הסתברות מותנית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מטילים קובייה. P(6)=16P(6) = \frac{1}{6}. ועכשיו לוחשים לנו: «יצא מספר זוגי». העולם הצטמק — במקום שש תוצאות נשארו שלוש: 2, 4, 6. בעולם המצומק, ההסתברות ל-6 היא 13\frac{1}{3}. מידע משנה הסתברות, וזה טבעי לגמרי.

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

קוראים: ההסתברות של A בהינתן B. המכנה הוא העולם החדש — B.

הקובייה, דרך הנוסחה

A = «יצא 6», B = «יצא זוגי».

P(A∩B)=P(6)=16\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(6) \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

«שש וגם זוגי» זה פשוט «שש»

P(B)=36=12\begin{aligned}P(B) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
P(A∣B)=1/61/2=13\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{1/6}{1/2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

בדיוק מה שראינו בספירה ישירה

מטילים קובייה. בהינתן שיצא יותר מ-3, מה ההסתברות שיצא 6?

להציג את התשובה והפתרון

העולם החדש: {4, 5, 6}. שלוש תוצאות שוות סיכוי, אחת מהן 6 — 13\frac{1}{3}.

הנוסחה עובדת גם הפוך — לפעמים נתונה המותנית ומחפשים את החיתוך. מסדרים מחדש: P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B). זה בדיוק כלל הכפל של העץ: ההסתברות של הענף השני תלויה במה שקרה בראשון.

בקופסה 4 סוללות, אחת ריקה. מוציאים שתיים בזו אחר זו בלי החזרה. מה ההסתברות שהריקה תצא שנייה?

להציג את התשובה והפתרון

צריך: הראשונה תקינה וגם השנייה ריקה. 34×13=14\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} — הענף השני חושב בעולם של שלוש סוללות שנשארו.

המלכודת המפורסמת.

P(A∣B)=P(B∣A)P(A \mid B) = P(B \mid A)
שני מכנים שונים\text{שני מכנים שונים}

ההסתברות שגשם בהינתן עננים איננה ההסתברות לעננים בהינתן גשם. המונה משותף — המכנה קובע.

תרגילים

תרגיל 1

מטילים קובייה הוגנת. בהינתן שיצא מספר זוגי, מה ההסתברות שיצא 2? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.33

הפתרון:

{2,4,6}\{2, 4, 6\}

העולם החדש — שלוש תוצאות

13≈0.33\frac{1}{3} \approx 0.33
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מטילים קובייה. בהינתן שיצא לכל היותר 4, מה ההסתברות שיצא 1? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}
14=0.25\frac{1}{4} = 0.25
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∣B)P(A \mid B)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

P(A∣B)=0.20.5=0.4\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.5} \\ &= 0.4\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון P(A∣B)=0.6P(A \mid B) = 0.6 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∩B)P(A \cap B)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)=0.5⋅0.6=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(B) \cdot P(A \mid B) \\ &= 0.5 \cdot 0.6 \\ &= 0.3\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקופסה 4 סוללות ואחת מהן ריקה. מוציאים שתיים בלי החזרה. מה ההסתברות ששתיהן תקינות? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

34×23=612=12\begin{aligned}\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הענף השני — בעולם של שלוש נותרות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכד 5 כדורים: 2 לבנים ו-3 שחורים. מוציאים שניים בלי החזרה. מה ההסתברות לשני לבנים? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1

הפתרון:

25×14=220=0.1\begin{aligned}\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} &= \frac{2}{20} \\ &= 0.1\end{aligned}

אחרי לבן ראשון נשאר לבן אחד מתוך ארבעה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בכיתה 25 תלמידים, 10 מהם בחוג רובוטיקה, ו-6 מתוך העשרה גם בחוג שחמט. בחרו תלמיד מחוג הרובוטיקה — מה ההסתברות שהוא גם בשחמט? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

610=0.6\frac{6}{10} = 0.6

העולם: עשרת הרובוטיקאים בלבד

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מטילים שתי קוביות. בהינתן שסכומן 8, מה ההסתברות ששתיהן שוות? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

חמישה צירופים שסכומם 8

15=0.2\frac{1}{5} = 0.2

רק (4,4) שווה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.4P(B) = 0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B) = 0.7. מהו P(A∣B)P(A \mid B)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

P(A∩B)=0.5+0.4−0.7=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5 + 0.4 - 0.7 \\ &= 0.2\end{aligned}

נוסחת האיחוד

P(A∣B)=0.20.4=0.5\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.4} \\ &= 0.5\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

העננים מקדימים גשם. איזו טענה נכונה בהכרח?

  1. שתי המותניות שוות
  2. בהינתן גשם, סביר שהיו עננים
  3. עננים גורמים גשם
  4. בהינתן עננים, סביר שירד גשם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בהינתן גשם, סביר שהיו עננים

הפתרון:

P(ענן∣גשם)≠P(גשם∣ענן)P(\text{ענן} \mid \text{גשם}) \ne P(\text{גשם} \mid \text{ענן})

רוב ימי העננים בכלל בלי גשם — אבל כמעט כל גשם בא עם עננים. שני הכיוונים חיים חיים נפרדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת