תלות ואי-תלות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני מאורעות הם בלתי תלויים אם הידיעה שאחד קרה לא משנה את הסיכוי של השני: P(A∣B)=P(A)P(A \mid B) = P(A). שתי הטלות מטבע — בלתי תלויות: המטבע לא זוכר. שתי שליפות קלף בלי החזרה — תלויות: הקלף הראשון חסר בחפיסה.

AB בלתי תלויים  ⟺  P(A∩B)=P(A)⋅P(B)\begin{aligned}A \\ B \ \text{בלתי תלויים} \iff P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B)\end{aligned}

זה המבחן המעשי: כופלים את שתי ההסתברויות ומשווים לחיתוך הנתון.

בדיקת אי-תלות במספרים

נתון: P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.4P(B) = 0.4, P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2.

P(A)⋅P(B)=0.5⋅0.4=0.2\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}
0.2=P(A∩B)0.2 = P(A \cap B)

שווה — בלתי תלויים

ואם היה נתון P(A∩B)=0.3P(A \cap B) = 0.3?

להציג את התשובה והפתרון

אז 0.3≠0.20.3 \ne 0.2 — תלויים. ומכיוון ש-P(A∣B)=0.30.4=0.75>0.5P(A \mid B) = \frac{0.3}{0.4} = 0.75 > 0.5, המאורע B «מעודד» את A.

עם החזרה, בלי החזרה

זו ההבחנה שחוזרת בכל שאלה: שליפה עם החזרה מחזירה את העולם לקדמותו — השליפות בלתי תלויות, וההסתברות זהה בכל שלב. שליפה בלי החזרה משנה את העולם — בענף השני של העץ המכנה קטן באחד.

בכד 3 אדומים ו-2 כחולים. מה ההסתברות לשני אדומים — עם החזרה, ובלי?

להציג את התשובה והפתרון

עם החזרה: 35⋅35=925\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}. בלי: 35⋅24=310\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10} — קטן יותר, כי האדום הראשון כבר לא בכד.

מה אי-תלות איננה.

זרים=בלתי תלויים\text{זרים} = \text{בלתי תלויים}
זרים⇒תלויים מאוד\text{זרים} \Rightarrow \text{תלויים מאוד}

מאורעות זרים לא יכולים לקרות יחד — אם A קרה, B בטוח לא. זו תלות חזקה, לא אי-תלות: P(A∩B)=0≠P(A)P(B)P(A \cap B) = 0 \ne P(A) P(B).

תרגילים

תרגיל 1

נתון P(A)=0.3P(A) = 0.3, P(B)=0.6P(B) = 0.6, P(A∩B)=0.18P(A \cap B) = 0.18. האם A ו-B בלתי תלויים?

  1. לא
  2. רק אם הם זרים
  3. אי אפשר לדעת
  4. כן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן

הפתרון:

0.3⋅0.6=0.18=P(A∩B)\begin{aligned}0.3 \cdot 0.6 &= 0.18 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המבחן מתקיים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.2P(B) = 0.2, P(A∩B)=0.15P(A \cap B) = 0.15. האם A ו-B בלתי תלויים?

  1. כן
  2. אי אפשר לדעת
  3. לא
  4. רק אם A מכיל את B
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא

הפתרון:

0.5⋅0.2=0.1≠0.150.5 \cdot 0.2 = 0.1 \ne 0.15

החיתוך גדול מהמכפלה — B מעודד את A

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

A ו-B בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A) = 0.4 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∩B)P(A \cap B)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

0.4⋅0.5=0.20.4 \cdot 0.5 = 0.2

באי-תלות החיתוך הוא פשוט המכפלה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

A ו-B בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A) = 0.4 ו-P(A∩B)=0.1P(A \cap B) = 0.1. מהו P(B)P(B)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

P(B)=0.10.4=0.25\begin{aligned}P(B) &= \frac{0.1}{0.4} \\ &= 0.25\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בכד 3 אדומים ו-2 כחולים. שולפים שניים בלי החזרה. מה ההסתברות לשני אדומים? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

35×24=620=0.3\begin{aligned}\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} &= \frac{6}{20} \\ &= 0.3\end{aligned}

השליפה השנייה בעולם של ארבעה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מכונה א' מתקלקלת ביום נתון בהסתברות 0.1, ומכונה ב' — 0.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שהיום שתיהן יתקלקלו? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.02

הפתרון:

0.1⋅0.2=0.020.1 \cdot 0.2 = 0.02
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באותם נתונים: מה ההסתברות שהיום אף אחת לא תתקלקל? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.72

הפתרון:

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

המשלימים גם הם בלתי תלויים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותם נתונים: מה ההסתברות שלפחות אחת תתקלקל? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28

הפתרון:

1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28

המשלים של «אף אחת»

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

A ו-B זרים (לא יכולים לקרות יחד), ו-P(A),P(B)>0P(A), P(B) > 0. האם הם בלתי תלויים?

  1. כן — זה אותו דבר
  2. תלוי במספרים
  3. רק אם שניהם קטנים מחצי
  4. לא — זרות היא תלות חזקה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא — זרות היא תלות חזקה

הפתרון:

P(A∩B)=0≠P(A)⋅P(B)>0P(A \cap B) = 0 \ne P(A) \cdot P(B) > 0

אם A קרה, B נפסל מיד — הידיעה שינתה הכול. זרות ואי-תלות הן כמעט הפכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

קולע חופשי מצליח בהסתברות 0.7, זריקות בלתי תלויות. מה ההסתברות שיצליח בדיוק בשתיים משלוש זריקות? (עגלו לשלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.441

הפתרון:

3⋅0.72⋅0.33 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3

שלושה מסלולים: ההחטאה בזריקה 1, 2 או 3

3⋅0.49⋅0.3=0.4413 \cdot 0.49 \cdot 0.3 = 0.441
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת