקטיבית

שני חיישנים

בחממה שני חיישנים שבודקים אם האדמה יבשה. הם פועלים באופן בלתי תלוי. החיישן הראשון מתריע ביום נתון בהסתברות $0.4$ . ההסתברות שלפחות אחד מהם מתריע היא $0.7$ . מה ההסתברות שהחיישן השני מתריע?

$0.3$

$0.5$

$0.75$

$0.28$

איך הכי קל לתרגם «לפחות אחד»?

$0.4+p=0.7$

להציג את התשובה והפתרון

החיבור סופר פעמיים את היום שבו שניהם מתריעים.

דרך המשלים: אף אחד לא מתריע

להציג את התשובה והפתרון

«לפחות אחד» הוא ההפך של «אף אחד».

1-0.7=0.3

המאורע המשלים.

מה ההסתברות שאף אחד לא מתריע, בעזרת $p$ ?

$0.6(1-p)$

להציג את התשובה והפתרון

שני הלא-מתריעים, והם בלתי תלויים: כופלים.

$0.6-p$

להציג את התשובה והפתרון

«גם וגם» של מאורעות בלתי תלויים הוא מכפלה.

\begin{aligned}0.6(1-p) &= 0.3 \ \Rightarrow \ 1-p \\ &= 0.5 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $0.5$ . $0.3$ יוצא מ- $0.4+p=0.7$ , שמתעלם מהחיתוך. $0.75$ הוא $\frac{0.3}{0.4}$ , ו- $0.28$ הוא $0.4 \cdot 0.7$ : שניהם מערבבים את הנתונים בלי משוואה.

לעשות את הפעילות ב-elev

עם $p=0.5$ : מה ההסתברות שבדיוק אחד החיישנים מתריע?

להציג את התשובה והפתרון

$0.4 \cdot 0.5+0.6 \cdot 0.5=0.2+0.3=0.5$ . בדיקה: «לפחות אחד» ( $0.7$ ) הוא «בדיוק אחד» ( $0.5$ ) ועוד «שניהם» ( $0.4 \cdot 0.5=0.2$ ) ✓

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

בקניון, 30% מהקונים מגיעים ברכבת הקלה והשאר ברכב. 60% מהמגיעים ברכבת ו-20% מהמגיעים ברכב קונים בחנות הספרים. בוחרים קונה באקראי. מצאו את ההסתברות שקנה בחנות הספרים, ואת ההסתברות שהגיע ברכבת אם ידוע שקנה בחנות הספרים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

$P(\text{ספרים})=$ ____ ; $P(\text{רכבת} \mid \text{ספרים})=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P(\text{ספרים})=$ 0.32 ; $P(\text{רכבת} \mid \text{ספרים})=$ 0.56

הפתרון:

\begin{aligned}0.3 \cdot 0.6+0.7 \cdot 0.2 &= 0.18+0.14 \\ &= 0.32\end{aligned}

שני מסלולים

\frac{0.18}{0.32}=0.5625 \approx 0.56

העולם: מי שקנה ספרים

הנתון $0.6$ הוא $P(\text{ספרים} \mid \text{רכבת})$ . השאלה הפוכה, והמכנה הוא $0.32$ , לא $0.3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

משקה הבוקר בקפטריה (100 אנשים)

	קפה	תה	מים	סך הכול
עובדים	30	10	20	60
סטודנטים	20	15	5	40
סך הכול	50	25	25	100

הטבלה מתארת את משקה הבוקר של 100 אנשים בקפטריה של מכללה. בוחרים באקראי אדם ששותה תה. מה ההסתברות שהוא סטודנט? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

10+15=25

העולם: עמודת התה

\frac{15}{25}=0.6

סטודנטים בתוך העמודה

$\frac{15}{40}$ עונה על השאלה ההפוכה: סטודנט ששותה תה. $\frac{15}{100}$ הוא החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בקופסה 4 כדורים אדומים ו- $x$ כדורים כחולים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששניהם אדומים היא $\frac{2}{7}$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{4}{x+4} \cdot \frac{3}{x+3}=\frac{2}{7}

בלי החזרה

\begin{aligned}(x+4)(x+3) &= 42 \ \Rightarrow \ x^2+7x-30 \\ &= 0\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -10\end{aligned}

$x=-10$ נפסל

מי שכתב $\frac{4}{x+4} \cdot \frac{4}{x+4}$ פתר עם החזרה. בשליפה השנייה נשארו 3 אדומים מתוך $x+3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שני אנשי צוות בודקים בנפרד כל חבילה במחסן, באופן בלתי תלוי. הראשון מוצא פגם בחבילה פגומה בהסתברות $0.2$ . ההסתברות שלפחות אחד מהם מוצא את הפגם היא $0.52$ . מה ההסתברות שהשני מוצא את הפגם? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

1-0.52=0.48

אף אחד לא מוצא

\begin{aligned}0.8(1-p) &= 0.48 \ \Rightarrow \ 1-p \\ &= 0.6\end{aligned}

מכפלה של שני המשלימים

p=0.4

התשובה

$0.2+p=0.52$ נותן $0.32$ : הוא סופר פעמיים את המקרה ששניהם מוצאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקניון, 30% מהקונים מגיעים ברכבת הקלה והשאר ברכב. 60% מהמגיעים ברכבת ו-20% מהמגיעים ברכב קונים בחנות הספרים. עיתון מקומי כתב: «רוב הקונים בחנות הספרים הגיעו ברכבת». הטענה נכונה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{רכבת} \mid \text{ספרים}) &= \frac{0.18}{0.32} \\ &= 0.5625\end{aligned}

מהשאלה הראשונה

0.5625>0.5

יותר ממחצית

הטענה נכונה אף שרק 30% מכל הקונים מגיעים ברכבת. «רוב הקונים בחנות» מדבר על העולם של חנות הספרים, לא על כל הקניון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — עץ, הסתברות שלמה ובייס

2 — טבלה דו-ממדית

3 — בלי החזרה, עם נעלם xxx

4 — אי-תלות ו«לפחות אחד»

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

3 — בלי החזרה, עם נעלם $x$